含剛性段復合壓桿的穩定性分析1)

馮 侃

(江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮江212013)

1 問題的提出

壓桿穩定性實驗是材料力學中一個重要實驗內容[1-2]。在兩端鉸支的壓桿穩定性實驗(圖1(a))具體實施時，通常需在壓桿端部放置小圓柱或小滾珠以實現自由轉動的鉸支邊界條件[3]。然而，為了保證端部加載沿壓桿軸線方向，避免偏心，往往需要在桿件端頭附加夾持構件，如圖1(b)～圖1(d)所示。這部分夾持件的剛度遠高于壓桿失穩屈曲的剛度，可近似看成剛性。因此，如何考慮該部分剛性段的影響，如何選取合適的剛性段長度，以減小實驗測試臨界失穩載荷與穩定性理論預估的誤差，都迫切需要進行深入的理論分析。

圖1 壓桿穩定性實驗裝置

2 復合壓桿臨界載荷的求解

考慮一根兩端鉸支的復合壓桿AD(不計自重)，兩端受軸向壓力F作用，如圖2所示。壓桿分為三段，其中AB和CD都為剛性桿，長度分別為a1和a3；BC為柔性桿，長度為a2，其截面彎曲剛度為EIz。

圖2 結構模型圖

首先，按圖3建立坐標系。假設結構失穩后的變形如圖3所示，圖中θ1和θ2為兩端剛性段的轉角。

圖3 壓桿失穩變形后的示意圖

對于柔性段BC有撓曲線微分方程為

其中，v為撓度，k2=F/EIz。引入參數s=x?a1可得

其通解為

其中，A和B為待定系數。

將s=0和s=a2處的位移以及轉角邊界條件代入通解式(1)中，可得

當結構發生失穩時，撓曲線方程存在非零解，即A和B不能同時為零。因此，從邊界條件中約去待定系數A和B，可得

式(2)為一超越方程，需通過數值計算求解計算出k，并取最小值，進而得出臨界失穩載荷Fcr。

3 結果討論

(1)當不包含剛性段時，即a1=a3=0

式(2)退化為tan(ka2)=0，也即sin(ka2)=0。其解就是兩端鉸支壓桿失穩的臨界載荷。

(2)當兩端剛性段相等，即a1=a3，設柔性段占比為a2/L=α，L為復合桿總長，代入式(2)有

在不同α情況下，通過數值求解式(3)，可得對應的壓桿臨界載荷。若將其與原始長度為L的歐拉壓桿的臨界載荷進行對比，可以得到剛性段帶來的相對誤差，即

圖4 含剛性段桿臨界載荷與柔性桿臨界載荷的相對誤差

從圖4中可知，包含剛性段的復合壓桿的臨界載荷要高于整體柔性桿，且隨著剛性段的減少而趨近兩端鉸支壓桿的臨界載荷。

為了進一步驗證理論分析的結果，采用有限元數值計算的方法對該復合壓桿進行分析。采用有限元商用軟件COMSOL，按實驗中壓桿的實際材料性質和幾何構型建模[3]。取材料的彈性模量E為206 GPa，泊松比為0.33，密度為2700 kg/m3。壓桿總長L為357 mm，是上滾珠到下滾軸的距離，桿件寬度和厚度分別為20 mm和1.8 mm。壓桿兩端分別為鉸支約束，并施加軸向單位載荷F，如圖5所示。若按整體柔性桿計算，通過歐拉臨界載荷公式可解得臨界載荷約為155 kN。為方便計算，兩側剛性段等長，中間柔性段取為αL。

圖5 數值模擬示意圖

通過采用參數掃描方式，將α取值范圍設定在0.4～0.9，間隔0.1，計算結構的臨界失穩載荷，并將其與整體柔性桿的歐拉臨界載荷比較，結果如圖4中菱形點所示?？梢姅抵的M與之前理論分析的結果吻合較好。

由圖4可知，當α>0.6時，即柔性段長度占比大于總長的60%時，臨界載荷結果的相對誤差可小于10%。這說明兩端剛性桿的影響并不大。這是因為彈性桿屈曲時桿件靠近端部那部分本來彎曲程度就不大，故換做剛性桿后誤差也較小。若實驗中柔性段對復合桿總長的占比大于90%，從圖4中可知，剛性段的影響完全可以忽略，其誤差接近于零。

4 總結

本文針對材料力學中壓桿穩定性實驗中的實際問題，分析了兩端包含剛性段的復合壓桿的穩定性。首先采用彈性系統的穩定性理論中的歐拉方法，對該問題進行理論分析，并通過數值求解，分析了剛性段不同占比情形下壓桿的臨界載荷。同時，采用有限元數值模擬方法驗證了理論分析的結果。根據所得結果，本文得出結論：在實驗中測試壓桿的臨界失穩載荷時，當柔性段對復合桿總長的占比大于90%時，可選取兩端鉸支點之間的距離作為桿長L進行計算。