第十三屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題

出題學校：南京航空航天大學

(本試卷分為基礎題和提高題兩部分，滿分120分，時間3小時30分)

說明：個人賽獎項分為全國特、一、二、三等獎和優秀獎。全國特、一、二等獎評選標準是：提高題得分進入全國前5%，并且總得分排在全國前列，根據總得分名次最終確定獲獎人。全國三等獎和優秀獎直接按賽區內總得分排名確定獲獎人。

注意：試題請全部在答題紙上作答，否則作答無效。各題所得結果用分數或小數表示均可。

第一部分基礎題部分(共60分)

第1題(18分)

鉛垂面內的機構如圖所示，由直角桿ABC、A1BC1、CDE、C1DE1鉸接而成，銷釘A1可沿固定水平滑槽運動，AB=BC=A1B=BC1=CD=C1D=a，DE=DE1=2a。

1)已知圖示瞬時AB與水平線AA1的夾角為φ，ABC的角速度為ω，求CDE和C1DE1的角速度ωC D E、ωC1D E1；(5分)

2)已知ABC上作用力偶M，E和E1點通過剛度為k、原長為2a的彈簧連接，均質桿DE和DE1的質量均為m，忽略其它桿的質量和各處摩擦。為使系統在φ=45°的位置平衡，求銷釘A1上的水平力F；(5分)

3)若在上述平衡位置突然撤去力F，求該瞬時ABC的角加速度αA B C。(8分)

第1題圖

第2題(12分)

圖(a)為可在火星上滾動的無輪緣車輪，由n根直桿在中點固結而成。假設n=3，各桿質量均為2m、長度均為2R，相鄰桿間的夾角均為600，如圖(b)所示。車輪在鉛垂面內向右滾動，桿件各端點依次與路面發生完全塑性碰撞，且不發生相對滑動。端點A與路面碰撞前、后瞬時車輪的角速度分別記為ωA0、ωA1，端點B與路面碰撞前、后瞬時車輪的角速度分別記為ωB0、ωB1。已知重力加速度為g。

1)求ωB1與ωB0的比值；(3分)

2)如圖(b)所示，假設路面上與端點A、B、C碰撞的三個點位于同一高度，求車輪能夠由圖中實線位置滾動到虛線位置的ωA1的最小值；(4分)

3)車輪沿傾角為θ(θ<30°)的斜面向下滾動，如圖(c)所示，為使ωB1=ωA1，求θ應滿足的關系式。(5分)

第2題圖

第2題圖(續)

第3題(15分)

平面桿系結構由四根材料相同的圓截面直桿組成，其中桿AC與桿BC長度相同、直徑均為d1=20 mm，桿CD與桿CE長度相同、直徑均為d2=40 mm，設計尺寸如圖(a)所示。各桿材料的應力應變曲線如圖(b)所示(分段線性)，Oa、ab段的彈性模量分別為E a=200 GPa，E b=50 GPa。裝配時發現桿AC和桿BC均比設計尺寸短了0.3 mm。

1)求裝配完成后各桿的內力；(7分)

2)裝配完成后，在點C施加垂直向下的力F=90 kN，如圖(c)所示，求各桿的內力。(8分)

第3題圖

第4題(15分)

直徑為D、長度為l的實心圓軸試件如圖(a)所示?，F在圓周表面畫一微線段AB，其初始位置與水平線AC成β角。當圓軸兩端受到外力偶矩M e作用后，實驗測得微線段AB順時針偏轉了Δβ1。已知圓軸的材料常數E、μ，變形均在線彈性小變形范圍內。

1)求外力偶矩M e；(5分)

2)在外力偶矩M e作用下再施加軸向拉力F，如圖(b)所示。實驗測得微線段AB偏轉角又增大了Δβ2，求拉力F；(5分)

3)為提高實驗測試靈敏度，Δβ越大越好。當外力偶矩M e和軸向拉力F同時作用且，β為何值時Δβ最大？(5分)

第4題圖

第二部分提高題部分(共60分)

第5題(15分)

圖示圓盤連桿活塞機構在鉛垂平面內運動，圓盤O上OA的長度為100 mm，連桿AB的長度為200 mm、質量為200 kg，活塞B的質量為200 kg，所有構件均可視為均質體。在驅動力F作用下，圓盤O以勻角速度ω=100 rad/s逆時針轉動?？紤]重力，不計摩擦。

1)將圓盤O、連桿AB和活塞B均視為剛體。當θ為何值時，活塞B上驅動力F的大小有多解？當θ=90°時，求活塞B上的驅動力F；(5分)

2)將連桿AB視為變形體(不考慮連桿AB的壓桿穩定性問題)。已知連桿AB的橫截面面積A=12.8×103mm2，抗彎截面系數W=1.0×106mm3，材料的許用應力[σ]=180 MPa。當機構運動到θ=90°時，校核連桿AB的強度，并畫出連桿AB彎矩圖的大致形狀。(10分)

第5題圖

第6題(25分)

圖示圓筒直立放置在光滑水平面上，小球A可沿圓筒內壁上的螺旋線溝槽無摩擦下滑。已知小球A的質量為m，均質圓筒的質量為2m、半徑為R、高為h，螺旋線的升角初始時圓筒靜止，將小球從螺旋線溝槽的頂部靜止釋放。假設小球下降過程中圓筒不會翻倒，水平面對圓筒的支承力的合力記為F N。求：

1)圓筒的質心相對地面的運動軌跡；(3分)

2)小球運動到圓筒底部時，在地面上觀察到的小球運動軌跡的總長度s；(6分)

3)小球下降過程中F N的大?。?6分)

4)小球下降過程中F N的作用線與圓筒軸線間的距離d(表示為小球下降的垂直距離z A的函數)。(10分)

第6題圖

第7題(20分)

“小口尖底彩陶瓶”是距今約6000年新石器時代(仰韶文化)的汲水器或酒禮器，如圖(a)所示?，F將其簡化為如圖(b)所示的充滿液體的圓錐形薄壁容器，處于鉛垂直立位置，上沿周邊支承，圓錐角為2α，其體積按薄壁結構計算。容器的密度為ρc，容器各處壁厚均為δ，液體的密度為ρw，液面高度為h。

1)求容器內沿母線方向的正應力σm；(6分)

2)求容器內與母線垂直且與表面相切方向的正應力σt；(6分)

第7題圖