小學數學教材解讀的問題意識與方法統籌

摘要：教材是教師最主要的教學素材，只有準確解讀教材，才能用好教材。解讀教材時要有明確的問題意識，即教材“是什么”“為什么”“想什么”“有什么”。要解決這樣的四個問題需要一定的方法統籌，其中，整體的觀念、比較的意識、結構的視角、兒童的立場是最基本的策略。

關鍵詞：小學數學;教材解讀;問題意識;方法統籌

教材是教師最主要的教學素材，只有準確解讀教材，才能用好教材。筆者認為，小學數學教材解讀中尤其需要問題意識與方法統籌。

一、樹立問題意識：清楚回答四個“什么”

解讀小學數學教材要透過文字、圖形和符號等，知道其內容和內涵，明確教材要給學生傳遞什么知識、提升什么能力、學習什么數學思想方法等。教師一定要明確教材解讀的目標，清楚回答四個“什么”。

（一）讀清“是什么”：理解知識的內涵本質

菲利克斯·克萊因指出：基礎數學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單;一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程，以及數學教育的演化經過。也就是說，小學數學教師應該了解初等數學的體系和結構，了解初等數學史。

蘇教版小學數學四年級下冊的《確定位置》，教學內容是用數對確定位置。例1的情境比較現實，教室是學校生活的主要場所，確定教室里的座位是現實問題，學生聯系已有經驗容易接受有關數對的知識，也容易體驗數對表示位置的思想方法。在此基礎上，把平面圖上表示的建筑、場所看作方格紙上的點，用數對確定它們的位置就水到渠成了。例1著重教學用數對確定位置的有關知識與基本方法。而例2的情境則有些抽象，應用數對確定位置，提高了數學化程度，有利于培養學生確定位置的能力。放眼中學知識的學習，例2其實就是直角坐標系中的第一象限。用數對確定位置，本質上就是在平面直角坐標系中，用一對有序的實數確定一個點的位置;反過來，任意一點的位置都可以用一對有序實數來表示，這樣的有序實數對叫作點的坐標。這樣來理解用數對確定位置，這里的數對其實就是點的坐標。基于這樣的理解，就不會把教學停留在生活應用上，局限于用數對表示生活中物體的位置。這一部分內容的學習是為今后建立直角坐標系打基礎的，意在培育數形結合的思想。綜觀數學史，笛卡爾坐標系絕不是僅僅用數對表示物體的位置，而是用數對的方法計算幾何問題。這樣實現了圖形中的點與有序實數對的對應，有助于更深入地理解數學、研究數學。

再將四年級下冊的《確定位置》與六年級下冊的《確定位置》做比較，四年級下冊是用一對有序的數表示平面上某個點的位置，而六年級下冊是用方向和距離表示平面中某個點的位置，再到中學中用一對有序實數表示平面上某個點的位置，本質上都用兩個量確定平面上某一點的位置。由于學生知識基礎的不同，用數對確定位置只能表示直角坐標系中的第一象限，而六年級的用方向和距離則可以表示四個象限內的點。中學學習了負數之后，也可以用一對有序的實數表示四個象限內的點，就是點的坐標。由此可見，一維空間只需要一個數則能確定點的位置，而要確定三維空間中某個點的位置則需要三個有序的數。

（二）讀懂“為什么”：溝通學生的經驗世界

教材中，例題之間、例題與“試一試”之間都有一定的順序。教師理解了為什么這么編排，就能很好地溝通知識與學生的經驗世界。以蘇教版小學數學六年級上冊《分數除法》一課為例，教材安排了一個例題與一個“試一試”。例1：“量杯里有45升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？”試一試：“如果把45升果汁平均分給3個小朋友喝，每人喝多少升？”先平均分給2個小朋友，再分給3個小朋友，這當中既有編者的智慧，更是考慮學生的經驗。把45升平均分給2個小朋友，學生根據已有經驗能夠解決。學生會有多種方法，可以是借助畫圖，直觀地看出把45升平均分成2份，每份就是25升;可能會想，45中有4個15，把4個15平均分成2份，每份是2個15，就是25;也有學生會從圖形中發現，把45升平均分成2份與求45升的12同樣多。需要引導學生發現一個分數除以整數與這個分數乘整數的倒數的結果相等。從學生已經有的經驗出發，發現其中的規律：一個分數除以整數等于這個分數乘整數的倒數。接下來，讓學生完成把45升果汁平均分給3個小朋友喝，每人喝多少升？交流時，提醒學生思考：你是如何計算的？這時會發現，不再有學生用畫圖的方法了，也沒有用4個15除以3了，幾乎都是用45×13。這樣的教學既尊重學生的經驗，也將多種方法進行了優化。學生明白了分數除以整數改成分數乘整數的倒數具有一般意義，而前面的兩種方法有一定局限性。

（三）讀透“想什么”：凸顯學習的思維方式

在理解教材編排結構的基礎上，還要進一步讀透教材，理解教材知識的呈現方式，把握內含的數學思想方法。教材中相關數學知識的認識背景、學生認知方式、內化途徑等決定其呈現的方式。

如蘇教版小學數學五年級上冊《平行四邊形的面積計算》，其公式的推導教材安排了三個例題，三個例題之間有著怎樣的邏輯關系呢？怎樣引領學生的思維，使其能夠通過對平行四邊形面積公式的推導學習，掌握一般平面圖形的面積計算公式的推導方法呢？這是我們解讀任何教學內容都需要思考的問題。研讀教材，會發現其中蘊含這樣的思考探究過程——

例1通過轉化前后的面積是否相等，告訴學生圖形的轉化要以面積相等為基礎;同時，也正是由于面積相等，所以才能通過轉化來推導圖形的面積計算公式，這是面積公式推導的基石。

例2直接提出問題：“你能把右邊的平行四邊形轉化成長方形嗎？”這讓很多教師疑惑：這樣不是會減少學生圖形轉化的靈活性嗎？其實不然。有向轉化，正是面積計算公式推導的思維基礎。要求推導平行四邊形的面積計算公式，那就必須轉化為學過的長方形。因此，就要以長方形的特征為思維基礎，進行有向轉化——只有概括長方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結論，也為以后面積計算公式推導提供思維路徑。

例3則通過教材第115頁提供各種形式各異的平行四邊形，讓學生從中任選，并提供表格讓學生交流比較，意在讓學生明確這樣的關系比較的普遍;最后，通過與長方形對比中的簡單演繹推理過程，得出平行四邊形面積計算公式。這樣從等積變形（轉化后與轉化前面積相等）到有向轉化（沿高剪開轉化成已學過面積公式圖形），再到更多舉例（經歷數學歸納過程）、公式表達（由圖形各要素關系導出計算公式）。

就是這樣的三個例題蘊含的思考過程，把平面圖形面積計算公式推導的思維路徑展開得科學、合理。教學時，要把這樣的展開邏輯讓學生充分經歷體悟，形成思維結構，便于學生在今后的平面圖形面積計算公式乃至立體圖形體積計算公式等推導的學習過程中，自覺運用形成正向遷移，實現從“學會”到“會學”的升級。

（四）讀出“有什么”，形成整體的結構意識

教材解讀時，不能只盯著一課時的內容，需要有整體結構的意識，全面地看教材，還要能看出一些教材中沒有直接或顯性表達出來的內容。

例如，蘇教版小學數學五年級上冊的《多邊形的面積》，僅看例題中三角形及梯形的面積公式的推導，都是運用兩個完全相同的三角形（梯形）拼成一個平行四邊形，比較拼成的平行四邊形與三角形（梯形）的關系，推導出三角形（梯形）的面積計算公式。而在本單元的《你知道嗎》中，又介紹了《九章算術》中的“半廣以乘正從”。劉徽用“以盈補虛”對這種方法加以說明。一個單元結束后，在《整理與練習》中有這樣一道思考題：“在方格紙上畫一個三角形和一個梯形，通過剪、拼分別把它們轉化成平行四邊形。你能根據轉化的平行四邊形與原來圖形的關系，推導出三角形和梯形的面積公式嗎？”由此可以看出，編者希望運用多種方法推導出圖形的面積計算公式，希望在研究多邊形的面積時，適當介紹古代數學的研究成果，培養學生的數學情感與民族自豪感，這也是一種學科育人。

再如，蘇教版小學數學五年級上冊的《小數乘法和除法》，之前一版教材是分兩個單元教學的，《小數乘除法（一）》和《小數乘除法（二）》。這樣分散教學不利于學生掌握，然而，小數乘除法計算的能力又需要進行一定量的練習，集中學習之后練習的時間會減少。教材為了解決這一問題，在學完小數乘除法新知之后，每個練習中都安排了小數乘除法計算的練習。這就提醒我們，小數乘除法的學習，需要集中教學、長期練習。唯有如此，才能助力學生形成一定的運算能力。

二、講究方法統籌：重點關注四個維度

教材解讀是一個復雜的問題。教師根據自己的實際情況或者遇到的實際問題，需要采用不同的方法，其中，整體的觀念、比較的意識、結構的視角、兒童的立場是不可或缺的。

（一）整體的觀念：在森林中看樹木

小學數學教材是以數學自身的體系結構以及小學生的認知規律為基礎，把數學基本概念、規律、思想方法等構建成一個有機的整體。這個整體不是知識的簡單堆砌，而是一個上下縱橫交錯、各部分緊密聯系，循序漸進、螺旋上升的知識網絡。因此，我們應樹立整體意識，厘清各個部分知識的邏輯關系，把握教材體系。以蘇教版小學數學五年級下冊《簡易方程》為例，我們在解讀這一單元教材內容時，不能單看這一單元的內容，要有整體的觀念，至少可以從兩個維度去看。

其一，以本冊教材為一個整體，整體認識整本教材之后，再看這一單元的內容。本冊教材一共安排了8個單元。中間還有2個綜合與實踐活動——《蒜葉的生長》和《球的反彈高度》，和一個探索規律的專題活動——《和與積的奇偶性》。可以看出，第一，代數初步知識多了，以前更多的是算術知識，從五年級上冊學習用字母表示數開始引入代數知識。第二，數的認識從之前的整數、小數，到這學期開始系統地學習分數知識了。第三，平面圖形的認識在直線平面圖形的基礎上開始教學曲線平面圖形。在數學知識教學的同時，數學思想方法更多了。有關方程的知識和思想，將極大地突破算術知識與方法，從此，“已知”與“未知”不再是矛盾、對立的兩種數量，而是有機聯系、內在統一的兩個方面。研究與表達數量之間的關系，也不再局限于“整數倍”范圍內，可以用分數表示數量之間的倍比關系，也可以把較小的數量與較大的數量相比較。解決問題的策略教學不只是解答那些傳統“應用題”式的實際問題，還能解答“非常規”的比較新穎的實際問題;至于《圓的認識》中，“曲”與“直”的相互轉化，滲透了初步的辯證法。《簡易方程》的學習是學生從算術思維向代數思維的發展，這一單元的學習要讓學生體會：方程是為了求未知數，方程是表示已知數與未知數之間的等量關系，方程運用等式的性質進行適當的變形，可以求出未知數的值。

其二，從知識體系來看《簡易方程》，它屬于“數與代數”領域中“式與方程”的內容。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（簡稱“新課標”）中關于“式與方程”在第二學段提出了4條要求：

1.在具體情境中能用字母表示數。

2.結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。

3.能用方程表示簡單的情境中的等量關系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用。

4.了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

蘇教版小學數學教材依據新課標在“式與方程”這一內容分三次安排教學內容（見表1）。

內容冊次用字母表示數，數量關系，公式五年級上冊用方程表示等量關系，等式的性質，解簡易方程，列方程解決實際問題五年級下冊列方程解決有關分數、百分數的實際問題六年級上冊五年級下冊就《簡易方程》又安排了10個例題和一個《整理與練習》（見表2）。

例題教學內容練習例1等式的含義例2方程的意義例3等式的性質（一）例4用等式的性質（一）解一步計算的方程例5等式的性質（二）例6用等式的性質（二）解一步計算的方程練習一例7列方程解答一步計算的實際問題例8至

例10列方程解答兩、三步計算的實際問題練習二

練習三整理與練習例1、例2是在認識等式的基礎上認識方程的含義。例3到例6，邊學習等式的性質，邊運用等式的性質解方程。例7則是學習運用列方程解決實際問題的一個完整過程。例8到例10是列方程解答兩、三步計算的實際問題。這里不僅要指導學生如何找等量關系，還要指導他們選擇合適的等量關系列方程。方程求解的過程會簡單一些，這一過程中還要教學如何解稍復雜的方程等。

（二）比較的意識：在對比中找異同

對比分析不同版本教材，有助于教師選擇適當的內容及其處理方式，實現數學教材的再加工和再創造。在數學教學中，教師要“瞻前顧后”“左顧右盼”，要“承前啟后”“繼往開來”。不僅要縱向融通，還要橫向融通。縱向融通，有助于教師將知識置于發展性的知識脈絡之中，從而讓新舊知識得到更好的鏈接。橫向融通，則有助于教師在知識差異的基礎上比較、反思，從而獲得深刻的啟迪、合理的優化，建構知識結構和體系。

例如，五年級下冊的《圓的周長》，和實驗版教材相比，教材編排就發生了變化。

教材中的例4到例6，教學圓的周長，依循“觀察比較—形成猜想—實驗驗證—歸納應用”的路徑。與實驗版教材相比，例5前多了這樣一個部分：“在正方形內畫一個最大的圓。你知道正方形的周長是圓直徑的幾倍嗎？在圓內再畫一個正六邊形，六邊形的頂點都在圓上，六邊形的周長是圓徑的幾倍？想一想：圓的周長大約是直徑的幾倍？”

為什么要增加這一內容呢？我們整體來看這一部分內容——

例4著重教學圓周長的含義，引導學生形成圓的周長與它的直徑有關的猜想。聯系實際以及生活經驗，提示圓周長的意義，有助于原有的周長概念遷移到新的平面圖形上來。比較3個車輪的直徑與周長，形成圓的周長與它的直徑有關的猜想。

例5分兩部分。第一部分，正方形內畫一個最大的圓，在圓內再畫一個內接正六邊形。從教材的圖中可以看出，圓的周長比正方形周長短一些，比六邊形的周長長一些，即圓的周長在直徑的3倍到4倍之間。教材這樣安排至少有兩點意圖。第一，我們的祖先曾經像這樣探索圓周長的計算方法，并取得了輝煌的成就，讓學生簡單經歷這樣的過程，能獲得良好的情感體驗。第二，初步得出圓周長是它直徑的3倍多一些，能給后面探索圓周長的計算公式一些引導，也可以驗證后面的計算是否合理。

第二部分是測量圓的周長，體會圓的周長與直徑之間的確定關系，認識圓周率，最終形成圓周長的計算公式。這一部分讓學生測量一些圓的周長與直徑，驗證前面的猜想，圓的周長的確是直徑的3倍多一些，至于學生算出的結果是3倍多多少，并不是很重要。事實上，圓周率不是算出來的，圓周率是一個無理數，測量出的圓周長和圓直徑是兩個有理數，兩個有理數的商不可能是無理數。這里的計算只是幫助學生去感知。上述活動的價值，有助于學生建立一種圓周長與圓直徑關系的猜想，讓學生更好地體會圓周率的豐富內涵，感受圓的無限魅力。

實驗操作之后，要引導學生去閱讀，客觀地介紹圓周率的歷史，再介紹圓周率的含義，以及中外數學家在圓周率研究方面的杰出思想和貢獻。

教材這樣編排，是還原的圓周率的研究史，讓學生按照數學發展的歷史經歷圓周率的研究過程。事實上，我們還需要進一步介紹當今對圓周率的研究，也是書中第95頁《你知道嗎》中所介紹的內容。按照數學發展史來進行學習，也就是所謂的再創造。

（三）結構的視角：在結構間找邏輯

美國教育家布魯納說：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構。”教師要想讓學生真正理解與建立學科結構體系，必須高屋建瓴地認識、理解與掌握教材中的學科基本結構。教材中的數學常將學科數學的結構進行拆解重編，讓學生一點一點地學習數學，不斷循環，螺旋上升。教師要還原數學的本來結構，看到或觸摸到數學知識核心及完整的樣子，感悟隱藏于知識背后的數學思想。只有科學、準確、深入理解教材，才能用好教材，才能創造適合每一位兒童的數學教育。

平移、旋轉和軸對稱是“圖形與幾何”領域里關于“圖形的運動”的知識，蘇教版小學數學教材中分兩次編排了《平移、旋轉和軸對稱》，分別在三年級上冊和四年級下冊。同樣的課題，教學內容與教學目標存在很大的差別。

三年級上冊是結合實例，要求學生感受平移、旋轉、軸對稱現象;能辨認簡單圖形平移后的圖形;通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形。這些要求相對比較低，只要從身邊的實際事例中感知，初步形成表象，能辨認簡單的圖形平移后的圖形，幫助學生積累一些有關物體或圖形運動變化的初步體驗。

而到了四年級下冊，要求在方格紙上把簡單圖形水平平移或豎直平移，在方格紙上把簡單圖形按順時針方向或逆時針方向旋轉90度;通過把圖形對折，找到軸對稱圖形的對稱軸，在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸，或者在方格紙上補全軸對稱圖形。所有畫圖與操作活動，都是讓學生進一步體會平稱、旋轉和軸對稱的含義，鍛煉學生的空間思維。與三年級上冊比較，有了一定的提升，但對難度還是有所控制的，都是強調在方格紙上去完成。到了中學，還會進一步學習旋轉、軸對稱，探索軸對稱圖的性質。

蘇教版小學數學教材的編排注重知識之間的聯系與遞進，從三年級上冊結合實例認識到四年級下冊方格紙上簡單圖形的探究，再到中學對圖形性質的研究。通過“縱向深入”，不斷推動學生深入對相關數學知識、思想方法、活動經驗的體驗。

（四）兒童的立場：從學生處想困難

美國心理學家奧蘇貝爾認為，“影響學習最主要的因素是學生已知的內容，弄清了這一點之后，進行相應的教學”。只有學生真正地把將要學習的新內容與自己頭腦中的原有認知結構相聯系，才會產生有意義的學習，進一步形成新的認知結構。教材解讀也應樹立學情意識，貼近學生現實，從學生的認知結構與思維特點出發，分析學生對教材內容會有怎樣的理解障礙，學生的學習困難會發生在何處。教師要溝通教材內容與學生的經驗世界，使二者相融相通，促進學生思維水平的發展和提升。

在學習五年級下冊的《圓》時，學生對圓的本質“圓，一中同長也”的理解有一定的困難。教材從三個方面幫助學生理解。一是在呈現常見圓形物體的基礎上，要求學生聯系生活經驗進一步列舉生活中所見過的圓形物體、自然現象、運動現象。二是結合用圓規畫圓的過程去理解，“兩腳叉開”就是定長，“固定針尖”就是定點，“旋轉成圓”就是使無數個點集合成圓。三是通過利用所學知識解釋相關生活現象來理解。自行車的車輪為什么做成圓的，車軸應該裝在什么位置等。在這一系列的活動中，幫助學生理解圓的本質特征。

準確解讀教材，對教師而言是有挑戰的。尤其是新入職的教師，要根據自己的認知基礎，明確解讀目標，探索解讀方法。在解讀之后，更需根據教材的內容與學生的實際情況活用教材。如此，才能設計出一節節既符合知識本質、符合學生學習規律，又能提升學生數學素養的好課。

參考文獻：

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[3]?李志軍.分析知識結構優化認知結構[J].小學數學教育，2020（7/8）.