周仲旺

【摘要】 眾所周知，平面上點的表示法有直角坐標系法和極坐標系法兩種，點的位置可通過直角坐標系中的坐標（x，y）的橫縱坐標長度或極坐標系中極坐標（ρ，θ）的極徑長度與極角角度表示.建立一種新的坐標系———角坐標系，使平面上點的位置由兩個角α，β，即角坐標（α，β）表示.用這種方法表示點，具有較高的實用價值.

【關鍵詞】 角坐標系;角坐標;第二距離

一、引言

自從1637年法國數學家笛卡爾創立了解析幾何以后，平面上的點可以用有序實數對（x，y）來表示，平面上的圖形可以用方程來表示，研究幾何圖形的性質可以轉化為研究一個相應的代數方程的問題.解析幾何的產生可以說是數學發展史上的一次飛躍.它的基本思想是用代數的方法研究幾何問題.為了把代數的方法引入到幾何中來，這就必須把幾何結構代數化.本文通過研究兩相交線段及其垂直平分線的性質發現，平面上一個點可以用兩個角表示，建立平面上一個點和兩個角之間的一一對應關系，由此引入角坐標系，開辟了研究幾何圖形的一個新途徑.注意：極坐標是用長度和角表示點，這種坐標顯然不對稱，而角坐標對稱，因此角坐標應該同直角坐標相媲美而比極坐標好.

二、角坐標系和角坐標

定義1 如圖1所示，在平面直線l上取一條線段O′O，對平面內不屬于直線l的任意一點A，分別作線段O′O，OA的垂直平分線，其交點為O 1，這樣就確定了唯一的兩個角α=∠O 1OO′，β=∠O 1OA.反之，對任意給定的兩個角α，β，作∠O 1OO′=α，使線段OO 1與線段OO′的垂直平分線交于O 1點，再作∠AOO 1=β，使線段OA的垂直平分線過O 1點，這樣就確定了唯一一點A.其中，-π2<α<π2，-π2<β<π2.于是除直線l上的點外，平面上任意一點A和有序數組（α，β）之間建立了一個一一對應關系，這個一一對應關系稱為平面上的角坐標系，（α，β）稱為點A的角坐標.

以O′O為正方向、以O′O的長度為一個單位、以O為極點建立極坐標系，則平面上點的極坐標（ρ，θ）和角坐標（α，β）滿足如下的坐標變換公式.

圖1 線段O′O和OA的垂直平分線交于O 1

定理1 設-π2<α<π2，-π2<β<π2，0≤θ≤2π，點A的極坐標（ρ，θ）和角坐標（α，β）間的坐標變換公式為

ρ=cos βcos α，

θ=π-α-β.

從OO 1旋轉到OO′，逆時針時α為正，順時針時α為負.從OA旋轉到OO 1，逆時針時β為正，順時針時β為負.

證 點A的極坐標（ρ，θ）和角坐標（α，β）的表示如圖2和圖3所示.

圖2 x軸是極軸0≤α<π[]2

圖3 x軸是極軸-π2<α≤0

顯然θ=π-α-β，OO 1cos α=12，OO 1cos β=12ρ，所以ρ=cos βcos α，定理證畢.

這里需要針對直線l上的點的角坐標做一下特別說明：O′的角坐標是（0，0），O的角坐標是α，±π2，其中α可取滿足-π2≤α≤π2的任意值，其他點的角坐標都是 ±π2，±π2.

O可視為直角坐標系、極坐標系和角坐標系三坐標系的共同的坐標原點，直線l是x軸或極軸，過O點垂直于l的直線是y軸，這樣平面上任意一點可分別通過直角坐標、極坐標和角坐標表示.

根據定理1中的坐標變換公式，平面曲線的直角坐標方程、極坐標方程可以化成角坐標方程，反之，角坐標方程也可以化成直角坐標方程、極坐標方程.在直角坐標系、極坐標系下有些方程很復雜、作圖也很難的曲線，在角坐標系下反而方程很簡單、作圖也很簡單.

例如，考慮在角坐標系中，由非常簡單的角坐標方程α=7β表示的曲線，根據ρ=cos? βcos α，θ=π-α-β，x=ρcos θ，y=ρsin θ，我們有ρcos α=cos β，ρcos（π-β-θ）=cos β，-ρcos（β+θ）=cos β，ρsin βsin θ-ρcos βcos θ=cos β，

ρsin θtan β-ρcos θ=1，tan β=1+ρcos θρsin θ=1+xy，tan θ=yx，θ+8β=π，tan （θ+8β）=0，再根據三角函數公式和matlab，最后得到該曲線的直角坐標方程為：

-7x8-48x7+28x6y2-140x6+112x5y2-224x5+14x4y4+140x4y2-210x4+112x3y4-112x3-20x2y6+252x2y4-140x2y2-28x2-48xy6+224xy4-112xy2+y8-28y6+70y4-28y2+1=0，顯然這個方程很復雜.

使用坐標變換公式x=ρcos θ，y=ρsin θ，可把上面的方程轉化成極坐標方程，其極坐標方程也很復雜.此曲線在直角坐標系、極坐標系中，用直尺、圓規、量角器作出圖像非常困難，但在角坐標系中，用直尺、圓規、量角器作出圖像非常容易，它就像條頂點在O′、開口向右的拋物線.計算得知，它與y軸的兩個交點的直角坐標的近似值是（0，±5.027），角坐標的精確值是716π，116π和-716π，-116π，頂點O′的直角坐標是（-1，0），角坐標是（0，0），這條拋物線關于x軸對稱.

再如，角坐標方程α=15β，α2+β2=π29，α2=β等表示的曲線，在直角坐標系、極坐標系中，用直尺、圓規、量角器作出圖像不大可能，但在角坐標系中，用直尺、圓規、量角器作出圖像并不難.α=2β，α=3β等方程表示的曲線，在直角坐標系、極坐標系中作出圖像比較麻煩，在角坐標系中作出圖像就很容易.這些例子充分說明角坐標系具有重要意義.下面討論直線和圓.

2.1 直線的角坐標方程

設直線的直角坐標方程為Ax+By+C=0（B≠0，B=0時可同樣討論），將x=ρcos θ=cos βcos αcos（π-α-β），y=ρsin θ=cos βcos αsin（π-α-β）

代入直線的直角坐標方程，整理得

A2+B2-AA2+B2cos（α+2β）+BA2+B2sin（α+2β）+（2C-A）2+B22C-A（2C-A）2+B2cosα+B（2C-A）2+B2sinα=0， （1）

令sinα 0=-AA2+B2，

cosα 0=BA2+B2，

sinβ 0=2C-A（2C-A）2+B2，

cosβ 0=B（2C-A）2+B2，

則A2+B2（2C-A）2+B2=cos β 0cos α 0.

把上式代入（1）式，整理得

cosα 0sin（α+β 0）+cosβ 0sin（α+2β+α 0）=0，其中，cosα 0cosβ 0>0. （2）

（2）式就是直線的角坐標方程，把β看成α的函數，該方程就比較簡單，不難證明可以設-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.下面討論兩種特殊情況：

（a） 當C=0時，sinα 0=sinβ 0，cosα 0=cosβ 0.（2）式化為

α 0=β 0，sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，

于是，β=±π2或者α+β=k，k是常數.

即過原點O的直線的角坐標方程是α+β=k，而β=±π2就是原點O.

（b）當C≠0，cosα 0=cosβ 0時，

（2）式化為sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，因為C≠0，根據情形（a），

cosβ+α 0-β 02=0.

所以β=γ 0=常數，把它化為直角坐標方程是

y=cot γ 0x+cot γ 0，這是過O′的直線.反過來，過O′的直線的直角坐標方程是y=bx+b，它化為角坐標方程是β=常數.所以β=常數是過O′的直線的角坐標方程，它比這類直線的直角坐標方程和極坐標方程都簡單.

2.2 圓的角坐標方程

圓的直角坐標方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（b≠0，b=0時可同樣討論），

記c=a2+b2-r2，同2.1節一樣，化簡得：

a+c+1+a2+b2sin（2α+2β+α 0）+（a+1）2+b2sin（2β+β 0）+（a+c）2+b2sin（2α+γ 0）=0，

其中

sin α 0=aa2+b2，

cos α 0=-ba2+b2，

sin β 0=a+1（a+1）2+b2，

cos β 0=-b（a+1）2+b2

sin γ 0=a+c（a+c）2+b2，

cos γ 0=-b（a+c）2+b2.

令t=a2+b2，則a=tsin α 0.

a+c=tcos α 0tan γ 0，a+1=tcos α 0tan β 0，（a+1）2+b2=tcos α 0cos β 0，（a+c）2+b2=tcos α 0cos γ 0代入上式整理得：

cos α 0cos β 0sin（2α+γ 0）+cos α 0cos γ 0sin（2β+β 0）+cos β 0cos γ 0sin（2α+2β+α 0）-sin α 0cos β 0cos γ 0+sin β 0cos α 0cos γ 0+sin γ 0cos α 0cos β 0=0， （3）

這就是圓的角坐標方程.當圓過原點O時，c=0，sin α 0=sin γ 0，cos α 0=cos γ 0，化簡方程（3），得到過原點O的圓的角坐標方程為

cos α 0sin（β+β 0）+cos β 0sin（2α+β+α 0）=0， （4）

其中cos α 0cos β 0>0，把α看成β的函數，該方程就比較簡單，不難證明可以設-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.

若圓（4）再過O′，則α 0=β 0，可推出α=常數，即過O，O′的圓的角坐標方程是α=常數，它比這類圓的直角坐標方程和極坐標方程都簡單.

把過原點的圓的角坐標方程（4）中的角坐標α，β交換一下即得直線的角坐標方程（2），把原點的角坐標α，±π2中的α，±π2交換一下即得無窮遠點的角坐標，這就證明了直線是過無窮遠點的圓，該結論在直角坐標系和極坐標系中很難證明.一個圓由圓周和圓心兩部分組成，所以平面上兩個圓的相關位置有四種：相離（沒有交點）、平行（只有一個交點，兩個圓相切現在稱其平行，兩個同心圓也稱為平行，因為它們只有一個交點即圓心）、相交（有兩個交點）和重合（三個交點）.一個圓和一條直線的相關位置有三種：相離（沒有交點），平行（一個交點，圓和直線相切現在稱其平行），相交（兩個交點）.兩條直線平行可以看成兩個圓平行（同心圓），兩條直線相交也可以看成兩個圓平行（一個交點），兩條直線重合可以看成兩個圓重合，這樣兩條直線的相關位置有兩種.

定理2 如果平面上兩個圓C 1，C 2的圓心分別為O 1，O 2，半徑分別為r 1，r 2且r 1≤r 2，O 1，O 2兩點間的距離為d，則這兩個圓：

（1）相離的充要條件是d>r 1+r 2或0

（2）平行的充要條件是d=0或d=r 1+r 2或d=r 2-r 1.

（3）相交的充要條件是r 2-r 1

（4）重合的充要條件是d=0且r 1=r 2.

圓和直線的相關位置通過比較圓心到直線的距離和這個圓的半徑之間的大小不難得出.

當兩個圓相切或相交時，它們在公共點處的兩條切線成的角稱為這兩個圓的夾角，這顯然是兩條直線夾角定義的自然推廣.當兩個圓的夾角是直角時，稱這兩個圓互相垂直.

23 平面上兩點間的第二距離

在角坐標系下，直線和過原點的圓，坐標原點和無窮遠點，從代數上看是一樣的，從幾何上看是相應的兩極，因此我們可以把平面上任意兩點間的距離進行推廣，即平面上任意兩點間有兩個距離，一是這兩點和無窮遠點決定的圓上的弧長即這兩點間的線段的長，二是這兩點和坐標原點決定的圓上的這兩點間不經過原點的那段弧的長，兩點間的距離應該用圓的弧長定義，而不應該用線段的長定義，因為線段的長是圓的弧長的特殊情況，兩點決定一條直線，應該改為兩點決定兩個圓，一個圓是這兩點和無窮遠點決定的圓，另一個圓是這兩點和坐標原點決定的圓，應把這兩個圓放在一起研究，而不應像歐氏幾何那樣，把它們割裂開來.研究平面上任意兩點間的第二距離即過原點的圓上的一段弧長有其一定意義，例如，研究平面上到一定點的第二距離等于定長的點的軌跡，這將是一條新曲線.研究第一距離即通常的歐氏距離，比較簡單，但研究第二距離非常復雜.

【參考文獻】

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根，張紫霞.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1987.