平面桿件體系幾何組成分析的運(yùn)動學(xué)方法1)

舒開鷗 郭子濤 陳 彬 張 雷 樊耀星

(九江學(xué)院建筑工程與規(guī)劃學(xué)院，江西九江332005)

平面體系的幾何組成分析又叫機(jī)動性分析，結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中只介紹了兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則和零載法等基本方法[1]，這些方法雖然通俗易懂、方便應(yīng)用，但只能分析一些桿件不多、構(gòu)造簡單的體系。近年來，有關(guān)學(xué)者、教師提出了一些新的分析平面體系幾何組成的方法[2-5]，這些方法中，有些方法仍然只能分析簡單體系，有些方法則太過深奧、繁瑣，不適合本科和?？茖W(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用。本文嘗試運(yùn)用理論力學(xué)[6]中運(yùn)動學(xué)的知識分析平面體系的幾何組成，試圖找到一種既能分析復(fù)雜體系又易學(xué)習(xí)掌握的方法。

1 虛鉸和無窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動學(xué)特征定理

1.1 定理一:兩剛片(或其擴(kuò)展部分)在虛鉸處速度相等

如圖1，剛片I和剛片II由兩根鏈桿AC和BD連接，由于兩鏈桿不平行，故可看成剛片I和剛片II由在兩鏈桿交點(diǎn)O點(diǎn)處的虛鉸連接。設(shè)剛片I和剛片II在O點(diǎn)(兩剛片上或剛片的擴(kuò)展部分上與虛鉸位置重合的點(diǎn))的速度矢量分別為v O1和v O2，則有v O1=v O2。該定理的證明過程見文獻(xiàn)[7]。

圖1 虛鉸的運(yùn)動學(xué)特征

1.2 定理二:無窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩剛片，角速度相等

如圖2，剛片I和剛片II由AC和BD兩根平行鏈桿(無窮遠(yuǎn)虛鉸)連接，設(shè)剛片I和剛片II的角速度矢量分別為ω1和ω2，則有ω1=ω2。該定理的證明過程見文獻(xiàn)[7]。

圖2 無窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動學(xué)特征

2 運(yùn)動學(xué)方法分析平面桿件體系幾何組成的思路

桿件體系的幾何組成分析，又叫機(jī)動性分析，本質(zhì)是考察體系中各剛片之間或者各結(jié)點(diǎn)之間有無相對運(yùn)動的可能，因此可考慮利用運(yùn)動學(xué)的相關(guān)理論以及虛鉸和無窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動學(xué)特征定理，建立一種桿件體系幾何組成分析的新方法。

(1)假設(shè)體系可變，并按可能運(yùn)動的方式，給定體系初始運(yùn)動參數(shù)，如某一個(gè)或幾個(gè)結(jié)點(diǎn)(或具有不動點(diǎn)的剛片)的速度v(或角速度ω)。

(2)利用運(yùn)動學(xué)理論(如基點(diǎn)法、速度瞬心法、速度投影定理等)及本文的兩個(gè)定理求出其余結(jié)點(diǎn)(或剛片)的速度v i(或角速度ωi)。

(3)分析v(或ω)是否有非零解，若有非零解則體系幾何可變，反之則體系幾何不變。

(4)若體系幾何不變，求出計(jì)算自由度W，即可確定體系多余約束的個(gè)數(shù)。

3 應(yīng)用舉例

例1分析圖3體系的幾何組成。

圖3 例1的簡圖

解:(1)O和D點(diǎn)不動，在OCD上利用速度投影定理可知C點(diǎn)也不動，設(shè)剛片OAB繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度為ω，則A點(diǎn)及該剛片擴(kuò)展部分上M點(diǎn)的速度均為ωa，見圖4。

圖4 運(yùn)動學(xué)方法分析例1體系的幾何組成

(2)M點(diǎn)是連接剛片OAB與桿CF的虛鉸所在位置，由定理一可得桿CF擴(kuò)展部分上與M點(diǎn)重合的點(diǎn)速度也為ωa，于是桿CF角速度為

由于平行鏈桿連接，由定理二可知桿AI，EI，CG與桿CF角速度相等，均為ω/4。同理，桿CE，F(xiàn)I，GH與剛片OAB角速度相等都為ω，可得E點(diǎn)速度為2ωa，于是剛片DEH的角速度為

(3)由A點(diǎn)速度可得桿AC角速度為w/2，由定理二可知桿AC，BF，GI與剛片DEH角速度相等，即

比較式(1)和式(2)，得ω=0，可知連接于O，C和D點(diǎn)(已知的不動點(diǎn))的所有剛片和桿不能動，在此基礎(chǔ)上易知其余桿都不動，即體系為幾何不變體系。體系的計(jì)算自由度W=?1，有一個(gè)多余約束。

例2分析圖5體系的幾何組成。

圖5 例2的簡圖

解:(1)點(diǎn)A，B，C和D可分別沿垂直各點(diǎn)支座的方向運(yùn)動，故剛片AEF，BFG，CHG和DEH的速度瞬心分別在直線AA′，BB′，CC′和DD′上，見圖6，設(shè)結(jié)點(diǎn)A速度為v，在AFG上利用速度投影定理，可得剛片BFG角速度。

圖6 運(yùn)動學(xué)方法分析例2體系的幾何組成

(2)由定理二可知剛片BFG和DEH角速度相同，于是可得

根據(jù)式(4)及A點(diǎn)速度，可確定剛片AEF速度瞬心O的位置及其角速度，進(jìn)而可求得點(diǎn)F、E、D沿豎向的速度

(3)同理可得

根據(jù)v B及v F y可確定剛片BFG速度瞬心K的位置及其角速度

比較式(3)和式(5)，得

當(dāng)hl=4ab時(shí)，v可不為0，即各結(jié)點(diǎn)能動，體系幾何可變且絕對自由度S=1，體系計(jì)算自由度W=0，故有一個(gè)多余約束。當(dāng)hl4ab時(shí)，v必為0，即各結(jié)點(diǎn)不動，體系幾何不變且無多余約束。

例3分析圖7體系的幾何組成。

圖7 例3的簡圖

解:(1)OA桿和EF桿分別可能繞點(diǎn)O和F轉(zhuǎn)動，可設(shè)結(jié)點(diǎn)A和E的速度分別為v和v′，并設(shè)EF桿角速度為ω，見圖8，由于D，E和F三點(diǎn)共線且F點(diǎn)固定，故D點(diǎn)速度v D只能垂直于DEF，在ED上以E點(diǎn)為基點(diǎn)，由基點(diǎn)法可得

圖8 運(yùn)動學(xué)方法分析例3體系的幾何組成

(2)分別在AC和CD上利用速度投影定理，可得C點(diǎn)速度v C分別沿AC和CD方向的投影v CA和v CD

進(jìn)而可得

(3)各結(jié)點(diǎn)速度均已求出，由于v，v′和ω均可取任意值，故體系為可變體系，且絕對自由度S=3，計(jì)算自由度W=3，因此無多余約束。

4 需要說明的問題

(1)對于可變體系，運(yùn)動學(xué)方法不能進(jìn)一步分析是幾何常變還是幾何瞬變，實(shí)際上大多數(shù)時(shí)候也不用分析，故統(tǒng)稱幾何可變[1]。

(2)對于可變體系，可根據(jù)其獨(dú)立運(yùn)動參數(shù)的個(gè)數(shù)，確定其絕對自由度S，再結(jié)合計(jì)算自由度W，可進(jìn)一步確定其多余約束的個(gè)數(shù)為:S?W。如例2中，當(dāng)hl=4ab時(shí)，v可不為0，是可變體系，體系只有一個(gè)運(yùn)動參數(shù)v，因此S=1，結(jié)合體系W=0，故多余約束有S?W=1個(gè)。又如例3中，因?yàn)橛?個(gè)獨(dú)立運(yùn)動參數(shù)v，v′和ω，故S=3，又因?yàn)閃=3，所以多余約束有S?W=0個(gè)。

(3)對于不變體系，只需一個(gè)初始運(yùn)動參數(shù)v或ω即可求出全部v i或ωi；但對于可變體系，往往則需多個(gè)初始運(yùn)動參數(shù)才能求出全部v i或ωi。由于事先并不確定是哪種體系，因此應(yīng)根據(jù)可能的運(yùn)動方式，適當(dāng)多設(shè)幾個(gè)初始運(yùn)動參數(shù)。如例1中，可設(shè)結(jié)點(diǎn)A和E的速度分別為v和v′，見圖9，則有

圖9 多初始運(yùn)動參數(shù)分析例1

由于平行鏈桿連接，由定理二

比較兩式，有:v=v′=0，即結(jié)點(diǎn)A和點(diǎn)E的速度均為0，不難得出其他結(jié)點(diǎn)速度也均為0。

5 結(jié)束語

理論力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的先學(xué)課程，利用已掌握的理論力學(xué)中的運(yùn)動學(xué)理論分析平面桿件體系的幾何組成，不僅能幫助學(xué)生更好理解這一內(nèi)容，還能解決很多利用兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則等基本方法不能解決的問題，可作為今后結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)及工程實(shí)踐的有益補(bǔ)充。