巧用“5線法”確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心

廣東

(作者單位：廣東省佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué))

近年來(lái)，高考試題的命制已逐漸從知識(shí)立意到能力提升，并向核心素養(yǎng)立意轉(zhuǎn)化。帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是考查學(xué)生物理核心素養(yǎng)的重要素材。本文就帶電粒子運(yùn)動(dòng)環(huán)境及特征進(jìn)行分析，對(duì)確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓心的實(shí)例進(jìn)行研究，總結(jié)得出確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓心的“5線法”，通過(guò)模型的構(gòu)建培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)的典型實(shí)例，是考查學(xué)生物理核心素養(yǎng)的重要素材，也是高考命題的高頻考點(diǎn)。試題通過(guò)考查運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心位置與磁場(chǎng)空間的幾何關(guān)系、粒子受力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系，檢測(cè)學(xué)生的科學(xué)思維。我們知道帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，故確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，只要確定圓心，畫(huà)出軌跡圓，再利用洛倫茲力提供向心力及空間幾何關(guān)系，就能較方便地解答此類問(wèn)題。本文就確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)圓心的方法——“5線法”討論如下：

一、明確圓心的特征——有5條線必過(guò)圓心

考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，一般設(shè)置的運(yùn)動(dòng)情境會(huì)包括：入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、入射方向、出射方向、偏轉(zhuǎn)角、軌道半徑等基本信息。要求學(xué)生通過(guò)模型構(gòu)建，確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)環(huán)境和運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行求解。確定粒子運(yùn)動(dòng)的圓心是解答問(wèn)題的關(guān)鍵。根據(jù)運(yùn)動(dòng)情境及幾何知識(shí)，我們歸納總結(jié)得出共有5條線必定通過(guò)圓心，即：①速度的垂線(也就是洛倫茲力所在直線，半徑所在直線)；②軌跡圓的弦的中垂線；③軌跡圓兩切線(或速度線)夾角的角分線；④速度線(或軌跡圓切線)的平行且間距為軌跡圓半徑R的直線；⑤以軌跡圓上任意點(diǎn)為圓心且半徑為軌跡圓半徑R的圓弧線。

二、確定圓心的方法——“5線法”即任意2條線的交點(diǎn)即為圓心

根據(jù)幾何知識(shí)，利用必過(guò)圓心的5條線中的任意2條線相交，我們就能確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，根據(jù)運(yùn)動(dòng)環(huán)境不同，可分為六種類型。

類型一

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：知軌跡上的兩點(diǎn)的位置和其中一點(diǎn)的速度方向。

確定方法：利用速度的垂線與弦的中垂線確定圓心，即作速度的垂線，連接軌跡上兩點(diǎn)(即軌跡圓的弦)并作其中垂線，兩直線的交點(diǎn)即為圓心。

【實(shí)例1】(2019·全國(guó)卷Ⅱ)如圖1，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為

( )

圖1

【分析】如圖2所示，

圖2

①已知O點(diǎn)速度方向，可過(guò)O點(diǎn)作速度垂線Oa。

②連接Od，分別作線段Oa及Od的中垂線，兩直線分別與速度的垂線相交于O1及O2點(diǎn)，O1及O2點(diǎn)即為運(yùn)動(dòng)軌跡圓心。

③分別以O(shè)1和O2為圓心，O1O和O2O為半徑畫(huà)圓，圖線①圓弧Oa和圖線②圓弧Od則為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。

類型二

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：知某點(diǎn)速度方向及軌道半徑。

確定方法：利用速度的垂線與速度的平行線(間距為半徑)確定圓心，即作速度的垂線，速度的平行線(間距為半徑R)，兩直線的交點(diǎn)即為圓心。

( )

圖3

圖4

①粒子垂直于y軸進(jìn)入第一象限，作速度的垂線，則y軸為速度的垂線。

②作速度的平行線(間距為R=2r)，交y軸于O′點(diǎn)，則O′為運(yùn)動(dòng)軌跡圓心。

③以O(shè)′為圓心，R為半徑畫(huà)圓，則圓弧與x軸的交點(diǎn)A為粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置。

類型三

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：入射方向、偏轉(zhuǎn)角及弦長(zhǎng)。

確定方法：利用速度的垂線與作速度的平行線(間距為半徑R)確定圓心。即作速度的垂線，作速度的平行線(間距為半徑R，依據(jù)偏轉(zhuǎn)角及弦長(zhǎng)可求半徑R)，兩直線的交點(diǎn)即為圓心。

【實(shí)例3】(2019·全國(guó)卷Ⅰ)如圖5所示，在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外。一帶正電的粒子從靜止開(kāi)始經(jīng)電壓U加速后，沿平行于x軸的方向射入磁場(chǎng)；一段時(shí)間后，該粒子在OP邊上某點(diǎn)以垂直于x軸的方向射出。已知O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，N點(diǎn)在y軸上，OP與x軸的夾角為30°，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)之間的距離為d，不計(jì)重力。求：

圖5

(1)帶電粒子的比荷；

(2)帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間；

圖6

①粒子垂直y軸的方向射入磁場(chǎng)，則y軸為速度垂線。

②作y軸的平行線(間距為R)交OP于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作y軸垂線，兩直線相交于O′點(diǎn)，O′即為軌跡圓的圓心。

③以O(shè)′為圓心，R為半徑畫(huà)圓，圓弧NA則為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。

類型四

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：知兩速度方向及軌道半徑。

確定方法：利用兩速度的平行線(間距為半徑R)的交點(diǎn)確定圓心。即分別作兩速度的平行線(間距為半徑R)，兩直線的交點(diǎn)即為圓心。

【實(shí)例4】(2016·全國(guó)卷Ⅲ)平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖7所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力。粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為

( )

圖7

圖8

①作ON的(軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，則ON為速度線)的平行線(間距為R)，再作OM的(速度與OM成 30°角，則半徑與OM成60°角，圓心到OM的距離為Rsin60°)的平行線(間距為Rsin60°)。

②兩速度平行線相交于O′點(diǎn)，則O′點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)軌跡圓心。

③以O(shè)′為圓心，R為半徑畫(huà)圓，交OM于A、B兩點(diǎn)，則入射點(diǎn)為A，出射點(diǎn)為B。

類型五

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：知兩速度方向及其中一個(gè)位置。

確定方法：利用速度的垂線與兩切線(速度線)的角平分線確定圓心，即作速度的垂線，延長(zhǎng)兩速度線并作其角平分線，兩直線的交點(diǎn)即為圓心。

【實(shí)例5】質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正向夾角為30°，如圖9所示(粒子重力忽略不計(jì))。求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

圖9

【分析】如圖10所示，

圖10

①已知O點(diǎn)速度方向，可過(guò)O點(diǎn)作速度的垂線Ob。

②過(guò)b點(diǎn)逆著速度的方向作虛線，與y軸相交于c，作角Ocb的角平分線，與Ob相交于O1點(diǎn)，O1點(diǎn)即為圓心。

③以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫(huà)圓，圓弧Oa則為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。

④圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小，則圓弧Oa必須在磁場(chǎng)圓內(nèi)，則面積最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)橐設(shè)a為直徑的圓。

類型六

運(yùn)動(dòng)環(huán)境：知兩點(diǎn)及軌道半徑。

確定方法：利用弦的中垂線與軌跡圓上任意點(diǎn)為圓心且半徑為軌跡圓半徑的圓弧線確定圓心。即連接兩點(diǎn)的弦并作其中垂線，作以軌跡圓上任意點(diǎn)為圓心且半徑為軌跡圓半徑R的圓弧線，兩線的交點(diǎn)即為圓心。

【實(shí)例6】如圖11，半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，邊界和y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力，求帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角。

圖11

【分析】如圖12所示，對(duì)粒子，已知r=2R。

圖12

①以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑畫(huà)圓，軌跡圓的圓心必在此圓周上。

②當(dāng)粒子的軌跡圓的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)空間的偏轉(zhuǎn)角最大，則O、P為軌跡圓弧的兩個(gè)邊界點(diǎn)，作線段OP的中垂線。與圓弧線相交于O′點(diǎn)，O′即為軌跡圓的圓心。

③以O(shè)′為圓心，O′O為半徑畫(huà)圓，圓弧OP(圖中實(shí)線)則為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。

④粒子通過(guò)磁場(chǎng)的最大偏轉(zhuǎn)角為φ，由粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性及幾何關(guān)系可求得最大偏轉(zhuǎn)角為60°。