楊潔

【摘要】三角函數是高中數學的重要組成部分，也是高考的重要考點，所以我們需要加強對此方面的關注程度.我們通過調查發現當下很多學生無法在考試中發現三角函數相關習題的考查點，出現嚴重失分的現象，所以本文總結了高考數學中三角函數方面的熱點問題，指出相關習題的考查內容與解題方式，以達到對學生解答三角函數相關問題有一定的啟示作用的目的.

【關鍵詞】高考;三角函數;熱點問題;分析

教育部越來越重視學生對知識基礎概念的掌握與運用，對于這一點，我們從近些年高中數學考試中便可以發現一些端倪.三角函數是高中知識的重點內容，是高考的重要組成部分，從這幾年的高考試卷中我們發現，關于三角函數習題的設置，集中于基礎概念、三角恒等變換等內容.因此，學生必須理解并掌握三角函數的理論知識，遇到三角函數相關習題后，可以快速掌握出題人的意圖，選擇科學的方法解答問題.以下將指出高考中三角函數方面的熱點問題，在此基礎上給出解答相關問題的方法.

一、三角函數熱點問題

（一）常規題

例題1 （2018全國Ⅲ理）若sin α=13，則cos 2α=（? ）.

A.89?? B.79?? C.-79?? D.-89

解析 本題利用二倍角公式可以得出答案，cos 2α=1-2sin2α=1-2[]9=7[]9，所以本題選擇B.

（二）公式的正用與逆用

例題2 （2019江蘇）已知tan αtanα+π4=-23，則sin2α+π4的值是.

解析 展開已知條件給出的式子，tan αtan α+11-tan α=tan α（1-tan α）tan α+1=-23，為了簡化計算步驟，防止計算過程中出錯，在這里我們使用換元法，用x替換等式中的tan α，在等式兩邊交叉相乘后得到等式3x2-5x-2=0，解得x 1=-13，x 2=2，即tan α=-1[]3，或tan α=2.展開sin2α+π[]4得22（sin 2α+cos 2α），這里可以使用萬能公式求解，但是會增加求解過程，所以本題使用齊次思想，將等式轉換成22×2sinαcosα-sin2α+cos2αsin2α+cos2α=22×2tan α-tan 2α+1tan 2α+1，接下來將tan α=-13或tan α=2分別代入式子中，我們發現結果均是210.故填2[]10.

（三）三角函數方程與零點問題

例題3 （2018全國Ⅲ理）函數f（x）=cos3x+π6在[0，π]中的零點個數為.

解析 本道題求的是函數在[0，π]中的零點個數，可以使用兩種方法：

①因為x∈[0，π]，所以3x+π6∈π6，19π6，令3x+π6分別等于π[]2，3π[]2，5[]2π，均可以得到一個零點.

②令cos3x+π6=0，則3x+π6=π2+kπ3x=π3+kπ，x=π9+kπ3，因為x∈[0，π]，所以k可以取0，1，2.采

用第一種做法與第二種做法均可以求出函數有3個零點.故填3.

（四）三角函數的圖像與性質

例題4 （2018天津理）將函數y=sin2x+π5的圖像向右平移π10個單位長度，所得圖像對應的函數（? ）.

A.在區間3π4，5π[]4上單調遞增

B.在區間3π4，π上單調遞減

C.在區間5π4，3π2上單調遞增

D.在區間3π2，2π上單調遞減

解析 閱讀題干，圖像向右平移π10個單位長度，按照左加右減的規律，得到平移后的圖像對應的函數為y=sin2x-π10+π5=sin 2x.圖1為y=sin 2x的函數圖像，通過圖像直接進行判斷，發現選項A的表述與函數圖像一致.故選A.

例題5 （2019天津文）已知函數f（x）= Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）是奇函數，且f（x）的最小正周期是π，將函數y=f（x）的圖像上所有點的橫坐標增加到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為g（x），若gπ4=2，則f3π8=（? ）.

A.-2?? B.-2?? C.2?? D.2

解析 從題目提供的已知條件中我們了解到f（x）=Asin（ωx+φ）是一個奇函數，暗示著函數中的φ一定是π[]2的偶數倍.題干給出|φ|<π的條件，在此種情況下φ只能取0.根據掌握的條件函數表達式為f（x）=Asix ωx，又函數的最小正周期是π，故通過周期公式T=2πω得2πω=π，得出ω=2，因為函數式中ω是正數，所以確定ω就是2.此時函數式中只剩A一個未知量了，根據題干條件“將函數y=f（x）的圖像上所有點的橫坐標增加到原來的2倍”，橫坐標變成原來的2倍代表函數周期變成原來的2倍，則ω相應地減少一半，在條件改變后得到的函數解析式g（x）=Asin x.結合已知條件“gπ4=2”，得g（x）=Asinπ4=2A=2，函數f（x）中的未知量全部解出來了，f（x）=2sin 2x，此時將3π[]8代入函數式中，f3π8=2sin3π4=2，因此本題應該選擇C.

（五）綜合應用

例題6 （2019全國Ⅰ理）關于函數f（x）=sinx+sin x有下述四個結論：

（1）f（x）為偶函數;

（2）f（x）在區間π[]2，π單調遞增;

（3）f（x）在[-π，π]有4個零點;

（4）f（x）的最大值是2.

以上結論中正確的編號是（? ）.

A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.（2）（4）

D.（1）（4）

解析

分析第一個結論，函數是否為偶函數，由偶函數具備f（-x）=f（x）的特性，分析函數f（x）=sinx+sin x，sinx與sin x分別含有絕對值符號，所以對x添加負號不會對函數值造成影響，結論（1）是正確的.

從結論（2）給出的條件，我們知道x的范圍在區間π[]2，π上，函數中的自變量x在此區間中可以去掉sin|x|的絕對值符號.因為x在區間π[]2，π內時|sin x|是正數，絕對值符號添加與否不會改變函數的結果，所以|sin x|的絕對值符號也可以去掉.函數的兩個絕對值符號去掉后，函數表達式為f（x）=sin x+sin x=2sin x，該函數在π[]2，π范圍中單調遞減，所以結論（2）不正確.

結論（3）提問函數f（x）的零點數量，我們使用0作為分界點研究一半區間內的零點數量，這樣可以快速判斷函數在整個區間內的零點數量.結合函數解析式先計算f（0），因為f（0）=sin|0|+|sin 0|=0，所以可以直接排除此選項，因為f（x）=sin|x|+|sin x|本身就是偶函數，以零為分界點的兩個區間零點數量應該相同，所以函數在[-π，π]中的零點個數應該是奇數，與結論⑶存在出入，所以此結論是錯誤的.

分析結論（4），因為函數f（x）=sin|x|+|sin? x|是偶函數，且當x在π[]2，π內時f（x）=2sin x，所以函數的最大值就是2.

因此本題應該選擇D選項.

二、提高學生解題能力的建議

近些年高考出題注重學生對數學概念與公式的把控，三角函數作為高考數學的必考知識點，占據一定的分數，從往年高考數學試卷學生在三角函數方面得分的表現，我們不難發現三角函數屬于學生的薄弱項，大部分學生不能靈活地使用學習過的概念、性質與公式處理問題，以下將提出解決相關問題的方法.

（一）熟記基礎概念與公式

靈活應用所學知識解三角函數問題的前提是掌握三角函數的定義與公式.我們對往年高考試卷在三角函數方面的習題進行深入的研究與分析，發現當下命題組在三角函數習題設置方面，主要通過正弦定理和余弦定理轉換邊角關系.解答高考試卷內的三角函數試題，需要運用三角函數公式，鑒于很多學生容易遺忘三角函數公式，所以采用科學的方式記憶公式與三角函數概念變得異常關鍵，學生可以使用象限作為輔助工具記憶相關知識，第一、二象限角的正弦值為正，第一、四象限角的余弦值為正等，防止正弦、余弦轉換時因為符號問題，無法得出正確的結果.

（二）掌握三角函數性質與三角形邊角的關系

三角函數相關問題注重性質與函數圖像的考查.解答三角函數圖像與性質的問題時，我們一般使用數形結合的答題方式，使用五點畫圖法或是平移，確定函數圖像，在此基礎上分析函數性質.高考在三角函數性質考查方面，一般常出已知函數性質與圖像，在此基礎上提出問題的題，還有一類是已經函數表達式研究函數性質.

遇到三角形邊角關系的問題時，我們一般使用余弦定理、正弦定理，將問題中混雜邊角的內容轉換成單一的邊問題或角問題，這是解答三角形邊角關系問題的思路.其中正弦定理與余弦定理是完成三角形邊角轉化的橋梁，學生必須對其擁有正確的認識，在平時應加強訓練.

三、結語

高考數學重視學生對基礎知識的掌握情況，三角函數方面的知識集中在知識應用性與綜合性層面的考查，雖然當下三角函數的知識逐漸與其他類型的知識相互結合，但是高考對三角函數知識的考查仍然集中在基礎性質方面.當下學生應該夯實基礎知識，在掌握三角函數性質與圖像的基礎上，還需要按照高考出題難度于課下勤加練習，由此強化自身在解三角形與三角恒等變換方面的能力.

【參考文獻】

[1]劉憶多.高考中一類三角函數問題的解法探析[J].科學咨詢，2015（37）：80.