多自由度固有振動廣義特征值問題的復分析證明1)
——工科教育中的理論思維能力培養一例

王懷磊

(南京航空航天大學振動工程研究所，南京210016)

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016)

線性N自由度無阻尼振動系統的運動微分方程(組)為

其中u為N自由度位移向量，K為系統剛度矩陣，M為系統質量矩陣。在求解該方程的固有振動時，可首先假設其具有同頻率、同相位但不同振幅的固有振動形式解

其中ω和θ為待求實標量參數，在力學體系中分別代表固有頻率和初相位，φ為待求非零N維實向量，代表固有振型。將式(2)代入式(1)，得到這一運動形式存在的必要條件為：存在非零實向量φ，滿足

或記作

按照線性代數理論，方程(4)屬于矩陣束K和M的廣義特征值問題，其中標量λ和對應的非零向量φ分別稱為廣義特征值和廣義特征向量。顯然，方程(4)具有非零向量解的充要條件為

這是一個關于λ的一元N次代數方程，稱為方程(1)的特征方程。求解矩陣廣義特征值問題(4)就是先由特征方程(5)解出特征根λr,r=1,2,···,N，然后逐一代回式(3)，尋求齊次線性代數方程的非零向量解φr,r=1,2,···,N的過程。

由于式(2)所假設的形式解代表實際的物理振動，因此其中各項參數都必須為實數，這就要求方程(4)必須有非負實特征值λ=ω2和對應的實特征向量φ。換句話說，如果要說明系統(1)存在如式(2)所示的固有振動形式解，必須要首先證明矩陣廣義特征值問題(4)存在非負的實特征值λ。否則，如果尚不清楚非負實特征值和實特征向量是否存在就對式(4)進行左乘φT的操作，并進一步根據質量矩陣的正定性及剛度矩陣的半正定性判定出λ為非負實數，就會陷入邏輯上的循環論證，有可能導致錯誤的結論。因此，是否能證明矩陣廣義特征值問題(4)的確具有非負實特征值，將對判斷固有振動形式解(2)的存在性起到關鍵的作用。

由于質量矩陣M一般為正定矩陣，剛度矩陣K一般為半正定矩陣，所以大多數振動力學或結構動力學的教材[1-4]在論證上述結論時，都是利用質量矩陣M的Cholesky分解(平方根分解)將式(4)的矩陣廣義特征值問題轉化為與其具有完全相同特征值的標準特征值問題，再利用標準特征值的經典理論判斷出廣義特征值問題的所有特征值都是實數；而另外還有一些教材則主要專注于介紹力學概念而跳過相關的數學證明[5]。筆者在振動理論課的教學實踐過程中發現，對于僅學習過線性代數而尚未學習矩陣論課程的本科階段學生而言，理解基于矩陣的Cholesky分解的證明具有一定的困難，絕大多數學生都只能采取暫時認同而不深究的態度，降低了他們對該結論的理性認知。為了在工科教育中使學生加強邏輯思維能力的訓練及培養嚴謹的思維習慣，增強對振動理論的全面系統理解而又不帶來使用超前理論工具的困難，筆者思考對該問題給出如下一個較為初等的復分析證明。

1 廣義特征值問題的復分析證明

定理1.矩陣廣義特征值問題(4)的特征值皆為非負實數。

證明：假設矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值為一復數λ=λR+iλI，其中λR，λI為實數，i為純虛數單位，其對應的復特征向量為φ=φR+iφI，φR和φI分別為特征向量的實部和虛部。將其代入方程(4)并化簡得

令式(6)中的實部和虛部分別為零得

將式(7)的上式左乘，下式左乘得

由于質量陣和剛度陣都是對稱矩陣，因此有

從而將式(8)中的兩式相減即得

由于M為正定矩陣，因此0，又由于φR，φI不同時為零向量，從而必有，因此由式(10)可得

這就證明了矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值λr必為實數，r=1,2,···,N。顯然，其對應的特征向量φr也可取實數。利用實特征向量φr進一步定義系統的第r階廣義質量和第r階廣義剛度，并根據質量矩陣的正定性及剛度矩陣的半正定性可得

于是，對式(4)兩端左乘實向量φT可解得

此即證明了矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值必為非負實數，從而可以進一步求出系統的固有頻率證畢。

上述定理的證明過程事實上已經求出了式(2)所設形式解中的所有未知量，也即說明了這種形式解的假設是合理的，它恰好反映了系統的固有振動形態。

值得指出的是，本文給出的復分析證明方法僅能說明廣義特征值問題(4)的特征值皆為實數，從而可求出相應的實特征向量，但卻無法利用其證明系統具有N個線性無關的實特征向量。這一結論的證明仍須利用Cholesky分解將廣義特征值問題轉化為標準特征值問題，得到二者之間的一一對應關系，再利用標準特征值問題的基本結論得出廣義特征值問題也具有N個線性無關的特征向量，其物理意義即為N自由度線性振動系統具有N個獨立的模態振型。

2 結論

多自由度振動系統固有振動的求解最后歸結為質量陣和剛度陣的矩陣廣義特征值問題，而固有振動形式解的存在性要求該矩陣廣義特征值問題具有實的特征值和特征向量。現有振動理論教材在討論線性系統的固有振動時，有的為強調物理概念而直接默認該廣義特征值問題具有實特征值，有的則給出基于矩陣分解理論的矩陣分析證明。本文給出的這種復分析證明僅使用復數的基本概念和簡單的矩陣代數運算，而不涉及矩陣分解理論，在降低數學論證難度的同時又保持了分析的嚴密性，這對尚未學習矩陣論課程的本科階段的學生而言，不僅易于加深他們對結論的理解，而且將有助于他們在工科課程的學習過程中培養或保持嚴謹的理論思維習慣。需要指出的是，該方法并不能完全替代矩陣分解理論給出的證明，若要進一步證明廣義特征值問題具有N個線性無關的特征向量，即線性振動系統具有N個獨立的模態振型，仍須利用矩陣分解理論加以論證。