從不同角度證明一道粒子運動題

安徽

(作者單位：安徽省太和縣宮集鎮中心學校安徽省阜陽市教育科學研究所)

本文采用三種不同方法對2020年全國高考物理卷Ⅰ中的一道選擇題目的推理依據進行邏輯論證；將解決問題的方法推廣到一般情形，給出這道選擇題目的多個變式并進行求解。

一、原題呈現

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圖1

即，該題目的正確選項是C。

圖2

由于這道題目是選擇題，作答時無需寫出推理過程，所以，從應試的角度考慮，根據作圖的“直觀”感受進行選項的判斷無疑是最省時同時又最“省勁”的方法。那么其正確性如何進行證明呢(很多學生是憑作圖結果進行選擇的，因為他們沒有找到證明的方法，這不能不說是一種僥幸)？

二、C選項正確性的證明

1.運用求導方法進行證明

圖3

∵2m2-4m+3>0

2.運用余弦定理進行證明

易知，當r=R時，cosθ最小，此時θ最大(證畢)

圖4

3.運用直線與圖形的位置關系進行證明

如圖5所示，⊙A下方的半圓是磁場的邊界，由P點按題目要求射出的很多速率不同的粒子在磁場中沿圓弧軌跡運行之后與圓形磁場邊界的交點分別是B、C、D…，設某粒子的軌跡和磁場邊界的交點與P點的連線與PA的夾角為α，軌跡圓弧所對的圓心角為θ，易知θ=180°+2α，顯然，當α最大時θ最大，由圖5可知，在P與⊙A上各點的連線中，其中過P點的切線與PA的夾角最大，而PA的長度是⊙A半徑的2倍，所以軌跡圓的半徑與磁場邊界圓的半徑相等時，P與兩圓交點的連線剛好是軌跡圓的切線，此時軌跡圓弧所對的圓心角最大，粒子在磁場中運動的時間最長。

圖5

三種證明方法相比，顯然方法3是最簡便易懂的方法。

應該說，采用方法三，很容易從眾多大小不等的圓形軌跡中，確定在磁場中按題目所給條件進行運動的帶電粒子運行時間最長的軌跡。實際上，方法三不僅限于解決這一個問題，而是可以解決跟例題1類似的同一類型的不同問題。我們不妨看下該方法在解決類似問題中的應用。

三、該高考題目的多個變式及解析

圖6

【解析】如圖7所示，設正十邊形的中心為O點，邊DC的延長線交直線AB與M，我們先判斷粒子的射入點P相對M的位置。

圖7

圖8

【變式2】一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖9中虛線N-A-C-M所示，其中曲線AC段為拋物線的一部分，C為拋物線的頂點，磁場邊界的其余部分為直線。一束質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內從P點垂直于PA射入磁場，這些粒子具有各種速率。已知拋物線的水平弦長AB=8，拋物線頂點C到AB的距離也為8，PA=1，不計粒子之間的相互作用，求粒子在磁場中運動的最長時間(結果可保留反三角函數)。

圖9

【解析】如圖10所示，從粒子的發射點P作拋物線的切線，設切點為E，以E為頂點作∠PEF=∠EPB，角的另一邊交AB與F，由以上分析可知，PE與PB的夾角∠EPB是P點與拋物線上各點連線中與PB夾角最大的角，所以，從E點射出的粒子在磁場中運行的時間最長，這時點F為運行時間最長的軌跡圓的圓心。

圖10

四、結語