衛星軌道標準化的計算方法比較

夏志浩

(常州市金壇區測繪地理信息院，江蘇 常州 213200)

隨著社會的發展，特別是無人機、無人駕駛等一些新興領域都對定位精度提出了更高的要求。無論是GNSS控制網還是精密單點定位的解算，精密星歷的使用都對軌道誤差的減小有著積極的作用[1-2]。為了提高衛星的定軌精度，通常采用IGS 提供的精密星歷。精密星歷分為最終星歷(IGF)、快速星歷(IGR)、超快速星歷(IGU)三種星歷[3]。本文采用的是15 min采樣間隔的最終星歷，實際解算中需對其進行插值或者擬合。其中較為常用的方法就是拉格朗日多項式插值法[4-5]和牛頓多項式插值法[6]，有一些學者也提到了內維爾逐次線性插值法[7]和切比雪夫多項式擬合法[8]。

在本文中，筆者使用拉格朗日插值和切比雪夫多項式擬合兩種方法對15 min采樣間隔的最終精密星歷進行了標準化，并進行分析對比。

1 衛星軌道標準化模型

1.1 拉格朗日插值法

假設函數f(x)在一系列點xi(稱之為節點)上精確值為已知，用一簡單函數y(x)逼近f(x),要求在節點y(x)與f(x)有相同的函數值，這就是插值。拉格朗日插值函數如下[9]：

(1)

式中，lj(x)稱為拉格朗日插值基函數，即：

lj=

(2)

當n=1時，L1(x)稱為線性插值，它可以表示為：

(3)

當n=2時，L2(x)稱為拋物線插值，它可以表示為：

(4)

在精密星歷內插時，xi為精密星歷中的時間參數，f(x)為相對應的衛星位置和衛星鐘差數據。因為被插值點位于所有節點的中間位置精度最高，所以在本文中所有被求解節點都位于中間位置，即對待求歷元的衛星位置和鐘差進行插值時，前后所取的歷元數據個數相等。

1.2 切比雪夫多項式法

切比雪夫多項式擬合就是根據給定的數據擬合出一個函數，使其在給定點的函數值與給定值之間的方差和最小[10]。假設需要在時間間隔[t0,t0+Δt]計算n階切比雪夫多項式系數：

B=

(5)

(6)

式中，n為切比雪夫多項式的階數；CXi、CYi、CZi分別為X坐標分量、Y坐標分量、Z坐標分量的切比雪夫多項式系數。

在切比雪夫多項式中根據如下遞歸公式確定Ti：

T0(τ)=1,T1(τ)=1，Tn(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ); |τ|≤1,n≥2

(7)

設Xk為觀測值，則誤差方程為：

(8)

誤差方程的矩陣展開式如下：

(9)

令V=[VX1VX2VX3…VXm]T;

L=[X1X2X3…Xm]T。

2 算例及結果比較

在本實驗中，筆者使用的數據為2012年1月4日的IGS最終精密星歷(esa16693.sp3)，從0 時0 分至23 時45 分，共96 個歷元。首先對G01、G02、G03三顆衛星分別進行6～35階拉格朗日插值和9～25階切比雪夫多項式擬合，求取2012年1月4日12時0分0秒衛星的坐標，再將其與該歷元已知衛星坐標取差值，以X方向為例，結果如圖1和圖2所示。

圖1 拉格朗日插值結果

圖2 切比雪夫多項式擬合結果

由圖1可知，拉格朗日插值在階數取到9時，衛星插值的結果趨向穩定，與已知的衛星坐標基本相等，當拉格朗日插值階數取到35時，衛星坐標的差值也不是很大，沒有見到明顯的龍格現象。由圖2可知，當切比雪夫多項式的階數取到11階時，衛星坐標的差值趨于穩定，直到擬合到第22階多項式時，衛星坐標的差值開始增大，擬合出的衛星坐標開始偏離衛星坐標的真實值，出現龍格現象。因此在衛星軌道標準化時應充分考慮衛星星歷的數據量，在保證精度和效率的情況下，盡量避免使用高次插值或擬合。

通過以上結果的分析，在該樣本中拉格朗日插值取9～11階，切比雪夫多項式擬合階數取12～14，計算結果精度和效率最優。下面以10階拉格朗日插值和13階切比雪夫多項式為例，分別計算32號衛星于12時0分0秒到12時1分0秒時間間隔的衛星坐標(采樣間隔為1 s)，結果如圖3所示。

圖3 兩種方法計算的衛星坐標差

從結果可以看出，衛星坐標之差在X、Y方向基本在30 mm以內，在Z方向基本在40 mm以內。隨著歷元數的增加，衛星坐標之差在0 mm上下擺動。從該時間段中選取前6個歷元，計算結果如表1所示，從表中可以看出,無論是插值還是擬合方法計算出的衛星坐標差值都很小，基本在0 mm上下擺動，衛星位置坐標值穩定性相對較高。

表1 兩種方法計算的G32的坐標(LGLR：拉格朗日 CBSV：切比雪夫多項式)

3 結 論

通過對拉格朗日插值和切比雪夫多項式擬合結果分析：(1)拉格朗日插值法、切比雪夫多項式法只要使用的階數合適，計算出的衛星坐標都滿足精度的要求；(2)對于切比雪夫多項式法而言，多項式的階數對結果的影響較為明顯，高階容易產生龍格現象；(3)在實際應用中，不同計算方法的效率也不一樣。當求解衛星位置較少時，由于拉格朗日插值法不需要事先擬合衛星軌道，所以計算速度優勢比較明顯；當求解衛星位置較多時，由于切比雪夫多項式在每次計算衛星坐標時只需要代入系數矩陣，比起拉格朗日插值大量的進行插值計算效率要高很多。