深度研讀教材策略之二：再現數學知識的形成過程

周佳泉 李雪菲

【導讀】

“體積和體積單位”是人教版數學五年級下冊的內容。它是學生在“圖形與幾何”板塊認知水平上的一次大飛躍，實現空間認知能力從“二維”到“三維”跨越的必經之路。

在這部分內容的實際教學中，我們常常發現這樣一些問題：學生知道“長方體的體積=長×寬×高”，卻無法解釋為什么用“長×寬×高”;他們清楚1立方厘米、1立方分米和1立方米的定義，卻不能大致估計一個書包、一個蘋果的體積……學生在學習的道路上，哪些地方“掉鏈子”了？該怎樣彌補？

來自昆明市盤龍區金康園小學的周佳泉老師，用實踐探究的方式給我們呈現了不一樣的“體積和體積單位”。希望能拋磚引玉，引起大家更多的思考。

【案例】

課堂實錄：

一、情境導入

師（出示尺子）：1厘米的線段上有多少個點？2厘米的線段上呢？

……

師：既然它們都有無數個點，那他們相等咯？

……

師：也就是說，我們用點作單位無法比較兩條線段的長度，當我們用厘米作單位的時候，就很容易比較它們的長短了，是這樣嗎？

……

二、認識體積

師：什么是體積？

生1：物體所占空間的大小，叫作體積。

師：那什么是空間呢？（生無語）

師：請坐。我們來看一段視頻。（課件播放相同杯子裝水再加土豆水溢出的視頻）

（生觀看）

師：同樣大小的杯子，為什么第三個杯子裝不了一杯水？為什么第一杯的水會溢出來呢？

……

三、認識體積單位

（一）建立體積單位的必要性

師（課件出示書包和文具盒）：誰的體積大？

生（齊）：書包的體積大。

師：書包的體積到底有多大？

……

師：所以我們就需要有一個體積單位來對它進行描述。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米。

（二）認識立方厘米

師（出示課件）：我們規定棱長1厘米的小正方體，它的體積就是1立方厘米。在你們學具盒里找一找，找出1立方厘米的小正方體。

（學生找到舉起來）

師：1立方厘米的小正方體和身體的哪一個部分大小差不多？

生1：和一個指甲蓋大小差不多。

師：比比看，我們的手指甲蓋有1立方厘米大嗎？

生2：沒有，厚度不夠。

……

師：生活中還有哪些物體的體積大約是1立方厘米？

……

師：看你們桌上的墨水盒，估計它的體積大約是多少立方厘米？

生（猜測）：20cm3、40cm3、80cm3、200cm3……

師：大家有什么辦法能夠知道這個墨水盒的體積是多少立方厘米？

生1：用體積是1立方厘米的小正方體來填充，能填充多少個，它的體積就是多少立方厘米。

……

師：一共能擺多少個？

生2：24×5=120個。

師：擺滿了嗎？

生（齊）：擺滿了。

師：也就是說，這個墨水盒的體積大約是……

生（齊）：120立方厘米。

師：和自己的拳頭比比，有什么發現？

生1：差不多。

生2：我們的一個拳頭，大約就是120立方厘米。

……

（三）認識立方分米

師：學了立方厘米，那你知道1立方分米是多大嗎？

……

師：它和我們身體的哪一部分大小差不多？

生1：和我們的兩個拳頭大小差不多。

生2：應該是4個拳頭。

師：這位同學說1立方分米和我們的4個拳頭大小差不多，大家同意嗎？

生（用拳頭比畫）：是差不多。

師：真的嗎？高度夠嗎？

生（恍然大悟）：高度不夠，還要再來一層。（再加上4個拳頭）

……

師：請估計一下一個書包的體積大約是多少立方分米？

……

師：剛才我們已經估算過，我們的一個拳頭大約是120立方厘米。一立方分米大約相當于我們的8個拳頭，那1立方分米大約等于多少立方厘米呢？

生：120×8=960立方厘米。

師：也就是快接近……

生2：1000立方厘米了。

師：那我們大膽地猜測一下，1立方分米會等于多少立方厘米？

生3：1立方分米=1000立方厘米。

師（用PPT演示）：

……

師：證明我們的猜測……

生（齊）：是對的！（師板書：1dm3=1000cm3）

（四）認識立方米

師：如果用立方分米做單位來測量我們這間教室內部空間的大小，合適嗎？

……

師：想要真正見識一下1立方米的視覺效果嗎？

生（齊）：想！

師（擺出1立方米的正方體框架）。

生（驚嘆）：哇！

師：“哇”是什么意思？

生：太大了！

師：生活中哪些物體的體積大約就是1立方米？

……

師：大約能鉆多少個人進去？

……

師：滿了嗎？

生（齊）：滿了。

師：真的嗎？

生5：還沒有。如果人可以堆起來，還可以往上再擺。

……

師：這就意味著1立方米大約相當于幾個同學的體積？

生（齊）：24個。

師：其實24個同學之間……

生6：還有空隙。

師：那把這些空隙也塞滿呢？

……

師：已經快接近……

生（齊）：1000立方分米了。

……

生2：這和1立方分米等于1000立方厘米，道理是一樣。

（師板書：1m3=1000dm3）

師：請大家估計一下我們這間錄播教室內部的空間大約是多少立方米？

（生有些為難）

師：老師告訴大家：教室前后長15米。這就意味著一排可以……

生1：擺15個。

師：寬是8米。

生（多數學生激動）：可以擺120個！

師：擺滿了嗎？

生（齊）：沒有，只擺滿了一層。

師：這間教室的高度是3.3米，我們把它大約當作3米。

生：360個！

師：也就是說這間錄播教室的內部空間大約是……

生（齊）：360立方米！

四、鞏固練習

師：請猜一猜這是哪種東西的體積？

……

師（PPT出示大貨車車廂數據）：你知道這個大貨車車廂的內部空間是多少立方米嗎？

……

五、知識整合

師：在學習了體積單位之前，我們還學過哪些關于圖形的測量單位呢？

……

師（用PPT演示水龍頭滴水）：很多個點聚集在一起，就形成了線段。這時候要測量它的長度，我們用什么來測量呢？

……

師（用PPT演示）：很多根線段排列起來就成為……

生：一個面。

……

師（PPT演示）：很多個面疊加起來就成為……

生：體！

……

六、小結

師：這節課我們學了哪些知識？

……

【思考】

“體積和體積單位”知識內容并不多，但抽象程度高，學生理解起來并不容易。來自昆明市盤龍區金康園小學的周佳泉老師，本著“讓學生經歷知識形成的完整過程”這一教學原則，聯系學生的生活實際經驗，在動手操作的基礎上，做到觀察與推理相結合、在培養學生空間想象能力中滲透數感訓練。牢牢抓住“占據空間”這一核心，多層次、多角度創設情境，讓學生在豐富的體驗活動中，最終突破從二維空間到三維空間的質變點——“高度”的理解。

具體說來，有以下四個方面值得我們借鑒：

1.在“占據空間”上做足文章。

物體占據空間的現象，對大家來說司空見慣。但要真正從數學的高度去深入理解，卻非易事。從學生回答“一個指甲蓋的體積大約是1立方厘米”“4個拳頭大約相當于一立方分米”等真實想法來看，物體在高度方向上占據空間的特性常常被他們忽略。周佳泉老師通過水被土豆擠占空間而溢出杯外體會到了空間就是物體存在于現實中的“位置”，通過多次提問“裝滿了嗎？”最終讓學生明白“只鋪滿了底層”是不夠的，還可以沿著高度再鋪這樣的若干層。從而，真正理解了從二維空間到三維空間的質變點是“高度”。

2.補足體積單位之間的“階梯”。

教材中只給出了“1立方厘米”“1立方分米”和“1立方米”的體積單位概念，很多老師在實際教學中也僅限于這三個體積單位尺度的落實。但在實際生活中，體積尺度在幾十立方厘米、幾百立方厘米的物體隨處可見，估測這些物體的體積并形成個性化的參照標準，對于幫助學生建立體積單位表象具有無可替代的作用，進而能對推算立方分米與立方厘米之間的進率做出大膽而合理的猜測。估測書包和自己身體的體積，也有同樣的價值。從“看體積猜物體”的活動可以看出，學生對體積單位的表象建立已經很牢固，并形成了良好的數感。

3.理解體積測量的本質是“單位累加”。

在本節課中，周佳泉老師并沒有刻意地去講解長方體體積的“計算公式”，但實際上學生已經會計算了。最根本的原因在于：老師牢牢抓住體積“占據空間”這一基本特性，通過多次的操作、體驗活動，讓學生理解用體積單位去“占據”一個長方體時，從長、寬兩個維度可以占據這個長方體的底層，再向高度發展才能完全占據這個物體內部的全部空間。即：用每排個數×排數得到底層的體積單位數，再×層數就可以得到體積單位的總數。理解了這一點，“長方體的體積=長×寬×高”這一算法已經呼之欲出了。到此為止，學生已經完全理解了體積測量（計算）的本質就是單位累加——一個長方體里能包含多少個體積單位，它的體積就是多少。

4.初步歸納了“點、線、面、體”之間的關系。

“積點成線，積線成面，積面成體”，這些抽象的數學關系到了高中或大學，理解起來可能非常容易，但對小學生來說，它們似乎是“不同世界”的獨立存在。本案例中，周佳泉老師采用現實生活中最常見的例子——“水龍頭滴水”“織布機織布”“紙張疊放”生動形象地使學生理解了點、線、面、體之間可以互相轉化的幾何特性，為后續學習埋下了理性的種子。這個部分的設計，絕對不是可有可無的點綴，而是對整節課的一個高度升華。滲透辯證唯物主義思想的啟蒙教育，絕不是一句空洞的口號，它就實實在在地存在于我們的教學行為之中。

完整經歷知識的形成過程，表面上看似乎是“把一個簡單的知識教得過于費力了”，但從深層次觀察，對同一個思維點用不同的載體、形式去不斷呈現，才能充分照顧學生的個體差異，使學生對概念的理解真正達到應有的思維高度。