借助“轉(zhuǎn)化”整合知識體系 通過“證明”聚焦深度學(xué)習(xí)

馬駿 羅建華

[摘 要]“三角形內(nèi)角和”一課是學(xué)生探究圖形內(nèi)角性質(zhì)、揭示內(nèi)角規(guī)律、梳理知識脈絡(luò)的典型內(nèi)容。以“三角形內(nèi)角和”一課為例，具體說明如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生的整合性學(xué)習(xí)、意義性學(xué)習(xí)、批判性學(xué)習(xí)、階梯式學(xué)習(xí)，有效詮釋了“深度學(xué)習(xí)”之內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知水平的逐級躍升和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落地。

[關(guān)鍵詞]深度學(xué)習(xí);整合知識;三角形內(nèi)角和

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0048-03

深度學(xué)習(xí)作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的實(shí)踐途徑，要求學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得個(gè)體的發(fā)展。對于小學(xué)數(shù)學(xué)而言，深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵囊括：新舊知識的整合性學(xué)習(xí)、深層思考的意義性學(xué)習(xí)、客觀理性的批判性學(xué)習(xí)、由表及里的階梯式學(xué)習(xí)。依據(jù)“SOLO理論”，其教學(xué)效果體現(xiàn)為：實(shí)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知水平從單一結(jié)構(gòu)開始，逐步經(jīng)歷多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到抽象拓展結(jié)構(gòu)的水平。

“三角形內(nèi)角和”屬于四年級下冊內(nèi)容，是在學(xué)生認(rèn)識三角形（概念、要素、特征）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圖形的性質(zhì)，是學(xué)生對三角形從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的一次提升，是從外在特征到內(nèi)在本質(zhì)的一次轉(zhuǎn)折，是從研究構(gòu)成要素到研究要素之間關(guān)系的一次飛躍。而這一階段的學(xué)生，以具體形象思維為主，同時(shí)抽象思維已經(jīng)開始發(fā)展，具備了一定的邏輯推理能力。下面就以本課為例，說明如何在教學(xué)中踐行深度學(xué)習(xí)理念。

一、問題引領(lǐng)，質(zhì)疑反思

“深度學(xué)習(xí)”之基本樣態(tài)，即以創(chuàng)設(shè)問題為前提、生成問題為核心、釋疑問題為關(guān)鍵，逐步引導(dǎo)學(xué)生“淺入深出”。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生從多個(gè)維度來進(jìn)行批判性分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)疑問、修正結(jié)論。

1.從常識出發(fā)，引出問題

師（大屏幕呈現(xiàn)一套三角板）：這是什么？順著邊描出兩個(gè)三角形，對于這兩個(gè)三角形的內(nèi)角，你們了解多少呢？

生1：一個(gè)三角形的內(nèi)角分別是30°、60°、90°，另一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角均是45°，還有一個(gè)內(nèi)角是90°。

生2：一個(gè)三角形的內(nèi)角和是30°+60°+90°=180°，另一個(gè)三角形的內(nèi)角和是45°+45°+90°，也等于180°。

師：內(nèi)角和為180°到底是這兩個(gè)三角形的現(xiàn)象，還是所有三角形的普遍規(guī)律呢？

生（異口同聲）：應(yīng)該是普遍規(guī)律。

師：那該如何驗(yàn)證呢？今天這節(jié)課咱們就一起來研究這個(gè)問題。

上述教學(xué)中，以學(xué)生熟悉的直角三角板引入，從學(xué)生的已有知識出發(fā)，從個(gè)別到一般，打開學(xué)生視野，以驗(yàn)證普遍規(guī)律為切入點(diǎn)，生成本節(jié)課的核心問題：如何證明三角形的內(nèi)角和是180°？

2.交流分享，引發(fā)質(zhì)疑

師：下面請大家利用三角形模型或者學(xué)習(xí)單上的三角形來驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°。

生1：我的方法是量一量，先量出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后加在一起，正好是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

生2：他的說法不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該多量幾個(gè)三角形才行。

師：那我們就多請幾位同學(xué)來說說量的結(jié)果。

（連續(xù)幾位學(xué)生都說自己所量度數(shù)之和為180°）

師：大家量出的三角形內(nèi)角和都是180°嗎？

生3：我量出來的度數(shù)之和是178°。

（馬上有其他學(xué)生說出自己得到的度數(shù)之和，教師板書記錄：179°、182°、176°、185°……）

師：看看黑板上的這些結(jié)果，你們能得出什么結(jié)論呢？

生4：只通過量一量就說明三角形的內(nèi)角和為180°，不嚴(yán)謹(jǐn)。

生5：我來補(bǔ)充，得到的結(jié)果雖然很多不是180°，但都接近180°，所以結(jié)論是：三角形的內(nèi)角和可能是180°。

師：除了量一量，大家還有別的方法嗎？

生6：還可以折一折、拼一拼。

師：大家都用手里的模型來折一折、拼一拼，看看能得出什么結(jié)論？

生7：因?yàn)橛谜垡徽邸⑵匆黄吹姆椒?，角和角之間會(huì)有重疊或者縫隙，拼出來的角也只是看上去像個(gè)平角，所以也只能得出三角形的內(nèi)角和可能是180°。

師：看來，量一量、折一折、拼一拼都只能證明三角形的內(nèi)角和可能是180°。

在上述教學(xué)中，學(xué)生交流互動(dòng)，質(zhì)疑反思，修正觀念。具體包括：

（1）研究的對象。從根據(jù)單個(gè)三角形得出結(jié)論，拓展到根據(jù)不完全歸納法大量舉例驗(yàn)證。

（2）結(jié)果的分享。由最初的只有180°一種結(jié)果，逐步還原為大量學(xué)生所得結(jié)果為180°左右的真實(shí)數(shù)據(jù)。

（3）矛盾的產(chǎn)生。從源于常識“三角形的內(nèi)角和是180°”，到證明得出“三角形的內(nèi)角和可能是180°”。

學(xué)生以生生互評的方式，理性地對其中的方法和結(jié)論進(jìn)行審視、分析與評價(jià)。

二、遷移轉(zhuǎn)化，層層驗(yàn)證

“深度學(xué)習(xí)”之特征要義，就是基于問題將多維知識進(jìn)行整合，構(gòu)建知識之間的多元連接，實(shí)現(xiàn)對知識的整體感知與運(yùn)用。同時(shí)，要逐步超越“表層”的學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識的“深處”，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，從理性思維走向理性精神。

1.跳出“藩籬”，連通“已知”

師：大家對這樣的結(jié)論滿意嗎？如何證明三角形的內(nèi)角和一定是180°呢？想一想，每當(dāng)我們遇到新的問題時(shí)，我們就會(huì)——

生1：用原有的知識試著解答。

師：說到內(nèi)角和，我們知道哪些圖形的內(nèi)角？（屏幕呈現(xiàn)三角形、長方形、正方形、平行四邊形）

生2：長方形和正方形的內(nèi)角和已知，一定是360°，因?yàn)樗膫€(gè)內(nèi)角都是90°。

師：那能不能在長方形或正方形中找出三角形，并證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？大家可以利用學(xué)習(xí)單上的長方形或正方形來動(dòng)手試一試。

生3：畫出正方形的對角線，會(huì)得到兩個(gè)一模一樣的等腰直角三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和就是360°÷2=180°。

生4：畫出長方形的對角線，會(huì)得到兩個(gè)一模一樣的直角三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和也是360°÷2=180°。

（其他學(xué)生的展示略）

師：從剛才的證明中，能得出什么結(jié)論？

生5：直角三角形的內(nèi)角和是180°。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試結(jié)合已有的知識，去搭建新舊知識之間的橋梁。學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，也從最初只圍繞三角形本身的單一結(jié)構(gòu)，跨越到了多元結(jié)構(gòu)，建立起了正方形和長方形與直角三角形的聯(lián)系。證明的方法，也從原本的動(dòng)手操作深化為邏輯推理。

2.再次“轉(zhuǎn)化”，完成“證明”

師：那除了直角三角形以外，還有什么三角形？

生1：還有銳角三角形和鈍角三角形。

師：你們能不能借助直角三角形，證明另外兩類三角形的內(nèi)角和也是180°？

生2：在銳角三角形中，畫一條高，這個(gè)高把銳角三角形分成兩個(gè)直角三角形（如圖1），也就是180°×2=360°，這里多了一個(gè)平角，但這個(gè)平角不是原來三角形的內(nèi)角，所以還要用360°-180°=180°。

生3：鈍角三角形的證明方法也一樣，從鈍角的頂點(diǎn)出發(fā)向?qū)叜嫺撸舶砚g角三角形分成兩個(gè)直角三角形（如圖2），同時(shí)又多了一個(gè)平角，所以鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°×2=360°，360°-180°=180°。

師：我們已經(jīng)證明了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種三角形的內(nèi)角和都是180°。那我們回顧一下，剛才是怎樣一步一步來完成驗(yàn)證的。

生4：把已知內(nèi)角和的長方形和正方形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一模一樣的直角三角形，證明了直角三角形的內(nèi)角和是180°，再把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形，證明各自內(nèi)角和也是180°。

師：生4的描述不僅完整，還體現(xiàn)了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——

生5：轉(zhuǎn)化思想。

在這一教學(xué)片段中，學(xué)生利用“轉(zhuǎn)化”的方式，完成了從直角三角形到銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和的證明。通過知識的靈活遷移運(yùn)用，學(xué)生在相似情境中能夠做到觸類旁通、舉一反三，創(chuàng)造性地解決問題。在證明命題的同時(shí)，學(xué)生抽象和概括出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)深層思考的意義性學(xué)習(xí)。

三、總結(jié)凝練，抽象拓展

“深度學(xué)習(xí)”之拓展延伸，就是在掌握了基本知識和技能之后，重新回歸系統(tǒng)的、整體的視角，將知識點(diǎn)納入知識體系當(dāng)中，按照學(xué)段特點(diǎn)，將學(xué)生的認(rèn)知水平從多元結(jié)構(gòu)，逐步提升到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，直到形成抽象拓展結(jié)構(gòu)，概括出其內(nèi)在特征，形成一般性的數(shù)學(xué)模型。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲？

生1：知道了三角形的內(nèi)角和是180°，感受到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)精神，通過轉(zhuǎn)化思想證明了三角形的內(nèi)角和是180°。

（其他回答略）

師：今天這節(jié)課，大家對什么內(nèi)容印象最深？

生2：轉(zhuǎn)化思想。

師：能不能通過轉(zhuǎn)化，用今天學(xué)到的知識來解決其他問題呢？如四邊形的內(nèi)角和是多少。

生3：四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°，因?yàn)榭梢詫⑺倪呅无D(zhuǎn)化為2個(gè)三角形。

師：那五邊形呢？六邊形呢？如果不畫圖，你們知道十邊形、百邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

（學(xué)生回答略）

師：如果是n邊形呢？（n≥3，且n為整數(shù)）它的內(nèi)角和是多少度呢？

生4：內(nèi)角和是180°×（n-2）。

通過學(xué)生對課堂收獲的反饋，教師將重心再次放在轉(zhuǎn)化思想上，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地將本節(jié)課所學(xué)知識作為新的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，由三角形拓展到四邊形、五邊形、六邊形等，并歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式，明晰了知識與知識之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了整個(gè)知識體系的建構(gòu)，深化了學(xué)生的學(xué)科理解和方法感悟。

在“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以知識統(tǒng)整，作為證明的路徑和最終的教學(xué)目標(biāo);以學(xué)科本質(zhì)，來引領(lǐng)學(xué)生形成深切體驗(yàn)和深入思考;以理性批判，來審視證明方法并在必要時(shí)調(diào)整途徑;以階梯遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)操作到邏輯推理，從一類圖形到各類多邊形的全覆蓋。讓教學(xué)走向深入、走向深刻、走向深度，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。

縱觀整個(gè)教學(xué)過程，問題來源于學(xué)生已有的知識儲備，矛盾產(chǎn)生于學(xué)生操作和證明的局限，思維升華于學(xué)生將新概念與已有概念的串聯(lián)溝通，視野拓展于學(xué)生再次利用轉(zhuǎn)化思想打通整個(gè)知識體系。整節(jié)課經(jīng)歷了“命題提出—初步證明—發(fā)現(xiàn)矛盾—修改路徑—轉(zhuǎn)化證明—體系建構(gòu)”的完整過程。讓學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了鍛煉和提升，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在質(zhì)疑精神和知識整合中走向深刻。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 馬云鵬，吳正憲.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·小學(xué)數(shù)學(xué)）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2019.

[2] 王慶菊.深度學(xué)習(xí)：讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（20）.

[3] 張曉蕓.深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵技術(shù)：小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（3）.

[4] 蘇明強(qiáng).魅力課堂：追求教學(xué)的三個(gè)“有利于”：以“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2018（28）.

（責(zé)編 黃春香）