建構模型：讓學生觸及數學思維

許超

[摘 要]學生普遍存在機械套用面積計算公式、不能理解面積單位含義、不會根據面積公式計算寬度值等現象，究其原因，是學生對知識的理解能力和數學思維能力不足。在教學中，教師不僅要讓學生在課堂上獲取數學知識，還要通過各種教學活動培養學生的數學邏輯思維能力。

[關鍵詞]思維;訓練;長方形;面積

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0024-02

一、現象：知其然不知其所以然

在上這堂課之前，學生掌握了用“數小方格”的方法得到圖形的面積。在我給出長方形的長和寬的數值后，不少學生已經能脫口而出“長方形面積=長×寬”，但一旦追問“為什么這樣算”時，幾乎沒有學生可以說清楚。還有部分學生在已知“長方形面積”和“長”后，仍不知道計算“寬”的值，又或部分學生只會用“數小方格”的方法來計算長方形面積，不會使用公式。

二、思考：透過現象看本質

1.著眼未來：數學思維訓練之重要

（1）在“意”不在“憶”

長方形面積計算最大的難點并不在記憶公式，而是在于理解“為什么長和寬的長度相乘就是面積”，以及區分“周長”和“面積”這兩個概念。在練習中，學生能寫出算式，但是仍用長度單位來表示結果，從“厘米”到“平方厘米”仍然是學生需要跨越的障礙，這或許就是學生在學習面積計算時，沒有真正弄懂面積的概念，簡單套用公式的結果。究竟怎樣讓學生理解“長×寬”的本質就是在算長方形一共包含幾個面積單位，值得我們思考。

（2）在“過程”不在“結果”

教學中，教師應該重點強調“過程”，而不是“結果”。當學生掌握了概念或公式的推導過程，自然也會懂得如何正確使用公式來解決問題，這就是我們在探究“結果”中最重要的一點，理解“結果”形成的“過程”。對于長方形面積的計算來說，學生用“數小方格”的方法計算時，首先要掌握面積單位表示的是一整塊小方格的大小，這與長度所代表的直線的長度不同，接著在數完小方格的數量后，必須要加上面積單位，才能得到正確的面積值。而用乘法計算小方格的數量得到面積的過程中，還有一個乘1平方厘米的步驟，而這一步正是計算面積最重要的。

2.直面現狀：反思面積學習之困難

面積的學習除了計算幾何圖形的面積，還包括面積的增大和減少問題，這需要學生對面積有非常深刻的認識，尤其是準確把握面積的實際含義。

（1）學生角度

從長度計算到面積計算，學生要面對的最大困難就是維度的變化，即從長度的“一維”跨越到面積的“二維”，這超出了許多學生的理解能力范圍。在討論之前，我們還需要回顧一個概念——維。古希臘數學家歐幾里得在他的著作中提到，點、線、面是學習幾何所必須掌握的維度概念。“點”是沒有部分的東西，也就是說“點”是零維的，沒有大小，我們幾乎不能做什么;“線”只有長度而沒有寬度，也就是說“線”是一維的，跟粗細沒有關系，只跟長度有關;“面”有“長”和“寬”兩個方向，也就是說“面”是二維的，面的邊緣是線;“體”有“長”“寬”“高”三個方向，也就是說體是三維的。每多一個維度，就需要多一條坐標軸來描述。

（2）教師角度

多年的教學經驗告訴我，學生用原有的知識經驗來解釋新學的內容，形成新的知識經驗，這樣才能達到知識的內化，形成深層次的理解。對于學生已有的認識，我們應該幫助學生將認知科學化、系統化、深化甚至是擴充，這樣才能順應學生的認知規律。學生在學習面積時，基本已經掌握了線段的長度計算，教師需要在此基礎上進行拓展延伸。因此，教師在教學過程中，要準確把握學生的知識能力水平，找準學生存在的困難，并制訂針對性強的教學方案。重點突出的教學方案，能讓教師在有限的教學時間里剖析長方形面積計算的重點知識，也能讓學生對面積計算形成更加完整、全面的認識，提高學生的基礎知識能力和認知水平。

三、實踐：紙上得來終覺淺

除了制訂針對性強的教學方案，采用生動有趣的教學形式也是確保教學效果的必要前提。在教學“長方形面積的計算”時，適當地采用課件動態演示，可以讓學生直觀看出面積產生變化的因素，探究圖形的變化規律，從而訓練學生的建模思維。

1.始動——演示圖形動畫

數學家克萊因認為：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學直觀就是對概念、證明的直接把握。” 在劃分小正方形的過程中，可以讓學生自己動手進行剪裁，或在用小正方形擺放長方形的過程中，也可以讓學生親自動手，并同步記錄數量，直觀地感受長方形的形狀和小正方形的數量之間的關系。這種形象直觀的教學方法讓學生在幾何圖形和面積數字之間建立了關聯。學生經歷了“鋪滿→不鋪滿→畫刻度→量→算”的變化過程，能更好地理解長方形面積公式的由來。

長方形面積公式是一個函數關系式，其中的長、寬、面積三者之間存在著相互關聯的對應關系。如果把長作為常量，則面積和寬就是正比例關系。在教學中，教師可以讓學生根據經驗猜測面積的大小可能與什么有關，從而滲透函數思想。

【片段一】

（1）使寬不動，拖動長方形的長，長方形面積發生了變化。

師：如果把長延長1格，面積變為多少？

（2）使長不動，拖動長方形的寬，長方形面積發生了變化。

師：如果把寬延長1格，面積又變為多少？

（3）把長、寬一起拖動，長方形面積發生了變化。

師：看了剛才的演示，你有什么想法？

生1：拖動長方形的長或寬，面積變大。

師：長方形的面積與哪些因素有關？

生2：長方形的面積和長、寬的長度有關。

師（追問）：前兩次拖動都只延長了1格，為什么得到的面積卻不一樣？

通過課件演示，讓學生進一步理解長方形的大小取決于圖形中包含了多少個面積單位，進一步引導學生觀察圖形面積單位與邊長的關系。

2.探形——精選擺拼素材

【片段二】

師（出示長方形）：這個長方形的面積是多少？你能用學過的知識解決這個問題嗎？

生1：可以用擺小正方形的方法來得到長方形的面積。

師：回答正確。下面大家用1平方厘米的小正方形擺一擺，看看這個長方形的面積是多少？哪位同學擺的最快且結果最準，就是最后的優勝者。

（學生動手擺。在學生擺放好小正方形后，教師有針對性地提問）

師：這個4表示什么？3呢？12呢？

生2：4表示長方形的長能擺4個小正方形，3表示能擺3行，12表示能擺12個小正方形。

師：那這個長方形的面積是……

生3：12平方厘米。

師：優勝者是哪些同學呢？你們求得的面積是多少（顯示擺的結果）？還設擺出來的同學能談談原因嗎？

因為動手能力的差異，學生擺放小正方形的速度有快有慢，還有的學生數數也出錯了。于是我用課件演示擺的過程，先出示長能擺4個小正方形，再出示寬能擺3個小正方形，并用紅、藍不同顏色顯示，幫助擺放或計算失誤的學生加深對面積計算方法的認識，提高實踐操作技巧。通過一系列的數據實驗，學生在猜想長方形面積計算公式時產生了疑惑，并引發學生的思考，主動踏上探尋面積公式的征途。

四、反思：吹盡狂沙始到金

小學數學教學應該上升到數學思維訓練這一高度，讓學生真正掌握數學知識并能靈活應用。教學“長方形面積的計算”時，教師應摒除學生單一的記憶，提升到深度學習的層次。“知道事實不等于理解”，學生學習的深度就需要教師把握學習內容的本質，采用針對、參與、啟發的形式，處理好“學”與“導”之間的關系。基于學情適時選擇問題作為學生學習的切入點，營造探究型對話，在學生心理上構建起有效的認知結構。

豐富多樣的建模方法，讓學生在生動形象的學習過程中把握住了數學知識學習要領。“長方形面積的計算”是小學階段的重要知識點，在教授面積計算公式時，教師要注重學生對公式的深刻理解和推導過程，訓練學生良好的數學思維并保持學習的積極性，養成自主探索數學問題的思維習慣。

（責編 李琪琦）