白堊系凍結砂巖動態統計損傷本構關系研究

秦 越，王 磊，蘇宏明，陳世官

(西安科技大學建筑與土木工程學院，西安 710054)

我國西部地區煤礦多為侏羅系煤層，其上覆巨厚白堊系基巖，礦井建設中為了降低地下水對井壁質量和施工作業環境的影響，凍結法成為白堊系弱膠結軟巖地層立井施工最佳方案。在井筒開挖掘砌過程中，立井周邊凍結圍巖由于承受來自爆破與機械鑿巖等動載作用，會產生不同程度的損傷。因此非常有必要對該類巖石在沖擊載荷作用下動力學特性展開研究，并對其本構關系進行表征，為相關工程開展提供理論依據。

巖石本構理論的發展對實際工程開展的指導義重大，國內外學者對此類巖石動、靜態本構關系的研究取得了一系列有價值的成果。在靜態本構關系研究方面，田斌等[1]通過偏應力與孔隙坍塌理論對高孔隙砂巖破壞機理進行分析，建立了描述高孔隙砂巖流體飽和時力學特性的蓋帽型本構模型。劉建等[2]通過改進的Duncan模型描述砂巖在不同水溶液作用下的水物理化學作用效應。朱杰兵等[3]在分析砂巖三軸卸荷流變試驗結果的基礎上，提出考慮損傷的Burgers流變模型，能較好描述卸荷條件下砂巖的衰減蠕變階段和穩定流變特性。姜立春等[4]對酸性溶液蝕化下砂巖開展單軸壓縮試驗，依據Weibull函數與Lemaitre應變等效原理建立了損傷本構模型。鄧華鋒等[5]對經歷水巖作用的砂巖開展三軸壓縮試驗，根據應力-應變曲線、連續損傷力學與統計理論，建立考慮損傷效應的損傷統計本構模型。鄭廣輝等[6]根據不同飽和度砂巖靜態壓縮試驗數據，在宏觀唯象損傷力學與Lemairte損傷模型的基礎上擬合得到分段式水軟化-應變損傷本構關系。單仁亮等[7]建立的三維蠕變模型可準確反映處于三軸壓縮狀態的凍結層狀紅砂巖的軸向與徑向蠕變全過程。魏堯等[8]對白堊系飽和凍結砂巖開展不同圍壓的三軸蠕變試驗，基于現有黏彈塑性模型提出考慮溫度及損傷效應的蠕變本構模型。在動態本構關系研究方面，趙光明等[9]考慮軟巖的應變硬化與塑形流動等動力學特性，將現有朱-王-唐模型中的非彈性彈簧用損傷體替代，構建了能較好描述軟巖材料動力學特性的黏彈性動態統計損傷模型。蔡燦等[10]在分析中低應變率沖擊對巖石動力學特性影響的基礎上，依據元件組合理論將Maxwell體、Bingham體及損傷體并聯，提出了描述中低應變率情況下巖石動態損傷的本構模型。江雅勤等[11]根據單軸沖擊試驗中砂巖的應變率效應和損傷軟化效應，通過元件型建模方式提出考慮損傷的砂巖本構模型。Wang Lei等[12]以現有黏彈性本構模型為基礎進行改進，考慮應變率效應和溫度效應，建立了非線性體(線性體)、Maxwell體和損傷體并聯的黏彈性動態本構模型。

由上述研究成果可知，目前有關飽和凍結砂巖動態本構關系的研究相對較少。根據SHPB沖擊試驗獲得凍結砂巖在不同應變率下的動態應力-應變曲線，在分析巖石動力學特性的基礎上，建立基于Weibull統計分布、D-P破壞準則及等效應變原理研究凍結砂巖強度型動態統計損傷本構關系，通過線性回歸法確定模型參數后，將理論曲線與實測數據進行比較，證明了模型的準確性和適用性，為西部礦區立井建設中凍結爆破鑿井工程提供理論指導。

1 飽和凍結砂巖SHPB試驗

1.1 SHPB裝置及工作原理

動態沖擊試驗在西安科技大學巖石類材料動力實驗室進行，所用SHPB系統結構組成如圖1所示。裝置主要由加載驅動系統、壓桿系統、能量吸收系統、信號采集系統以及信號處理系統等組成。桿系由高強度合金鋼制成，其中子彈長300 mm，入射桿長3 700 mm，透射桿長2 500 mm，彈性模量E=210 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，理論波速C=5 172 m/s。

圖1 SHPB系統結構Fig.1 Structure of SHPB system

彈性應力波傳播理論是SHPB系統的基本工作原理，立足如下假設：①壓桿中應力波為一維狀態；②試樣中應力均勻；③壓桿應力波為平面應力波；④桿系在試驗過程中為線彈性狀態。采集的信號可通過三波法公式(1)計算得到試樣的動態力學參數。

(1)

1.2 試驗過程

依托甘肅省五舉煤礦，選取凍結鑿井過程中穿越的白堊系富水弱膠結紅砂巖為研究對象，其基本物理力學參數平均值如表1所示。借助烘箱和超聲波測速儀篩選出干密度與波速相近的試樣后，利用真空飽和裝置與低溫控溫箱獲得-30 ℃飽和凍結砂巖試樣進行試驗。

表1 砂巖物理力學參數平均值Table 1 Average physical and mechanical parameters of sandstone

試驗共分為5組，每組至少3個試件，對試樣進行不同沖擊氣壓的單軸沖擊試驗，加載應變率范圍110～220 s-1。試驗結果在剔除離散性較大的個別數據后取均值，動態力學參數如表2所示。

表2 飽水凍結紅砂巖動態力學參數Table 2 Dynamic mechanical parameters of saturated frozen sandstone

2 動力學特性分析

2.1 強度與變形的應變率效應

-30 ℃飽和凍結砂巖在不同加載應變率下的動態應力應變曲線如圖2所示。

圖2 不同應變率下-30 ℃砂巖應力應變Fig.2 Stress-strain of sandstone at -30 ℃ under different strain rates

圖3 動態抗壓強度與應變率的關系Fig.3 Relationship between σd and

試樣峰值應變與應變率關系如圖4所示。由指數函數擬合曲線變化趨勢可知：試樣峰值應變同樣具有應變率效應，且應變率越高，應變增長幅度越大，即-30 ℃時飽和凍結砂巖屬于率相關性較強的材料。

圖4 峰值應變與應變率的關系Fig.4 Relationship between εd and

2.2 能量吸收的應變率效應

為了反映巖石在沖擊過程中的能量吸收情況，消除試樣尺寸的影響，從能量角度解釋應變率效應，采用比能量吸收值SEA來表征能量消耗情況，按下式(2)計算：

(2)

圖5 比能量吸收值與應變率的關系Fig.5 Relationship between SEA and

(R2=0.955)

(3)

從能量吸收角度分析試樣動力學參數的應變率效應可知：西部白堊系弱膠結砂巖內部隨機分布大量孔隙、裂紋等微缺陷[12]，試件在沖擊載荷下的破壞過程伴隨著裂紋的產生、擴展和貫通，并且裂紋衍生所需的能量高于裂紋擴展[13]。應變率較低時，彈性桿中入射能較小，基本轉化成反射能和透射能，試樣吸收的能量很低，只有需要較少能量的裂紋擴展；隨著應變率逐漸升高，彈性桿中的應力波會攜帶更多的能量作用在試樣上，導致巖石內部用于裂隙衍生和擴展的能量隨之變大，參與破壞過程的裂隙增多，宏觀上表現出動態抗壓強度、峰值應變及比能量吸收值的應變率相關性明顯。

3 強度型動態統計損傷本構關系

3.1 統計損傷演化方程

巖石材料在沖擊載荷下損傷來源于局部微元體的非線性漸進破壞，材料與微元體具有如下性質：

①砂巖屬于各向異性的損傷體，初始損傷和在加載過程中產生的次生缺陷導致其發生破壞；

②微元體符合尺寸二重性要求，即宏觀上充分小，可視作連續損傷力學中的質點；細觀上充分大，足夠包含相應微缺陷。則細觀上微元體在破壞前服從胡克定律，但破壞后喪失承載能力；

③微元彈性體強度服從Weibull統計分布，相應的概率密度函數為

(4)

式中：F為表征微元體強度的分布變量；m、F0為反映巖石材料力學性質的Weibull分布參數，m反映巖石脆性，F0則表示巖石的宏觀平均強度；P(F)是巖石強度為F時微元體的破壞概率密度函數。

沖擊荷載作用下不斷增長的破壞微元體數目是巖石發生破壞的主要原因，基于損傷力學理論，定義統計損傷變量D如下：

(5)

式中：n為已破壞的微元數目；N為巖石材料中總微元數目。

在任意區間[F,F+dF]內發生破壞的微元體數目為NP(x)dx，當沖擊載荷為F，即x∈[0,F]時，對應的破壞微元數目為

(6)

聯立式(5)與式(6)，由微元體破壞概率定義統計損傷變量D可得巖石在外載荷作用下的統計損傷演化方程：

(7)

由式(7)可知，統計損傷變量D與微元體強度F呈正比，而巖石強度變化與應力狀態的改變密切相關。因此，需要進一步通過表征微元體強度來反映飽水凍結砂巖在沖擊載荷下的損傷演化規律。

3.2 微元體強度的表征

基于巖石的破壞準則通式，考慮Drucker-Prager(D-P)破壞準則同時兼顧中間主應力與靜水壓力的影響，具有參數構成簡單、適用于巖石介質等優點[14]，則微元彈性體強度分布變量的表達式可描述為

(8)

(9)

事不宜遲，胖子，你去附近找幾個勞力，組織一班人挖樹，組織一班人修個通道，三天內我們把樹搞出去，我們今年一年的開銷就夠了，對村民不要說這是什么樹，就說樹形好，林業部門要依法移植到城市搞綠化，造福更多的人。何澤吩咐道。

根據Lemaitre等效應變假設，即同種有損與無損材料在有效應力作用下產生的應變等價，基本關系式為

{σ*}={σ}/(1-D)=[C]{ε}/(1-D)

(10)

式中：{σ*}為有效應力矢量；{σ}為名義應力矢量；[C]為材料彈性矩陣；{ε}為應變矢量。

鑒于西部白堊系弱膠結砂巖存在大量初始微缺陷，以及各向異性與不均勻性顯著的特點，引入初始損傷系數δ(0<δ<1)進行表征，則損傷體有效應力修正表達式為

{σ*}={σ}/(1-δD)=[C]{ε}/(1-δD)

(11)

由式(11)可確定損傷體有效應力與名義應力的關系為

(12)

微元體破壞前服從胡克定律，試樣的軸向應變滿足下列關系式：

(13)

將式(12)代入式(13)化簡得：

(14)

(15)

則式(9)求解得

(16)

巖石材料受單軸沖擊時，由于σy=σz=0，則

(17)

微元體強度可表征如下：

(18)

3.3 強度型動態統計損傷本構關系

損傷體Da在發生損傷前處于線彈性狀態，根據等效應變原理與式(14)可知三軸條件下損傷體的動態本構關系為

σx=Eεx(1-δD)+μ(σy+σz)

(19)

單軸沖擊時，由于σy=σz=0，則

σx=Eεx(1-δD)

(20)

將式(7)、式(18)代入式(20)化簡可得單軸沖擊條件下損傷體Da的動態本構關系式：

(21)

式(21)即為基于Weibull統計分布、D-P破壞準則及等效應變原理得到的白堊系凍結砂巖強度型動態統計損傷本構關系。

4 本構關系的驗證

4.1 基本參數確定

求解上述強度型動態統計損傷本構關系式需要確定εx、E、δ、φ、α、F0、m等7個參數。根據沖擊試驗獲得的應力-應變曲線可知,應變εx用實測數據代入；參數E表示試樣初始彈性模量，取應力應變曲線初始上升階段的斜率；初始損傷系數δ的取值范圍為0.95～0.98[16]，可選取不同的δ值進行擬合，根據曲線相關系數R2確定最佳值；內摩擦角φ通過三軸壓縮試驗確定[18]，-30 ℃時白堊系飽和凍結砂巖內摩擦角φ=31.67°，對應的α=0.17；Weibull分布參數F0和m通過線性回歸法擬合確定。

4.2 最佳初始損傷系數

圖6 不同δ在不同下的應力應變Fig.6 Stress strain of different δ under different

綜合比較可知，選取適當的δ值對理論擬合結果具有顯著影響，擬合效果差異主要體現在試樣的彈塑性變形階段，表明δ能夠反映白堊系飽和凍結砂巖在動態沖擊作用時的彈塑性變形特征。最佳初始損傷系數δ=0.95，理論擬合曲線與試驗結果均良好吻合。

4.3 本構模型參數確定

根據確定的參數值，式(21)可進一步化簡為適用于本文研究對象的動態本構關系式，其他類型巖石在應用時代入自身相應參數即可：

(22)

表3 模型參數取值Table 3 The value of model parameters

5 結論

1)-30 ℃飽和凍結砂巖動態應力應變曲線可劃分為線彈性、彈塑性及塑形軟化等3個階段；動態抗壓強度與峰值應變隨應變率變化呈指數增長，應變率強化效應顯著，砂巖屬于率相關性較強材料。

2)裂紋衍生消耗的能量高于裂紋擴展，巖石用于內部微缺陷衍生和擴展的能量隨應變率的升高逐漸變大，參與破壞過程的裂隙增多，宏觀上表現出動態抗壓強度、峰值應變及比能量吸收值的應變率相關性明顯。

3)基于微元體強度服從Weibull統計分布假設和連續損傷理論，利用微元體破壞概率定義統計損傷變量D；根據Drucker-Prager破壞準則表征微元體強度分布變量，引入初始損傷系數δ修正損傷體有效應力表達式，推導出強度型動態統計損傷本構關系式。δ能夠反映試樣在沖擊作用時的彈塑性變形特征，最佳初始損傷系數δ=0.95。

4)對比不同應變率下理論擬合曲線與試驗實測曲線可知：曲線擬合精度高，引入初始損傷系數δ建立的強度型動態統計損傷本構關系能夠較好地反映沖擊載荷作用下應力-應變曲線峰前階段的特征，即線彈性和彈塑性階段的強度分布。