沿著學生的思路才能以學定教

孫雪梅

[摘 要]關于“小數乘以整數”的計算法則，多數教師教學時都是直言相告——直接按照整數乘法計算出整數積，再來清點小數位數，學生只是言聽計從。教師應解釋清楚為何一定要先按整數乘法法則算出整數積，從而體現這種轉化的必要性和培養學生主動思考的能力。

[關鍵詞]小數;整數;位數;乘積

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0058-02

蘇教版教材五年級上冊“小數乘以整數”的相關例題包含列豎式、演算、確定小數位數，同時給出兩種預設：一是將3個0.8連加;二是把0.8元換算成8角，把因數從小數轉換為整數。通過前測發現，學生在探究0.8×3的運算方法時，一律是先算出8×3=24，再將整數積24加上小數點改寫成2.4，但讓他們說理由時，他們都說不出個子丑寅卯來。即使換算貨幣單位，化元幣為角幣，一旦拋離情境，學生還是不知所謂。

一、突出重點才能突破難點

對于積的小數位數和乘數小數位數的關系，學生往往弄不清其中的關聯，誤以為只要將小數點對齊即可。有的教師建議從積的變化規律來解釋，但此時學生尚未學習小數點移動帶來分倍率的變化，更何況，如果用因數與積的變化規律來解釋積中小數點位置的確定，更不能說清為何要化為整數。

將小數乘法暫時當作整數求積，是教師的“死命令”，如何將其變為學生的“剛需”？對此，筆者重新確定教學重點“一是讓學生理解將因數暫時當作整數求積的原因;二是引導學生發現積和因數的小數位數之間的關系。”，并將這兩個重點安插在小數乘整數的口算，因為豎式會干擾學生的思考。

為了突出第一個教學重點，筆者從計數單位的角度來揭示算理。這樣，學生在口算小數乘整數時，就能自動變換成乘0.1、0.01、0.001等形式來計算，若要如此，必先抽離出整數，先算出有多少個0.1、0.01、0.001。此時，整數乘以整數就是順理成章的事。然后，通過一組小數乘整數的口算題，先探究后驗證，引導學生發現小數位數的前后聯系，讓學生吃透本質。至于豎式的計算，有了之前發現的規律，豎式就簡單得多，先看成整數乘整數是再自然不過的事。這時積的小數位數的確定對學生來說也不再是難題。

二、教學實錄

師：今天我們學習的內容是整數乘小數。（出示圖1）黑色長條用小數如何表示？

生1：0.1。把矩形視為單位“1”，將其等分為10份，取其中1份染黑就是1/10，也就是0.1。

師（出示圖2）：取其中4份染黑呢？

生2：是0.4，把矩形視為單位“1”，將其等分成10份，4份就是它的4/10，化為小數也就是0.4。

師：0.4里含有多少個0.1？

生3：4個。

師：4個0.1是多少，列式怎么表示？

生4：0.1×4=0.4。

師（出示圖3）：黑色部分用哪個小數來表示？說出你的思路。

生5：0.04。把矩形視為單位“1”，將其等分成100份，取其中4份染黑就是它的[4100]，寫成小數就是0.04。

師：那0.04里含有多少個0.01？列乘法算式如何表示？

生5：4個0.01。0.01×4=0.04。

師 （出示圖4） ：著色的小方塊用哪個小數表示？理由是什么？

生6：0.006。把立方體視為單位“1”，將其等分成1000小塊，1小塊就是它的[11000]，寫成小數就是0.001，著色的是6個小塊，也就是6個0.001，所以是0.006。

師：6個0.001是多少，如何列式表示？

生7：0.001×6=0.006。

師：以上計算中的小數都有什么特征？

生8：都是0.1、0.01、0.001與整數相乘。

師：只要乘以0.1，積就是幾位小數？乘以0.01、0.001呢？

生9：只要是整數乘以0.1，結果就有若干個0.1，積只有一位小數……

師：計算0.2×3，0.02×3，0.002×3。如果換成其他小數，又該怎么辦呢？ 0.2×3的積是多少？

生10：0.2×3=0.1×2×3=2×3×0.1=6×0.1=0.6。

師：先轉化為剛剛學過的乘以0.1的算式，結果里共有多少個0.1？積是幾位小數？我們用圖5來驗證。

師：又該怎么算0.02×3的積？

生11：0.02×3=0.01×2×3=2×3×0.01=6×0.01=0.06。

師：真不簡單！為何這次是0.01而不是0.1呢？

生12：因為乘數不一樣，0.2是一位小數，0.02是兩位小數。

師：此時共有多少個0.01？是幾位小數？我們用圖6來驗證。

師：0.002×3的積又該怎么算？

生13：0.002×3=0.001×2×3=2×3×0.001=0.006。

師：小數又轉化成小數單位0.001了，此時為何不再是0.1、0.01？

生14：因為0.002是三位小數。

師：你們能夠根據不同的小數選擇不同的小數單位。我們一起看圖7，這時一共有多少個0.001？

師：計算這些題目時，大家都不約而同地將小數轉化成了一個整數乘以0.1、0.01、0.001的形式，都是先算——

生15：2×3。

生16：都是先把小數乘整數轉化成整數乘整數。

師：整數因數都是3，為什么積的小數位數卻各不相同？因為小數因數0.6、0.06、0.006的小數數位也各不相同。

生17：轉化而成的小數單位也不盡相同，分別是0.1、0.01、0.001。

師：是什么決定轉化的小數單位是0.1，或者0.01，或者0.001？

生18：小數因數的小數位數。

師：看來積的小數位數與因數的小數位數有著千絲萬縷的關系，是什么關系呢？

生19：小數因數有幾位小數，積就有幾位小數。

師：這個規律是不是具有普遍性？真相如何，還需驗證。有沒有反例？

生20：我認為沒有。一位小數乘整數，結果含有若干個0.1，積必然是一位小數，兩位小數、三位小數也是如此。

師：如果換成較大的小數，你們會算嗎？例如6.35×12。顯然，只有嘗試列豎式計算了。

師（出示兩種不同的做法）：你們贊同哪一種？理由是什么？計算過程中出現小數點，合適嗎？

生21：不合適，計算過程中不要出現小數點。因為先要將因數當作整數做乘法，最后由小數因數中的小數位數來確定積的小數位數。

三、課后反思

課后調研顯示，教學效果令人滿意。沿著學生的思路以學定教，學生不但學會小數乘整數的計算法則，并且領悟其精髓。主要體現在以下兩方面：

一是從計數單位入手，解析算法、滲透算理。小數乘法的計算必先轉化為整數乘法，如何將這其中的深意和原理變成學生的必然思維？筆者認為，采用“換零錢”的辦法將用小數表示的元幣化為用整數表示的角幣實為不妥。因為學生會對這個情境產生依賴，一旦脫離這個情境，學生的認知就會打回原形。而從計數單位入手，就可以擺脫情境的局限性，計算時一律轉化成×0.1、×0.01、×0.001……一旦轉化成乘以小數單位的形式，先算整數乘整數就是必然發生的事情。同時，整數乘以整數后的積，正好是0.1、0.01、0.001……的個數。

二是突破常規教學，讓學生自主嘗試，將類比推理和演繹推理完美結合起來。盡管小學階段不要求學生會證明，但是不代表學生不能論證結論，這就需要教師有魄力和膽略。許多教師只讓學生機械記住“因數中是幾位小數，積就是幾位小數”，沒有追根溯源。筆者在學生計算了三道較小的小數乘整數題目后，讓學生從形式上觀察和歸納因數的小數位數與積的小數位數的關系，然后通過類比來推理出算法，再通過演繹推理出這種規律的普遍性，讓學生通過交流、爭論，總結出“一位小數乘整數的結果含有若干個0.1，積自然是一位小數;兩位小數乘整數的結果含有若干個0.01，積自然是兩位小數;三位小數乘整數的結果含有若干個0.001，積自然是三位小數”，至此，學生領悟算理。

（責編 童 夏）