小學數學概念的現實原型的優化選取

江蘇省南京市西善花苑小學 胡 俊

一、緒論

隨著基礎教育改革的深化，小學數學教學受到了廣泛的關注。概念教學作為小學數學教學中的重要組成部分，如何提升其教學效果顯得尤為重要。概念教學都經歷了由原型到模型再到概念的抽象過程，原型的觀察是概念教學的起點，是否優化的原型選取直接影響學生的研究觀察與模型建立，從而影響概念的抽象過程。同時，小學階段數學概念的產生主要源于生活的需求，大多數數學概念均可在生活中找到它們的現實原型。因此，對小學數學概念的現實原型的優化選取的研究具有重大意義。

通過查找、閱讀、分析、比較相關文獻，筆者發現大多數研究都是從理論綜合的角度出發，沒有對概念進行細化的分類，很難有針對性地對不同類型的數學概念的現實原型的選取提供合理的方案。因此，筆者基于現有研究成果，結合具體實踐，對不同類型的數學概念提出不同的優化選取策略。

二、數學概念

（一）數學概念的含義

數學概念是人類對現實世界數量關系和空間形式的本質屬性的思維形式，是架構數學世界的基石。數學概念的內涵指數學概念所反映數學對象的本質屬性。數學概念的外延指數學概念所反映數學對象的全部。

（二）數學概念的分類

1.按照內容分類

數學概念可以按照數學學習內容進行分類（見圖1）。

圖1

2.按照能否被定義分類

數學概念可以按照能否被定義進行分類，可以分為原始概念和定義概念。原始概念指直接作為研究內容本身被提出，無法再加以定義的概念（如直線、射線和角等）。定義概念指通過給概念下定義揭示其本質屬性，使其與其他概念區分開來而獲得的概念（如只有1和它本身兩個因數的數就是質數）。

3.按照溯源分類

數學概念可以按照它的來源進行分類，可以分為直接抽象概念和邏輯建構概念。直接抽象概念源自對客觀世界的數量關系和空間形式的直接抽象，它們往往能從現實世界中找到它們的原型或近似原型（如直線、射線、角、正方形、長方形等）。而邏輯建構概念是對已有數學概念的邏輯建構（如用字母表示數、方程等）。

4.按照表現形式分類

數學概念可以按照它的表現形式進行分類，可以分為定義式概念和描述式概念。定義式概念指通過精練完整的語言揭示出事物的本質屬性（如含有未知數的等式是方程）。描述式概念指通過言語對研究對象的本質屬性進行描述概括所得到的概念（如像+20、+8844.4這樣的數都是正數）。

5.分類的目的與啟示

小學階段的數學概念大都以原始概念、直接抽象概念、描述式概念為主，這些概念往往在現實生活中都能比較輕松地找到大量的現實原型，然而對于現實原型的選取還取決于數學概念按照內容的分類。統計與概率的現實原型大都以邏輯建構概念為主，現實原型不容易找到，因此對于小學數學概念的現實原型的優化選取可以分為數概念和形概念兩部分進行選取的考量。

（三）數學概念的學習歷程

數學概念的學習從認知結構角度來看，就是新知與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。首先，學生借助已有知識經驗、直接經驗與一定的學習情境，通過對現實原型的觀察、研究，在“說”的過程中，產生認知需求或認知沖突，從而獲得對現實原型所蘊含的本質屬性的充分體驗，初步在腦海中抽象出現實原型的數學模型。接著，由任務驅動，通過自主、探究、合作等學習方式，對腦海中原有圖式進行加工、重組（或同化或順應），建構出新的圖式，從形象概念抽象出數學符號概念。最后，回歸本質相同的具體情境，在操作應用中，補充和完善我們的認知結構，提升我們的思維能力和認知水平，從而達到對數學概念的理解和掌握（見圖2）。

三、現實原型

（一）現實原型的含義

現實原型指在現實生活中能反映數學概念本質屬性的具體情境或具體實物。按照上文的思路，數學概念按來源分類可分為直接抽象概念和邏輯建構概念。直接抽象概念源于現實生活的需要，在現實生活中，能直接找到許多相似的具體情境，即數學概念的現實原型。而邏輯建構概念源自數學知識體系本身的需求，在現實情境中幾乎無法找尋它的影子，在小學數學中，絕大多數概念均屬于前者，均可以在現實情境中追根溯源。

（二）現實原型的分類

基于前文對數學概念的分類和小學數學概念教學的現實意義，按照數學學習的內容和研究對象，小學數學概念的現實原型可被分為數概念的現實原型和形概念的現實原型。數概念的現實原型大多以具體操作或具體情境為表征（如“10的認識”中通過手指數、計數器撥、小棒捆等具體操作為表征；蘇教版數學“兩位數乘整十數”中通過給敬老院送菜椒的具體情境圖為表征等）。形概念的現實原型大多以現實生活中的具體事物為載體進行表征（如“認識射線”激光燈的光束等）。

（三）現實原型與數學概念的關系

1.數學發展

在歷史的長河中，伴隨著人類科學文明的發展歷程，數學發展是從具體到抽象，從現實原型到數學概念的單向發展關系（見圖3）。

圖3

2.個體認知發展

在數學概念的學習歷程（即學生個體的認知發展歷程）中，現實原型和數學概念呈現一個封閉的回路狀態。學生在具體情境中對現實原型進行充分體驗，抽象出形象概念，在元認知、學習方式的參與下，從形象概念抽象出數學符號概念，最終回歸到具體情境中的問題解決（見圖4）。

圖4

四、現實原型的優化選取

（一）現實原型的優化選取方法

1.尋找原型

通過追根溯源的方式，由教學數學概念倒推其現實原型，逆向還原數學概念的學習歷程，在由果索因的過程中，找尋合適的現實原型。

2.確定原型

從知識本身、學生實際和原型的客觀條件等方面，綜合考量現實原型的合理性，以達到現實原型的選取優化。

3.優化原型

通過對教學方法、學生情況和客觀條件等方面的考量，對所選現實原型的不足之處加以補充優化，從而使現實原型的選取達到最優化。

4.校對原型

重塑從現實原型到數學模型再到數學概念的過程，在順向的數學概念學習歷程中對所選現實原型進行再考量。

（二）以“認識射線”為例

1.尋找射線原型

從教學目標出發，為我們的追根溯源做好準備。教學目標：經歷觀察、畫圖和交流等活動，認識射線，掌握射線的特征；建立“無限長”的概念。

從數學概念想起：什么是射線？書本中采用的是描述式概念，即“像這些光線就可以把它們看作是射線”那么這些光線有什么特點呢？“從一點出發、直直的、無限長。”這就是射線這一抽象概念的形象模型。結合這一特征，在具體情境中尋找符合這些特征的實例。可找到“各種燈光的光束”“動畫片《龍宮奪寶》中孫悟空不斷變大的金箍棒”等現實原型。

2.確定射線原型

“認識射線”這一知識屬于圖形與幾何領域基本圖形的概念教學。在概念的分類上屬于采用描述的表現形式的原始性概念。從學生角度來看，“金箍棒”更具有趣味性，也更貼近學生的生活經驗和興趣愛好，而“燈的光束”則更加真實，同時能在操作活動中培養學生的多種能力。從原型的客觀條件來說，“燈光的光束”受軌跡呈現形式、自然界中各種物質的影響，給課堂的觀察研究帶來不確定性。從課堂效率來說，“金箍棒”可能效率更高，而“燈光的光束”相對比較耗時。綜上所述，這兩種現實原型各有利弊均可選取，確定選取哪一種，取決于教師的教學理念和學生的需求。

3.優化射線原型

在此環節，筆者將從“燈光的光束”和“金箍棒”兩條線路進行闡述。

選取“燈光的光束”為現實原型需要考量：（1）觀察對象：取材容易，便于觀察；（2）呈現軌跡：清晰可見；（3）射線表征：延展性；（4）介質影響：是否筆直。

結合考量，提出解決方案：（1）觀察對象：激光筆（電光筆）；（2）呈現軌跡：在較暗的環境中或者采用霧化的方法，在空氣中噴灑水汽；（3）射線表征：為了突顯光線是不斷向前延伸的，可以先用激光筆照射在室內門（墻）上，讓學生觀察光的運動軌跡，再讓光照射出教室，照射在校園里，讓學生觀察光的運動軌跡，最后再將光照射向天空，讓學生想象光的運動軌跡。（4）介質影響：由于光在運動過程中會受到自然界中各種物質的影響，并不是筆直的，而我們在研究過程中對這種影響是忽略不計的，因此教學過程中要強調“沒有遮擋物”。

選取“金箍棒”為現實原型只需要考量如何將射線最重要的表征“一端可以無限延長”表現出來。提出解決方案：讓“金箍棒”動起來，不斷伸長，引發思考：“金箍棒沖破海面，沖出云層……還能不能再伸長了？讓我們閉上眼睛，想象一下，這根金箍棒還在不斷地延長，不斷地延長……可能延長到哪里了？”

4.校對射線原型

將塑造好的射線的現實原型整合到教學設計中，對射線這一概念順向教學歷程的梳理，校對現實原型選取的合理性，通過校對，兩種優化后的現實原型均符合要求。

本研究從小學數學概念的含義和類型著手，闡述了數學概念的學習歷程，揭示了現實原型與數學概念的關系，并為小學數學概念的現實原型的優化選取提出了解決方案，對小學概念教學的理論研究和教學實踐有指導意義。

仍存有遺憾，如：小學數學概念的梳理整合；現實原型的分類準則的細化；現實原型的意義和價值；以數概念的角度為例詮釋現實原型的優化選取方法等。這些問題將是筆者下一階段研究的方向。