淺談高中數學競賽解題思維

王加白

【摘要】高中數學知識抽象性較強，特別是數學競賽題目，難度更高，但是只要學生掌握正確的解題思路，就能夠在解答數學題目時做到游刃有余.下文從引導學生學會高效審題入手，結合具體題目對特殊值解題思維法、逆向解題思維法以及構造解題思維法進行闡述，以供大家參考.

【關鍵詞】高中數學;數學競賽;解題思維

隨著時代的發展和新課改的不斷推進，傳統的高中數學教學模式已不再能滿足當今時代的教學發展需要.如今的高中數學教學不再單一地注重數學知識的傳授，而更加注重對學生解題思維的培養.因為只有提升學生自身的解題思維能力，學生才能夠更加深入地學習和理解高中數學知識，才能夠更加嫻熟地運用數學知識.筆者結合多年的教學經驗，針對高中數學競賽解題思維教學進行了深入的分析與研究，認為可從以下幾個方面著手.

一、引導學生高效審題，準確、快速梳理解題條件

眾所周知，解題的第一步不是答題，而是審題，審題是決定學生能夠快速而準確解答問題的關鍵和前提.如果學生未能夠正確領悟題中之意，就盲目地解答題目，這樣不僅難以成功地解答題目，而且還會落入題中陷阱，一葉障目.對此，數學老師應當重視審題教學，但是，教師注重審題教學并不是要求或者告訴學生要認真審題.現在諸多數學老師在幫助學生分析題目時或者在考試之前會口頭式地提醒學生：要注意審題、要認真審題、審題不準答不好題目等.但是這種口頭式的要求起到的作用并不大，從學生們的考試結果來看，總是存在不少學生因為審題不準而答錯題目的情況.所以，教師在教導學生準確審題時要運用一定的方法.具體而言，數學老師可以為學生歸納出一定的審題步驟，再引導學生按照既定的步驟審題.也就是說，將學生們的審題過程流程化.久而久之，學生就會形成正確的解題習慣.

關于高效審題的具體步驟，可以分為三步.第一步，集中注意力.集中注意力是學生能夠快速而準確審題的關鍵，只有注意力集中，學生才能夠將題目字里行間的有效信息挖掘出來，才不至于反復讀題.有的學生習慣在讀題的過程中劃線，將重要的解題信息標注出來.其實，這種審題方式的作用并不大，反而還會因為劃線耽誤時間.當然，集中注意力也不是讀一道題目集中一次注意力，而是在開始考試之前或者在開始答題之前，自己先靜心，先將自己投入到一種精力集中的狀態當中，而后才開始答題.如果心中雜念太多，即使眼睛在看題，心神卻早已飛到天外，也是難以實現準確讀題的.第二步，提取關鍵條件.在集中注意力之后，數學老師再引導學生提取題目當中的關鍵條件.需要注意，這里是提取關鍵條件，而并非提取關鍵數據.因為審題和解題的關鍵在于構建等價條件，如果題目中的條件不能建立平衡，即使數據再多也是無法實現正確解題的.所以，學生在審題的過程當中就需要思考題目給出的條件有哪些，如何建立等價關系.針對數學學習能力較強的學生，數學老師則要引導其邊讀題邊思考等價條件.因為數學知識是固定的，題目無論如何變化，也無法跳出固定的格式，只是形式的變化而已.學生在能夠構建出等價條件之后，就可以在答題紙上列出對應數據了.這也是高效審題的第三步.之所以將列出數據當作審題過程的其中一步，是方便學生對自己的審題進行驗證，即通過具體的數據觀察自己所建立的等價關系是否成立.如果成立，則說明自己的審題思路是正確的.當然，這種認定也存在一定的紕漏，但是等式不成立，則必然說明自己的審題思路出現錯誤，這是可以肯定的.而且，此過程與答題過程合二為一，也是提高解題效率的重要方法.此外，數學老師不能僅向學生傳授具體的審題方法，還要對學生們的審題能力進行鍛煉，這樣才能真正達到強化學生審題能力的目的.比如，數學老師在日常的講題過程中，就需要限定學生們的思考時間，以增強學生們的內心緊張感，也是為了提高學生們的注意力，而后要求學生列出等價條件.時間一到，老師選取學生，讓他闡述自己所列的等價關系，如此逐步鍛煉和提高學生們的審題思維能力.

二、通過具體競賽題目，鍛煉和提高學生自身的解題思維

正所謂“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”想要鍛煉和培養學生自身的解題思維能力，教師就需要通過具體的競賽題目引導學生思維，使得學生能夠切身領會數學競賽解題思維方法.數學解題思維可謂多種多樣，但是學生在答題的過程中，這些不同的解題思維卻是穿插考查，而不會連續考查.這也就為學生們解題增加了一定的困惑性.對此，數學老師應當幫助學生抽絲剝繭，透徹性地闡述不同的解題思維，讓學生不僅懂得如何作答某一道數學競賽題目，而且懂得如何作答某一類數學競賽題目，這才契合高中數學有效教學的理念.下面筆者就不同類型的高中數學競賽解題思維進行舉例闡述.

1.特殊值解題思維法

所謂特殊值解題思維法，指的就是通過代入特殊值的方式進行解題.這種解題思維方式雖然偏于極端，但卻是一種非常有效的解題思維.學生在遇到涉及函數取值范圍的這一類題目時，可以采用該方法進行解題.需要注意的是，并不是所有涉及函數范圍的題目都可以運用特殊值解題思維，這一點教師需要點明，否則不僅會誤導學生思維，還會白白消耗學生們的解題時間.一般而言，特殊值解題思維法主要應用于選擇和填空等題目.

例1已知f1-x1+x=1-x21+x2，則f（x）的解析式可以為（）.

A.x1+x2B.-2x1+x2

C.2x1+x2D.-x1+x2

這道題目的解題思路極為明確，先設1-x1+x=t，而后反向運用x代替t，并代入上述等式，最終可以得出C選項正確.但是，這種解題方式比較費時耗力.因為上題為函數等式，所以我們可以選擇特殊值法進行作答.那么，具體選擇哪一個特殊值呢？這就需要根據具體的題目而定.比如這道題中，學生就可以取x=0作為特殊值，對于后續的計算最為方便.通過特殊值代入可以得出f（1）=1的結論.此時可以繼續將x=1分別代入A、B、C、D四個選項的解析式中進行驗證，只有C選項等于1，則可判斷出C選項為正確答案.如此既提高了解題的速度，又鍛煉了學生的解題思維.

2.逆向解題思維法

所謂逆向解題思維法，指的是一種將問題倒過來思考的解題方法.很多時候，我們發現正向無法解題，或者說通過正向的方式解題比較困難，我們就可以嘗試通過反向的方式進行解題.反向解題就是要調轉自己的思維，不要為題目本身所束縛.其實，在上述特殊值解題思維法的舉例當中，也應用到了逆向解題思維法.即在特殊值代入構建等式之后，通過將特殊值代入選項的方式進行反向論證，如此也屬于是對逆向解題思維的一種應用.逆向解題思維法多應用于題目論證，下面就以證明題為例對此方法進行闡述.

例2已知a、b、c是三個正整數，且b-a≠c-b，求證：c2-ab-b2+ac≠b2-ac-a2+bc.

如果單看這道題目以及給出的題目關系，有些混亂，因此學生解題時會感到毫無頭緒.但是通過挖掘題目當中的關鍵信息，比如b-a≠c-b，我們可以斷定a、b、c之間不成等差數列.如果我們再對最后的證明結果進行變式，就會發現最終的證明結果可以轉換為2×（b2-ac）≠c2-ab+a2-bc.這就相當于是要證明a2-bc、b2-ac、c2-ab三者之間不成等差關系.搞清楚題目的本意之后，我們就可開始思考合適的解題方法.我們如果從2b≠a+c的角度切入，則難以得出2×（b2-ac）≠c2-ab+a2-bc的結論，因為我們日常所做題目多是從繁到簡，而絕非從簡到繁.所以在解答該道題目時，就應當通過反向的方式解題，即從2×（b2-ac）=c2-ab+a2-bc切入，得出2b=a+c的結論，此便是逆向解題思維法.

3.構造解題思維法

所謂構造解題思維法，指的是根據已有的題目條件進行方程構造、圖像構造、函數構造等，進而得出題目結論的一種解題思維方法.其實在高中數學競賽題目當中，存在諸多條件簡單的數學題目.高中學生都清楚，題目條件越簡單，解答起來就會越困難，因為題目條件簡單，有效條件就會減少，故解答起來難度會有所增加.遇到條件簡單的題目，數學老師可以引導學生通過構造的方式進行解題，增加解題的思路和途徑，從而使簡單的題目條件豐富起來.

例3求函數f（x）=5+sin x6-cos x的值域.

這道題目就一句話，條件也只有一個.但是僅通過給出的條件并不能完成對該道題目的作答，所以我們就需要根據題目構造條件.f（x）=5+sin x6-cos x可以看作是點（6，5）與點（cos x，-sin x）連線的斜率，如此一來，此道題目也就變換成為求點（6，5）與點（cos x，-sin x）連線斜率的最大值和最小值.僅是這么一個簡單的構造轉換，就使得這道數學題目有了新的解題方向.

高中數學競賽題目解題思維除了上述提到的三種之外，還包括其他的數學解題思路，比如化繁為簡法、有序排列法、關系影射反演法、動靜結合法等，此處不再一一贅述.但是無論教師教導學生學習哪一種數學解題思路，首先都要與具體的高中數學題目相結合，才能加深學生對于相關數學解題思維的學習與認識.其次，數學老師要注重引導學生審題，這是保證學生有效運用各種解題思維的前提和關鍵.最后，還要增加學生的課下練習，從而不斷強化學生自身的高中數學解題思維和解題能力.

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