高中數學中的概率模型

楊玉燦

【摘要】數學模型是將學生面對的實際問題抽象化，并建立相應方式的解題模式，該模式對于解決實際問題提供了便利.概率模型是概率知識的重要組成部分，在高中數學教學中有著重要的地位;概率模型是新課標要求高中學生必須掌握的模型之一，也是高考數學的必考內容.掌握古典概率模型、幾何概率模型以及其他模型為學習概率知識打下了良好基礎.下面通過一些例題系統地比較分析高中數學中的三種概率模型.

【關鍵詞】數學模型;高中數學;概率模型

一、古典概率模型

古典概型的隨機試驗，包含了若干個基本事件，這些基本事件都具有兩大基本特性：第一，任何兩個基本事件一定互斥;第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所組成的.通常情況下，辨別某一個概率事件是否為古典概型，要看它有無下述兩點特性：第一，該項實驗中全部可能存在的基本事件數量是有限的;第二，所有基本事件存在的概率均相同.凡符合上述兩點特性者均為古典概型，其數學公式為：P（A）=mn，其中m為事件A包含的基本事件個數，n為整個隨機試驗包含的基本事件的個數.基本事件的有限性和等可能性是正確判斷隨機試驗的類型為古典概型的依據，也是解決此類問題的關鍵.處理古典概型的方法一般分為兩種：圖表法和列舉法.

（一）CASE1用圖表法求古典概型的概率

例1現存在兩個玩具，其形狀均為正四面體，每個玩具的四面分別寫有1、2、3、4.現進行投擲玩具試驗，以X代表第一個玩具拋落在地的貼地面數字，以Y代表另一個玩具貼地面的數字，兩者用（X，Y）的形式表示.

①要求羅列上述試驗基本事件;②計算“兩玩具貼地面數字之和大于3”的事件概率;③計算“兩玩具貼地面數字相等”的事件概率.

解①這個試驗的基本事件列表如下：

從表中可以看出，該隨機試驗共包含了16個基本事件.

②由①中圖表可知，事件“兩玩具貼地面的數字之和大于3”包含有13個基本事件，∴P=1316.

③由①中圖表可知，事件“兩玩具貼地面的數字相等”包含有4個基本事件，∴P=416=14.

（二）CASE2用列舉法求古典概型的概率

例2現有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語， B1、B2、B3通曉俄語， C1、C2通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語、韓語的志愿者各一名，組成一個小組.①求A1被選中的概率;②求B1和C1不全被選中的概率.

解①從8人中選出通曉日、俄、韓語的志愿者各一名，其一切可能的結果組成的基本事件空間Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18個基本事件.用M表示“A1恰被選中”這一事件.則M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}共6個基本事件.∴P（M）=618=13.

②用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對立事件N表示為“B1、C1全被選中”這一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，即事件N包含了3個基本事件，∴P（N）=318=16，∴P（N）=1-16=56.

二、幾何概率模型

幾何概型定義：假使每個事件發生的概率都只同該事件所表示區域的長度、面積或體積成比，此類概率模式即為幾何概型.計算公式如下：

P（A）=構成事件A的區域長度（面積或體積）試驗全部結果所構成的區域長度（面積或體積）.通過以上定義和計算公式，我們可以得出幾何概型的三種基本題型.

（一）CASE1求與長度有關的幾何概型的概率

圖1例3如圖A、B兩盞路燈之間的長度是30米，因住戶反應兩燈之間距離過遠，光線太暗，現需要在A，B中間再安兩盞燈C、D，求A、C兩燈和B、D兩燈之間距離都大于或等于10米的概率.

解記事件E為“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，30×13=10米.

∴P（E）=1030=13.

（二）CASE2求與面積有關的幾何概型的概率

圖2例4現有一長方形ABCD，長和寬分別為2、1，AB中點設為O，在長方形內隨機取一點，求該點與O點距離超過1的概率.

解記事件E為“取點到O的距離大于1”，其對立事件E為“取點到O點距離小于1”.

因為長方形的面積為2，以O為圓心，1為半徑作圓，在長方形ABCD內部為半圓的面積等于π2.

∴P（E）=π22=π4，P（E）=1-π4.故取點到O點距離大于1的概率為1-π4.

（三）CASE3求與體積有關的幾何概型的概率

例5已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得VP-ABC<12VS-ABC的概率是多少？

圖3解要使VP-ABC<12VS-ABC，只需使三棱錐P-ABC的高小于三棱錐S-ABC的高的一半.設A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點，則所求概率即為棱臺A1B1C1-ABC的體積與三棱錐S-ABC的體積之比.其中O1為正三棱錐的高SO的中點，△A1B1C1是過O1平行于底面的截面.

VS-ABC=13×12×4×4×32×3=43，

VA1B1C1-ABC=VS-ABC-VS-A1B1C1=43- 13×（12×2×2×32）×32=732.

∴PVP-ABC<12VS-ABC=732÷43=78.

三、抽取“小球”試驗模型

抽取“小球”試驗模型可以分為兩種基本類型，即抽取“小球”放回試驗和抽取“小球”不放回試驗.抽取“小球”放回試驗模型稱為幾何分布;抽取“小球”不放回試驗模型稱為超幾何分布.

（一）CASE1求服從幾何分布的概率

什么叫幾何分布呢？幾何分布是常用的一個離散型分布，幾何分布的概率公式為： P（X=k）=（1-p）k-1p， 隨著k增大呈等比級數變化，等比級數又稱幾何級數.

例6現有一批貨品，包含合格品10枚、次品3枚，每次從這批貨品中隨機抽取一枚，且假設所有產品被抽取的概率均相等，分別算出下述兩種情況中抽出合格品為止的抽取次數為X的分布列.

①所有抽取出的產品均不放回;

②每次抽取的產品均需放回該批次貨品才能繼續進行抽取.

分析①因抽取貨品后均不放回，可知每次抽取相互影響; ②因抽取后均需放回才可進行下一次抽取，可知每次抽取相互獨立，該情況隸屬于幾何分布.

解①根據題意知，隨機變量X可取值為：1，2，3，4.

當X=1時，即第一次取出的產品為合格品，故P（X=1）=1013;

當X=2時，即第二次取出的產品為合格品，第一次取到的產品為次品，故P（X=2）=313×1012=526;

類似地P（X=3）=313×212×1011=5143; P（X=4）=313×212×111×1010=1286.所以X的分布列為：

②因為每次取出的產品都放回再抽取，所以這類試驗符合幾何分布的特征，

隨機變量X的取值為1，2，3，…，n，隨機變量X服從幾何分布.

當X=1時，即第一次取到了合格品，∴P（X=1）=1013;

當X=2時，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，∴P（X=2）=313×1013;

當X=3時，即第一次、第二次取到次品，第三次取到了合格品，∴P（X=3）=313×313×1013=3132×1013;

類似地，當X=n時，即前n-1次取到的均為次品，第n次取到合格品，故P（X=n）=313n-1×1013.

所以隨機變量X的分布列為：

313n-1×1013

點評（1）幾何分布是放回抽樣問題，這也是幾何分布的特征，其分布列概率可以代入公式P（X=h）=（1-p）k-1p;（2）此類試驗都可以看作是抽取“小球”的試驗模型，難點在于確定隨機變量X取值的個數.

（二）CASE2求服從超幾何分布的概率

什么叫超幾何分布呢？如果在含有M件次品數的N件產品中，任取n件，其中含有X件次品， 則事件{X=k}發生的概率為： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.我們把這樣的分布稱為超幾何分布.由于這個級數CkMCn-kN-MCnN和幾何級數類似，被稱為超幾何級數，因此得名.

例7從裝有3個紅球2個白球的袋子中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，求隨機變量X的分布列.

解本題的隨機變量X服從超幾何分布，其概率的計算公式： P（X=k）=Ck3C2-k2C25，代入公式得P（X=0）=0.1， P（X=1）=0.6， P（X=2）=0.3.故X的分布列為：

點評（1）超幾何分布隸屬于不放回抽樣，這也是其最為顯著的特點，其分布列概率公式如下： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN;（2）此類問題都可以轉化為例7抽取“小球”的試驗模型，隨機變量X為取到“紅球”的個數，超幾何分布的本質上也是古典概型.

總結：通過討論以上三種基本概率模型，我們總結出概率模型的一些通性以及解題的一些通法.這為我們今后遇到此類問題時提供一些幫助，使我們在分析問題和處理問題時少走一些彎路，幫助我們準確而快速地找到解題的思路和方法.