分析認知沖突 構建解題情境

江蘇省南京市致遠外國語小學 曹傳興

認知沖突常常存在于以學習者為中心的學習情境之中。以學習者為中心的學習情境指的是構建一種學習情境，讓學習者將他們的知識、技能、態度、信仰帶到其中，學習者帶來的東西在這里都必須得到足夠的重視。它與“診斷性教學”概念相吻合，試圖發現學生對所面臨問題的看法、錯誤概念，給他們創設一種情境，使他們能夠繼續思考，重新調整自己的看法。

建構主義認為：個體在遇到新刺激時，先嘗試用自己原有的認知結構去同化它，以求達到暫時的平衡;同化不成功時，個體則采取順應的方法，即通過調節原有認知結構或新建認知結構，來得到新的平衡。在解題過程中發現并解決認知沖突，建立同化與順應的平衡，是學生在學習過程中必須要經歷的過程，也是學生學會學習、掌握所學知識的必然階段。

一、簡便與煩瑣的認知沖突

學生在做題時，有些題目往往會一再出現問題，在此情形之下，學生對于數學方法的需求就更為迫切。有些解題方法是需要在不斷的練習中加以鞏固的；有些解題方法是需要在不斷的實踐中進行選擇的；有些解題方法是需要在不斷的反思中靈活運用的。有些題目看起來并不難，但學生一再出現問題，這往往就是因為常見且固化了的方法不易掌握。

下面以一道練習題為例：

習題1：小麗比小明高2cm，小麗比小剛高1cm，最高的是（ ），最矮的是（ ）。

常規做題方法是畫線段圖表示小麗、小明、小剛的身高（見圖1），正如書中的例題也是如此解題的。學生是不會畫圖嗎？答案是否定的。做不對的原因在于他們寧愿冒著做不對的風險，也不愿意大費周章地畫圖。因此，教師除了強迫他們用畫圖的方法以外，還應該開發或教學一些其他的便于學生使用的方法。

圖1

例如，本題可以使用的舉例法，發現在兩個條件中都有小麗，可以假設小麗的身高是100cm，這樣小明身高是98cm，小剛身高是99cm，從而完成填空。經過假設的教學和訓練，學生很快發現假設小明的身高或小剛的身高都可以很快求解，三者的解題過程均優于畫線段圖。

舉例的方法用途很廣泛，無論是簡單或復雜的，無論是代數領域（習題2）還是幾何領域（習題3）都有廣泛的應用。

習題2：小明去外婆家，去時每分鐘走60m，回來時每分鐘走40米，求往返的平均速度。

平均速度需要用總路程除以總時間，在小明往返的過程中，沒有總路程的數據。要解決這個問題，可以假設路程為360m（60和40的 倍 數），360÷60=6分 鐘，360÷40=9分 鐘，

360×2÷（6+9）=48m/min，即平均速度。

習題3：大長方形中有一個正方形，求長方形的周長。（見圖2）

圖2

舉正方形的邊長是20cm，可以很快得出長方形的長是35-20+32=47cm，又因為正方形的邊長等于長方形的寬，因此長方形周長為（47+20）×2=134cm。

二、理解與水平的認知沖突

舉例的方法在做題中有廣泛應用，數值也可以取極端數據來使計算更為簡便，這其中便蘊含著極限的數學思想。

《數學教育心理學》中關于極限的描述是這樣的：用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態的概念。不過，考慮極限數據并不等于極限的數學思想。

王永春老師在他的《小學數學思想方法解讀及教學案例》一書中談到關于極限思想的兩個關鍵語句：一個是變化的量是無窮多個；另一個是無限變化的量趨向于一個常數。本文中提到的極限思想無疑是屬于后者，一個變量與另一個已知量的無限逼近，以至于可以使用這個已知量來反映這個變量的極限值。這往往又需要數感作為基礎，此類方法應用得較好的學生，通常表現為有較優的數感。

仍舊以上述三道習題為例：

習題1：如果假設小麗的身高為2，小剛的身高是1，小明的身高是0。

如果假設正方形的邊長等于長方形的寬等于32cm，那么左邊的小長方形就不存在了（見圖3），進而發現原題簡化成了長方形中的最大正方形問題，將大長方形分割為一個正方形和一個小長方形，從而賦予了35與32的差一定的意義——小長方形的寬。大長方形的周長就是（35+32）×2。

圖3

如果舉正方形的邊長是0，35這條邊可以向右延伸到右端點，下面這條邊也會向左延伸至左端點，同時長方形的寬就沒有了。這樣長方形周長就只剩下了35+32的兩條線段（見圖4），周長等于（35+32）×2。

圖4

從習題3的極限數據來看，舉極端數據對學生的要求很高。沒有好的數感，學生完全找不到應用極端數據使計算簡便的方法。使用極端數據，往往會讓題目完全脫離情境。例如，長方形的寬為0、全程僅為1m、小麗的身高僅為2cm等匪夷所思的數據，需要學生用抽象的眼光來學習數學。

由此可見，該題型的熟練掌握對學生的數感培養、數學思想的建立和運用、解題方法的熟練運用都有很大的幫助，當數學知識體系進行不斷擴充之后，這一點會不斷得到證明。

三、已有觀念與新知的認知沖突

學生在接受一個新的概念之前，常常需要對原有概念的傳統認知進行重組，因為這些錯誤概念會嚴重干擾學習。例如，學生對“長方形與正方形周長”一課中一道習題的研究如下：

題目：從一個長18cm、寬12cm的長方形紙上剪去一個最大的正方形，剩余部分的周長是多少？

生1信心滿滿地回答：我們知道這個最大的正方形的邊長是12cm，那么剩余部分的寬就是18-12=6cm，我們可以用（18+12）×2=60cm，先求出原來長方形的周長，再求正方形的周長12×4=48cm，剩余部分的周長就是60-48=12cm。

話音剛落，質疑便來了。

生2：剩余部分是一個長方形，周長應該是（12+6）×2=36cm，比12cm長多了。

剩余的等于原來的減去剪去的，這是學生從接觸數量關系以來就一直建立的一種概念，但在教學周長的概念時，常常會產生已有認知與新的概念之間的認知沖突。因此，教師需要創造新的情境來幫助他們繼續思考。

可以分為以下幾步：

第一步：長方形的周長、正方形的周長以及剩余部分的周長是這樣的（見圖5）。

圖5

第二步：分析錯因，討論“長方形的周長能否減去正方形的周長”。

將重疊的部分擦掉，可以幫助學生發現長方形的周長剩余三條線段（6cm+12cm+6cm），正方形的周長剩余一條線段（12cm），因此可以發現正方形的周長并不完全包圍于長方形的周長（見圖6），因此不能相減，由此解惑。

圖6

第三步：討論如何改正。

如果再做一步轉化，長方形周長剩余的線段與正方形周長剩余的線段中都包括12cm長的線段，相抵消后可以理解為用長方形的周長減去正方形的周長剩余兩條6cm長的線段之和，只算了剩余部分的兩條寬，因此如果想用長方形的周長減去正方形的周長，算得結果12cm后還得加上12×2，結果也就是36cm（見圖7）。

圖7

第四步：討論算法優化。

在比較后可以發現，在長方形中剪去最大的正方形剩余部分周長的算法是用大長方形的周長減正方形的周長后，還需要加上原來長方形的兩條寬，相比較而言，直接求剩余部分長方形的周長簡便得多，從而推薦給學生使用。

本題的講解因為生1的錯誤示范多耗費了一些時間，但是正是因為這個錯誤示范讓這個認知沖突在課堂得以呈現，從而幫助更多的學生掌握類似問題的正確做法，明白其中蘊含的道理。

經過訓練，學生會自主地選擇合適的解題方法并在解題的過程中推斷問題的實際意義，這種自主意識，將有助于培養學生的數學思維，激發他們解決數學問題的興趣。“錯誤從學生中來，疑惑自學生中起，討論自學生中生，結論自學生中定”，構建學習者中心的環境，需要關注每一個學生知道些什么、關心些什么、能做些什么、想要做什么，發現和解決認知沖突的過程，正是幫助學生建立新的認知的必經之路。