相位型空間光調制器的自參考標定方法

李儒佳， 高云暉， 曹良才

(清華大學 精密儀器系，北京 海淀100084)

1 引 言

相位型空間光調制器(SLM)是一種可以對光的相位信息進行定量調控的數字器件，其被應用于諸多領域，如全息三維顯示[1-3]、波前傳感相位成像[4-6]、光操控[7-8]等。由于SLM調制面板每層材料對環境變化的響應不同、有限加工精度導致的液晶層厚度分布不均、液晶對調制電壓的非線性響應等潛在因素，實際使用SLM進行相位調制時具有調制誤差[9-11]。同時，由于SLM通過改變e光等效折射率調制相位，當SLM實際工作波長與預設工作波長不同時，相同的折射率也會調制出不同的相位。為了獲得準確的相位調制，需要對SLM進行標定。

SLM的標定方法本質上是測量相位的方法。為此可使用傳統的相位恢復算法[12-13]，通過衍射強度信息迭代求解相位。相位恢復是一個優化問題，所得到的解是迭代產生的近似解。同時，由強度信息求解復振幅信息的過程是一個病態過程，利用含有噪聲的實驗數據求解時迭代計算的魯棒性不強。因而，利用相位恢復的方法還無法高效定量地標定SLM的調制相位。同時，可利用 SLM的調制能力來模擬光學元件，如光柵[14]、菲涅爾波帶片[15]等，通過測量所模擬的光學元件的傅立葉頻譜強度變化，求解器件的調制相位變化。這種標定方法可定量地獲得調制相位，光路抗干擾性強。但由于模擬一個完整的光學元件需要一定數量的SLM像素，通過該方法難以獲得較高空間分辨率的測量結果。

干涉法利用干涉圖記錄相位信息，通過分析干涉圖定量的求解相位。利用商用干涉儀可直接對SLM的調制相位進行定量測量，一般需要將SLM移入干涉儀的實驗光路單獨進行測量標定。對基于SLM的復雜實驗系統而言，移動SLM可能會影響實驗效率。同時，還可通過自建干涉光路測量SLM調制相位[16-17]，這種方法光路相對復雜，在標定時需要移動SLM，難以實現SLM的原位標定。

本文從SLM的常用標定方法出發，詳細介紹了可以實現SLM相位調制原位標定的自參考標定方法。自參考標定方法利用SLM面板的部分區域產生光柵相位，光柵的衍射級次可作為參考光，與攜帶調制相位的標定光形成干涉圖。通過對干涉圖作傅里葉頻域分析[18]和數字全息重建[19]，可分別定量地求解SLM的全局和局部相位調制。本文給出了對SLM進行全局標定后的相位調制響應，并進一步地對全局標定后的SLM的局部相位調制進行了測量。實驗結果表明，自參考標定方法可以在簡便的實驗光路中實現對SLM相位調制的原位標定。

2 SLM常用標定方法

自參考的標定方法利用SLM的某一區域產生參考光，形成自參考的干涉光路，測量相位。以Holoeye公司的SLM為例，該公司提供常用的標定方案如圖1所示。激光束經過擴束、準直、起偏后成為偏振的準直平面波，偏振方向由SLM的工作偏振方向決定。經過一個雙孔掩膜后，平面波被分成兩束，分別到達SLM的左右兩個區域。SLM傾斜放置，將兩束光沿斜向反射。經過一個透鏡后，兩束光匯聚相交，形成干涉條紋。

圖1 一種SLM廠商提供的自參考的標定方法(Holoeye GAEA2)Fig.1 Configuration of the self-referenced calibration method(Holoeye GAEA2)

SLM的一半區域作為標定區域，均勻地上載0～255的灰度，因而標定區域產生從0不斷增大的調制相位φg。SLM的另一半區域作為參考區域，均勻地保持上載0灰度，因而參考區域的調制相位為0。假設標定區域和參考區域的反射光強度均為I0，則形成的干涉條紋可表示為：

I=2I0(1+cosφg)，

(1)

標定區域的調制相位不斷增大，因而干涉條紋不斷移動。通過干涉的基本原理，結合CMOS參數，即可通過干涉條紋的移動量，求解標定區域調制相位。

這種標定方法光路簡便，但仍需單獨搭建SLM的標定光路，且標定后需要重新移動、裝調SLM。同時，這種方法標定的區域僅為SLM面板上的一小部分區域。測量標定小部分區域的查找表(Look-up-Table,LUT)被應用至整個SLM的所有區域上。因此，這種方法是一種全局的SLM相位調制標定方法，即假設SLM上每個像素的調制響應一致，測量其中一部分像素的LUT，以代表整個SLM的相位調制[20]。

3 SLM自參考標定方法

3.1 SLM生成光柵產生參考光

SLM的照明光源多為平行光，因此來自SLM不同區域的反射光也相互平行，無法自發地匯聚、干涉，因而傳統方法為從外部引入參考光，或者如前文的方法由透鏡折變、匯聚參考光和標定光形成干涉。SLM是可以調制相位的器件，因此可以利用SLM的部分區域，產生相位光柵，利用光柵以級次衍射的性質，生成傾斜的參考光。

圖2所示為利用SLM生成光柵進行自參考標定的光路。如圖2(b) 所示， 實現標定功能的光路為一個等效的衍射光路。為了在衍射光路中產生參考光，可上載如圖2(d) 所示的灰度圖。該灰度圖分為兩部分，一部分為標定區域，另一部分為光柵區域。在光柵區域，上載周期變化的相位，SLM上的對應區域也會產生光柵相位。因此，在如圖2(c)所示的衍射光路中，由SLM光柵區域出射的光會以級次傾斜出射。在標定區域上載均勻相位，SLM的對應區域也產生大致均勻的平面相位。因此，由SLM標定區域出射的光會直接出射。經過一定距離后，傾斜出射的光作為參考光會與直接出射的標定光干涉，形成干涉圖記錄調制相位。

圖2 利用SLM生成光柵的自參考標定光路。(a) 實驗標定光路示意圖; (b)SLM至CMOS的等效衍射光路；(c) SLM生成光柵后，SLM至CMOS的等效衍射光路; (d)上載的含光柵的標定灰度圖。Fig.2 Configuration of the self-referenced calibration method using SLM generated grating. (a) Calibration setup; (b) Equivalent diffraction setup from the SLM to the imaging sensor; (c) Equivalent diffraction setup with uploaded grating; (d) Uploaded calibration pattern with grating.

利用圖2所示的自參考標定光路，可以實現SLM的原位標定。對需要標定的SLM，在SLM前插入放置一個分束器，并在合適位置放置CMOS采集干涉圖，即可完成標定數據的采集，進而完成標定。

未標定的SLM無法產生理想光柵，作為參考光的光柵衍射級次有著不均勻的強度和相位。在實驗中，當參考光強度不均勻時，干涉條紋對比度可以滿足計算相位的需求。分析干涉圖得到的相位值代表參考光和標定光間的相位差值。設差值為φm,r,i，φm,r,i=φm+φr+φi。其中，φm為待求解調制相位，φr為不均勻參考光的相位分布,φi為實驗光路中的其他相位誤差。在標定過程中，光柵區域上載的灰度圖樣保持不變，φr保持不變。標定開始時，首先在標定區域上載0灰度值，則φm=0，此時計算干涉圖得到的相位差值可表示為：φ0,r,i=0+φr+φi。標定開始后，在標定區域上載某一灰度值，對應的調制相位可作差求出：φm=φm,r,i-φ0,r,i。因此，即使實際光柵參數不夠理想，依然可由自干涉法求出調制相位。

3.2 多參考光束的全局相位調制標定

在上述干涉標定方法中，參考光僅有一束，且與標定光不共路。產生的干涉圖易受環境擾動，影響相位求解。為提高標定方法的穩定性，清華大學的高云輝等人提出了一種多參考光束的自參考全局相位標定方法[18]。基于多光束干涉及頻域分析方法，可以有效提高相位求解的穩定性。

從SLM至CMOS的等效光路示意圖如圖3所示。通過改變上載的標定灰度圖，實現多參考光。上載的灰度圖可被分成上、中、下3部分。上下兩側為互相成一定傾角的光柵。經過光柵相位調制后，SLM光柵區的光以級次出射。這里使用的光柵相位為閃耀光柵相位，將兩光柵相對放置，可使SLM的兩出射光在空間某一位置重疊、共同作為參考光。SLM標定區的光攜帶調制相位信息直接出射，與兩參考光形成三光束干涉。圖3所示為有兩參考光時形成的三光束干涉圖，其強度分布I為：

(2)

圖3 多參考光束全局相位調制標定示意圖Fig.3 Schematic of the multi-referenced method

其中,A1，A2分別為兩參考光束的振幅，φ12為與測量無關的相位項。Ag為標定區域反射光的振幅，φg1和φg2為含有待測相位φg的相位項。待測量相位項可被表示為空間頻率項的形式：

(3)

(4)

因此，待求解的相位項可表示為：

(5)

為從多光束干涉光強中求出某一灰度下的調制相位φg，可對干涉圖進行傅里葉變換，根據空間頻率求解相位。在有兩束參考光時，干涉圖的頻譜中有兩對頻域向量，此時調制相位φg可由兩對向量的平均值表示：

(6)

其中，arg代表取幅角，F{}代表傅里葉變換。

我們利用該方法測量標定了HOLOEYE公司生產的出廠狀態下的GAEA-2型SLM，實驗光路如圖4(a)所示。標定區域的灰度由0～255以16的間隔均勻增加，并使用相機分別采集標定區域不同灰度下的17張干涉圖。使用頻域分析求解相位，實驗光路如圖4(a)所示。當處于未標定狀態時，SLM處于非線性的過調制狀態，無法直接使用。通過對測得的SLM調制曲線進行線性擬合，可以標定建立線性的LUT。標定后的LUT如圖4(c)，此時標定后的SLM可以進行線性的相位調制。

圖4 (a)多參考光束標定實驗光路; (b)未標定時的LUT; (c)標定后的LUT[18]。Fig.4 (a)Experimental calibration setup; (b)Measured LUT without calibration; (c) Cali-brated LUT[18].

利用多參考光束的方法，可以實現更穩定的相位標定。由于相位是根據干涉條紋的傅立葉變換進行求解的，利用一束參考光生成干涉圖時，只有一對頻域向量可用于求解相位。利用多參考光的方法，可以產生多對頻域向量，利用多對頻域向量可平均求解相位，提高標定系統的穩定性。在多參考光束的方法中，可以實現對SLM相位調制的全局標定，獲得全局LUT。對干涉圖做傅立葉變換后進行頻域分析，求解得到的相位代表干涉圖上的整體相位，即SLM標定區上的相位調制的平均值。相較于選取SLM部分代表整體調制的方法，這種方法求解得到的LUT更能反應SLM的整體調制響應。

3.3 基于數字全息的局部相位調制標定

前文介紹的自參考標定方法可以標定SLM的全局LUT，測量得到的全局LUT僅能代表SLM面板上所有像素的平均響應。由于SLM液晶層的厚度變化或一些其他的缺陷，SLM面板不同像素的相位調制可能是不同的[14,20]。因此，對調制精度要求更高的實驗場景，需要標定SLM的局部LUT。為了使自參考的方法具有標定局部相位調制的能力，我們提出了基于數字全息技術的SLM局部相位調制標定方法[19]。

基于數字全息技術的等效標定光路如圖5所示。上載的灰度圖分為兩個區域，分別為光柵區和標定區。光柵區為閃耀光柵灰度分布，用以使SLM的對應區域產生參考光。標定區上載從0～255的灰度值，使SLM產生不同灰度下的調制相位。標定區域的標定光與參考區域的參考光干涉，形成全息圖I：

I=|Reiφr+Oeiφo|2=|R|2+|O|2+
ROei(φr-φo)+ROei(φo-φr)，

(7)

其中，R和O分別為參考光和標定光的振幅，φr和φo分別為參考光和標定光的相位。為了重建標定光的相位，可使用參考光照射全息圖。

圖5 基于數字全息的局部相位調制標定示意圖[19]Fig.5 Schematic of thespatial uniformity calibration based on digital holography[19]

I×Reiφr=(|R|2+|O|2)Reiφr+

|R|2Oei(2φr-φo)+|R|2Oeiφo，

(8)

由于參考光與標定光呈一定角度，因此標定系統是一個離軸全息系統[21]。通過傅里葉頻域濾波，可直接獲得含有待求解相位的項，即|R|2Oeiφo。

將全息圖進行濾波后，獲得的待求解項表示標定光場在全息圖平面的復振幅分布，而待求解的是SLM平面的相位分布。因此SLM平面的調制相位可通過菲涅爾衍射傳播獲得：

(9)

其中，k為由照明光波長λ決定的波數，x、y、xo、yo分別為全息圖平面和SLM平面的坐標，z為兩平面之間的距離。當閃耀光柵周期為P、SLM的邊長為L時，兩平面之間的距離為：

(10)

數字全息技術可以重建相位分布，重建的分辨率由系統的幾何尺寸決定。根據衍射距離z，結合系統幾何參數，可求解標定系統的相位成像數值孔徑NA。當CMOS采樣間隔為Pcamera時，NA為：

(11)

其中，M為CMOS平面全息圖的有效像素數。由于對全息圖的采集還需要滿足采樣定理，因此，重建局部相位調制的空間分辨率δ由數值孔徑和CMOS的像素尺寸共同決定[22]：

(12)

利用數字全息技術可以重建SLM的調制相位分布。改變上載至SLM的灰度，可以重建出不同灰度下的調制相位分布。由于使用數字全息的方法對每個灰度下的調制相位具有空間分辨的能力，可根據需要對SLM上的某個點或區域進行測量，標定SLM的局部相位調制。由于本方法也采用了自參考光路，因而也可對SLM進行原位標定。

我們利用該方法測量標定了HOLOEYE公司生產的GAEA-2型SLM，分辨率為3 840×2 160，像素尺寸3.8 μm。標定時，向SLM上載圖5中的灰度圖，實驗光路如圖6(a)。標定區域的灰度由0～255以16的間隔均勻增加，并使用相機分別采集標定區域不同灰度下的17張全息圖。利用數字全息的方法，可以直接衍射重建出SLM在不同調制灰度下的調制相位分布。當標定區域調制灰度為16和240時，求解出的相位分布如圖6(c)、(d)所示。通過在標定區域內選取測量點，可標定出測量點處SLM的局部相位調制。在實驗中測得的A、B、C三個測量點的局部LUT如圖6(b)所示，當調制灰度為144時，3個測量點處的調制相位最大差值為0.73 rad。通過分別對3個測量點處的LUT進行線性擬合，可對局部LUT進行標定。

圖6 (a)基于數字全息方法的標定實驗光路; (b)A、B、C三個觀測點的局部LUT; (c)調制灰度為16時，標定區域的調制相位分布；(d)調制灰度為240時，標定區域的調制相位分布[19]。Fig.6 (a)Experimental calibration setup based on digital holography; (b)Measured LUT on the A, B and C points; (c) Phase profile with modulated grayscale of 16; (d) Phase profile with modulated grayscale of 240[19].

4 結 論

本文介紹了SLM調制的基本原理和廠商提供的一種標定方法，總結了基于自參考光路的SLM相位調制標定方法。自參考方法的光路簡便，光學元件易得。在SLM的工作光路中，插入一個分束器引出調制光后即可記錄干涉圖、求解相位，可以實現SLM的原位標定。自參考標定方法的核心是上載灰度圖樣設計和干涉圖的分析方法，通過傅立葉頻譜分析技術和數字全息技術，可分別求解SLM的全局LUT和局部LUT。通過借鑒其他干涉測量方法，如四步相移法，可利用自參考的標定光路實現更有效的標定。