聚焦數學思維 優化解題策略—復習階段如何講題

廣東省佛山市順德區聚勝小學 郭利鋒

“講題”顧名思義就是“講解習題”或“習題講解”。“講題”教學是小學數學教學中重要的內容，也是教學難點之一，尤其是到了復習階段，講題教學就顯得尤為重要。目前講題教學主要存在以下幾方面的問題：（1）就題講題，教師貌似講解細致，但問題呈現單一線性化，缺乏知識的整體性、關聯性、靈活性，也缺乏解題方法和策略的總結提煉、反思遷移；（2）題海戰術，教師采用“以量取勝，以多勝少”的方式，通過大量刷題讓學生在題海中漫無目的“熬游”，師生甚是煎熬；（3）缺乏重點，把習題從頭到尾講一遍，沒有側重點，面面俱到，平均用力，費時費力；（4）常講常練常錯，不重視練習課的備課，缺乏對錯題、拓展題的研究，過分依賴輔導資料或憑經驗、憑感覺走；（5）自我陶醉式，教師侃侃而談，一講到底，缺乏對學生實際情況的分析與研究，不能從學生的視角設計教學內容和選擇教學策略，學生游離在教學之外，師生貌合神離。基于以上種種原因，使得目前講題教學效率低、效果差，教師們經常在“恨鐵不成鋼”的情緒下“嘔心瀝血”一遍一遍地講解。學生們呢？也在“悔恨自責”或“漠然抵觸”的情緒下一次一次“聽題”，這樣的“劇情”總是重復上演。

筆者認為，造成講題教學的這種現狀，首先是教師缺乏數學學科理論高度，缺乏系統觀點和結構思維，不能從“統整”的角度研究和編制習題，習題思維價值不高，教學功利短視，講授的知識碎片化；其次是教師在講題教學中缺乏解題方法和策略的指導和優化，更談不上數學思想方法的滲透和提升了。因此，筆者認為具體應從以下兩個方面進行“講題”教學：

一、聚焦數學思維、精心編制題組

數學思維是數學能力與數學素養之“魂”，教師要放飛學生的數學思維，打造智慧的數學課堂，引領學生走入數學的“靈魂深處”。因此在講題教學中，設計好思維含金量高的習題是最關鍵的。要用統整的思維，著眼于一個知識板塊或一個單元，或一類有關聯的知識點，通過選編、改編和創編，將題目形式類似、解法可以類推、思維層次逐步深化的題目串在一起構成題組進行訓練。這樣的題組訓練具有鮮明的對比性、層次性、遷移性，對培養學生數學思維、提高解題能力發揮了重要作用。

講題教學范例一：

（1）下面三個圖形的面積相等嗎？這三個圖形的面積大小有什么關系？

學生通過計算很快得出結論：S平＞S梯＞S三。

追問1：不通過計算，能得到這個結論嗎？說說你的理由。

學生在獨立思考和討論交流的基礎上，教師運用課件動態展示：

①以梯形為標準，梯形的下底不變，當上底逐漸變小，直到上底為0時，梯形就變成三角形了，因此三角形面積比梯形的面積小。

②以梯形為標準，梯形的下底不變，當梯形的上底逐漸變大，直到上底和下底一樣長時，梯形就變成了平行四邊形（或長方形），因此平行四邊形的面積比梯形的面積大。

追問2：你能說一說這三個圖形的面積計算公式之間有什么關系？

以上解題的過程中，通過引導學生想象或課件動態顯示，讓學生直觀感受到圖形之間的相互轉化和面積大小的變化，明晰了三種圖形面積之間的關系：三角形、平行四邊形（長方形、正方形）、梯形都可以用同一個公式，也就是梯形的公式。其共同的本質是：這些圖形的面積就是“底與高的乘積關系”。這樣就把這幾種圖形的面積公式整體溝通，打通聯系，好理解、好記憶（見下圖）。

這時再引導學生運用得到的結論（統一成梯形的公式）進行驗證，分別計算三個圖形的底，三角形的底：（0+10）÷2=5cm，梯形的底：（7+10）÷2=8.5cm，平行四邊形的底：（10+10）÷2=10cm。通過比較得出判斷：當三個圖形的高相等時，因為α平＞α梯＞α三，所以S平＞S梯＞S三。

（2）把下面的梯形剪拼成一個平行四邊形（如下圖）。

①求平行四邊形的底。

解法一：先求梯形的面積：（6+8）×4÷2=28（cm2）

再求平行四邊形的底：28÷4=7（cm）

解法二：（6+8）÷2=7（cm）

②如果在這組平行線之間畫一個三角形，高和面積都與梯形、平行四邊形相等，這個三角形的底要畫多少厘米？6+8=14（cm）或7×2=14（cm）。

這個環節通過習題解法的開放，引導學生積極思考和辨析，交流和碰撞，達到對結論的驗證和運用，促使學生對三種圖形面積公式之間的聯系有了更深刻的理解和思考，在解題時運用這種知識的關聯靈活解答，達到深度學習和思考，可以進一步培養學生數學思維。

講題教學范例二：

（1）面積是10cm2的平行四邊形有（ ）個。（底和高都是整厘米數）

A. 2 B. 4 C. 3 D. 無數個

很多學生認為是4個，因為10=1×10=2×5，這時教師不表態，接著出示下一題：

（2）下列平行四邊形的面積是否相等？為什么？

學生看后恍然大悟，正確的答案應該是“無數個”。運用“數形結合”直觀易懂，達到了“此時無聲勝有聲”的效果，并由此得到結論：等底（同底）等高的平行四邊形，面積相等。接著類推到三角形中是否也有類似的規律呢？

（3）下列三角形面積是否相等，為什么？

學生很快得出結論：等底（同底）等高的三角形，面積相等。

（4）下列幾個圖中的陰影部分面積是否相等？為什么？這樣的三角形有多少個？

學生類推很快得出結論：陰影部分（三角形）的面積都相等，且是平行四邊面積的一半，因為這些三角形等底等高，這樣的三角形有無數個。

（5）右邊圖形中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半嗎？為什么？

大部分學生憑直觀猜想：陰影部分的面積是平行四邊形的面積的一半。至于為什么并不能說出道理來，這時電腦顯示：

通過動態、直觀對比變化前后兩個圖形，總結規律：陰影部分的面積等于平行四邊形面積的一半。

（6）獨立解答：求下圖陰影部分的面積？

部分學生還是按照常規的思路解答，用“S梯－S三=S陰”，也有部分學生能運用上面的結論進行遷移學習，求陰影部分的面積可以轉化為直接求大三角形的面積（見下圖）：12×4÷2=24（cm2）。

教學至此，教師還要引導學生縱觀題組進行對比分析與思考：這幾道習題的內在關聯是什么？學生通過觀察、辨析、討論、總結，明晰這幾道題隱含的條件:“平行線之間的距離（高）處處相等”，得出結論：等底（同底）等高的平行四邊形（三角形），面積相等。這個題組就是圍繞這個數學知識模型進行改編、創編和拓展運用的，學生們只要能善于抓住這一數學模型的本質意義去理解和變通，題目就能迎刃而解。這樣講題一方面溝通了不同圖形之間的本質聯系，使學生不斷積累的點狀零散知識通過“本質關聯”串成線、結成網，使知識系統化、結構化，并加以內化，另一方面也培養了學生系統的觀念和轉化的思維，拓寬思路，促進學生數學思維立體化發展。

教師只有真正做到了對習題的深度研究和精心編制，課堂上才能真正實施“深度教學”，學生也才能真正做到“深度思考”，即能夠通過題組訓練促進學生數學思維的發展、能力的提升、素養的提高。

二、優化解題策略，滲透數學思想

“策略”即計策和謀略，是人們在面對具體問題時做出的基本判斷和產生的基本解決思路。體會策略價值、提升策略應用意識、感悟數學思想方法是講題教學重要的教學目標之一。習題是靜態顯性的，而思維是動態隱形的，如何讓數學思維可視化、條理化、結構化，是要講究方法和策略的，教師要鼓勵和提倡學生解題策略的多樣化，并尊重學生在解題過程中表現出來的對不同策略的應用水平。例如，上述兩個講題教學范例中就滲透了數形結合、遷移轉化、建立模型、推理歸納、化繁為簡、類比聯想等解題方法和策略。

同時，在講題教學中，對“解題的方法與策略”的理解應上升到其所蘊含的數學思想（意識、理念）層面。數學思想方法不是生搬硬套、從外部硬塞給學生的，而是要引導學生在數學知識發生發展和解決問題的過程中逐步體悟到，并在反復滲透和應用中加深理解和掌握的。因此在講題教學中，教師需要及時引導學生進行反思和回顧：（1）解題的關鍵是什么？通法（模型）是什么？（2）運用了哪些解題的策略？這些策略在以前哪些知識的學習中運用過？這個環節必不可少，不可忽略。通過回顧總結解題的思路和關鍵所在，提煉并檢視策略的運用，有利于領悟解題方法和策略適合的問題特征，促進解題經驗遷移轉化，提升學生的解題能力。當然，我們教師也需要進行深入思考和自我反思：這節課中培養學生哪些能力和素養？滲透的數學思想方法是什么？以上幾個問題的解決過程，就是培養學生數學思維的過程。

三、講題教學應注意的三個問題

在講題教學中，除了要設計好思維含金量較高的練習題和滲透解題的策略與方法，還需要站在學生的角度思考講題教學實施過程的有效性。

1.自主探究，展現過程

要讓學生自己去發現、探索、解決，經歷解題的整個過程。解題實際上是學生運用已有的知識經驗與數學問題之間建立聯系，并運用數學知識和數學模型解決新的數學問題的過程。學生在解答時需要調動多方面的知識，對學生來說具有挑戰性，也有一定的難度，教師要有靜待花開的心態，要給學生時間和機會，讓學生靈動的思維過程充分展露出來。

2.問題驅動，深度思考

教師的任務不是“講”，而是“問”和“引”，教師作為參與者和引導者，要做到含而不露、指而不明，以設問（大問題、關鍵問題、追問）調控探索的方向，將問題問在重點處、困惑處、關聯處，有效激發學生思維能力，引導學生進行全面、深入的思考，并在與同伴進行交流思辨中得到啟發和幫助。在練習完成之后，能從整體上建立知識之間的聯系，形成結構化的思維方式。

3.回顧總結，提煉遷移

教師應著眼于學生可持續發展的能力與素養的提升，對在解題過程滲透的數學思考方法和解決問題的策略進行總結提煉，讓學生掌握解決一類問題的“通法”，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

培養學生數學思維能力、形成策略意識、提高解題能力，這是一項長期的、艱苦的、細致的教學任務，需要低、中、高年級的任教老師共同努力，將數學思維滲透在每節課、每道題中。講題教學中要激發學生探究的欲望，激活學生的數學思維，引導學生多經歷、真參與、敢嘗試、會運用，能從聯系的視角系統地思考問題，合理選擇解題的方法和策略，提高學生解題的能力，進而提升學生的數學素養。