“三步”求解天體運動中的比值問題

四川

(作者單位：四川省渠縣中學)

對于天體運動問題，很多同學得分較低，原因包括以下三個方面：一是未建立起“中心天體圓周運動軌道模型”；二是“圓周運動、萬有引力、衛星”的關系讓學生混亂不清；三是涉及綜合知識的關系式和物理量眾多，遇到求解比值問題，學生更是毫無頭緒，要么感覺計算繁瑣，直接放棄，要么化簡時出現顛倒錯誤。天體運動這一章，歸根到底，考查核心是萬有引力提供向心力，需要解決中心天體的質量和密度的問題，用到的方法有“表面物體法”和“引入衛星法”。筆者通過歸納總結多屆學生的錯因，提煉出求解天體運動涉及比值問題的“三步法”。該方法能夠簡化書寫過程，讓比值的形式簡單，節約時間，降低出錯率，甚至可以遷移至任意求解比值問題，從而提高學生學習物理的積極性。接下來通過例題分析說明“三步法”求比值的便利和特點：

第一步：找準原理式

第二步：求解未知量

第三步：化簡比例式

一、天體運動中求比值

【典例1】(2021·河北卷·4)“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日。假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日。已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛星的軌道半徑的比值約為

( )

【分析】常規方法求解：

根據“引入衛星法”及萬有引力提供向心力可知：

則有：

(在化簡求比值時，由于涉及物理量較多，計算時極易出錯，并且書寫用時較長)

“三步法”求解：

第一步，找原理式，根據衛星圍繞中心天體做勻速圓周運動及題目已知，有：

第二步，求未知量，表示出正比例關系，故：

第三步，求解比值：

【答案】D

【典例2】據報道，最近在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量約為地球質量的24倍。不考慮自轉效應，該行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的6倍，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑的比值約為

( )

A.0.5 B.2 C.3.2 D.4

【分析】常規法求解：

“三步法”求解：

第一步，找原理式：

第二步，求未知量：

第三步，求解比值：

【答案】B

【步驟說明】

1.處理第一步時，即使是多個對象，也只需寫出原理式一次即可，這樣就可以少書寫公式，在天體運動部分物理量眾多的情況下，更能節約時間；

2.在第二步求未知量時，使用“∝”，巧妙地將兩個對象具有相同的物理量以及常數部分約去(因為求比值時，相同物理量和常數將會比值為1)，簡化了比值決定式的形式；

3.第三步求解比值，成正比時，角標正對應，成反比時，角標反對應，巧妙避免處理多個分數的麻煩，有效降低出錯率。

【總結】很多同學看到此類試題就不愿意分析，“排斥心理”的逐漸堆積致使求比值成為得分難題。分析原因：一是學生對天體部分模型建立不熟悉，感覺很茫然，不知從何分析；二是即使會分析和列式子，但涉及到演算，因繁瑣復雜，易算錯，一旦演算不順利，學生就會立即放棄。久而久之，很多同學不再愿意做此類題型，產生排斥心理。

【典例3】甲、乙兩星球的平均密度相等，半徑之比是R甲∶R乙=4∶1，則這兩個星球表面的重力加速度之比是

( )

A.1∶1 B.1∶4 C.1∶16 D.4∶1

【分析】“三步法”求解：

【答案】D

【典例4】兩個行星A和B各有一顆衛星a和b。衛星的圓形軌道接近各自行星的表面。如果兩行星質量之比MA∶MB=p，兩行星半徑之比RA∶RB=q，則兩衛星周期之比Ta∶Tb為

( )

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，根據“引入衛星法”，故原理式為：

【答案】A

二、遷移——求任何比值問題

【典例5】如圖1所示，在坡度一定的斜面頂點以大小相同的初速v同時水平向左與水平向右拋出兩個小球A和B，兩側斜坡的傾角分別為37°和53°，小球均落在坡面上，若不計空氣阻力，則A和B兩小球的運動時間之比為

( )

圖1

A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9

【答案】C

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，兩球做平拋運動，涉及豎直方向的自由落體運動和水平方向的勻速直線運動，其原理式為：

第二步，求未知量，因兩球的初速度大小相等，故：

第三步，求解比值：

【答案】C

【典例6】兩個電荷量分別為q和-q的帶電粒子a和b分別以速度va和vb射入勻強磁場，兩粒子的入射方向與磁場邊界的夾角分別為30°和60°，磁場寬度為d，兩粒子同時由A點出發，同時到達B點，已知A、B連線與磁場邊界垂直，如圖2所示，則

( )

圖2

B.兩粒子的質量之比ma∶mb=1∶2

C.a粒子帶正電，b粒子帶負電

D.兩粒子的速度之比va∶vb=1∶2

【分析】“三步法”求解：

作出其中一個粒子的運動軌跡圖(如圖3)，由選項可知，需求解R、m、v0三個物理量之比。

圖3

第一步，找原理式，根據粒子在磁場中做勻速圓周運動的規律以及幾何知識，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，直接求解正比例關系即可，電荷量相等、運動時間相等、相同磁感應強度和磁場寬度，故：

第三步，求解比值：

【答案】B

總結：此題涉及物理量較多，應用三步法，使學生思路清晰、目標明確，利用正比關系，將相同物理量提前約去，讓最終比例式簡潔明了，降低出錯率。

【典例7】如圖4所示，a、b兩個閉合正方形線圈用同樣的導線制成，匝數均為10匝，邊長la=3lb，圖示區域內有垂直紙面向里的均強磁場，且磁感應強度隨時間均勻增大，不考慮線圈之間的相互影響，則a、b線圈中電功率之比為

( )

圖4

A.1∶1 B.3∶1 C.9∶1 D.27∶1

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，涉及法拉第電磁感應定律、電阻定律和電功率，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，因材質相同，磁感應強度的變化率相等，故：

【答案】D

【典例8】如圖5所示，從離子源產生的甲、乙兩種離子，由靜止經加速電壓U加速后在紙面內水平向右運動，自M點垂直于磁場邊界射入勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁場左邊界豎直。已知甲離子射入磁場的速度大小為v1，并在磁場邊界的N點射出；乙離子在MN的中點射出；MN長為l，不計重力影響和離子間的相互作用。求：

圖5

(1)磁場的磁感應強度大小；

(2)甲、乙兩種離子的比荷之比。

【分析】第(2)小問求比荷之比，利用“三步法”求解：

第一步，找原理式，涉及離子在靜電場中加速運動(動能定理)和在磁場中做勻速圓周運動(洛倫茲力提供向心力)，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，聯立兩式消去速度v(將②式中的v解出代入①式)，并且兩離子經過相同電場加速和相同磁場偏轉，故有：