幾種隨機模型對北斗定位精度影響研究

孫 鵬

(新疆水利水電勘測設計研究院測繪工程院，新疆 昌吉 831100)

隨著最后一顆北斗衛星成功發射，北斗三號全球導航系統正式開通運行。載波雙頻或者三頻是北斗衛星提供的精準測量信號，在北斗二代提供頻率為B1I、B3I的信號基礎之上，北斗三代MEO衛星與IGSO 衛星將新增3個頻點為B1C、B2a、B2b的信號，這五種頻率信號為組合模型與雙差模型提供數據基礎。常見的組成雙差方程中，定位解算時選擇合適的隨機模型至關重要，這關系定位解算中定權的優劣，一個合適的隨機模型會大大提高雙差方程中質量優的觀測值權值，降低噪聲或者誤差較多的觀測值的權。關于隨機模型的選擇，相關文獻都做了大量的研究，其基本都是建立在GPS模型之上，考慮的因素也是GPS方面眾多[1-2]，為此有必要將常用的隨機模型應用于北斗三號衛星系統。

本文基于北斗開始大規模應用的基礎上，以實測數據為例，以常見的四種隨機模型為討論對象，將四種隨機模型分別應用在定位解算中，得出了各種隨機模型在實際應用中的適用條件。這為雙差方程或者單點定位中隨機模型的選擇提供參考與借鑒，也為北斗衛星全球組網、服務全球提供理論基礎。

1 北斗衛星觀測數學模型方程

北斗衛星提供的B1I、B3I、B1C、B2a、B2b五種頻率信號，在組成觀測方程時，不管是雙差模型還是組合模型都可應用這五種頻率信號組成方程。在應用最小二乘法計算時不僅需要觀測值組成的數學模型，還需要觀測值的先驗信息。這些先驗信息與單位權誤差構成權值的模型，用來反映觀測值自身的誤差噪聲特性。本文在利用北斗數據時，采用雙差模型，即北斗衛星提供的雙頻數據為例，衛星間與測站間作差，即得到以下雙差方程式：

(1)

(2)

(3)

(4)

由此可見，雙差觀測值中的方差與協方差矩陣對定位解算結果至關重要，隨后將分別介紹常見的四種隨機模型在北斗衛星定位解算中的應用條件與適用條件。

1.1 等權隨機模型

(5)

1.2 高度角隨機模型

高度角隨機模型是依據某一北斗衛星在某一歷元時刻，該衛星相對于測站處的高度角計算建立的隨機模型。該模型認為高度角與載波精度有很強的相關性，該理論依據的是高度角不同時，衛星發射信號傳播途徑也不相同。高度角與對流層延遲、電離層延遲呈正相關性，多路徑誤差減弱是由于高度角的增加導致的。所以常認為高度角與載波相位精度呈正相關性。載波相位的方差可以表示為高度角函數的形式[3]，如式(6)所示。

(6)

式中，f函數包括余弦函數、正弦函數、正切函數、指數函數等常見函數形式。

指數函數方程式[4]：

σ=σ0(1+ae-ε(t)/ε0)

(7)

式中，σ0為相位觀測值的均方差，其滿足衛星高度角90°時的數值；a為比例系數；ε(t)為時間與衛星高度角函數數值；ε0為基線兩端點接收機公共觀測衛星的高度角最大值。國外某學者利用大量的實驗數據總結了式(7)中的參考值，如表1所示。

表1 指數函數方程式中系數的借鑒值

正弦函數方程式[5]：

(8)

式中，E為北斗衛星處于某一歷元時刻的高度角。該高度角隨機模型存在著不能準確反映低高度角衛星精度的缺點，在應用中常常采用改進后的正弦函數模型，該模型如式(9)所示。

σ2=a2+b2/(sin(E))2

(9)

式中，a、b常取經驗值a=4 mm、b=3 mm。

正切函數模型[6]:

(10)

式中參數含義如前文。

1.3 載噪比隨機模型

載噪比(C/N0)為載波在1 Hz寬帶上的能量輸出與噪聲在1 Hz寬帶上的輸出比值。該比值與多種噪聲有關，如信號傳播途徑中的電離層、大氣延遲、接收機端的多路徑誤差、接收端的硬件，該數值根據多次試驗取45 db-Hz。國外某組織根據該比值推導了如式(11)所示的SIGMA-ε函數模型[7]。

(11)

式中，Ci可用式(12)計算而得：

(12)

式中，Bi為相應頻率載波的帶寬，Hz；λi為該頻率載波的波長，m。北斗三號星通常取CB1I=0.002 24 m2Hz，CB3I=0.000 77 m2Hz。若排除其余干擾因素，或者為一定值時，C/N0與高度角成一成不變的函數關系。當外界影響條件發生變化時，其C/N0值比相同高度角情況下的數值要小。Brunner研究員利用C/N0數值提出了SIGMA-Δ非確定性模型：

σ2=Ci×10-(C/N0measured-aΔ)/10

(13)

式中，Δ為實際獲取值與條件值的差值；a為經驗系數，一般取2。

1.4 信號強度隨機模型

本節闡述的北斗衛星隨機模型與前面敘述的隨機模型相比較，更能準確反映出載波觀測值的質量，但只有接收機能輸出C/N0原始值時，才可以應用該模型。RINEX2.1版本以上的方可輸出C/N0數值，但由于沒有一個輸出國際標準統一格式，所以導致很大一部分轉換程序不能輸出該數值。在標準格式RINEX2.0中，數據排列倒數第一位整數就是相應頻率載波的信號強度，對應的C/N0值通過下式得到[8]：

(14)

由于北斗衛星在B1I、B3I、B1C、B2a、B2b這四種頻率上的不同，直接導致其輸出C/N0數值不同，頻率低，輸出C/N0值低。為使信號強度保持正負相關性一致，某些情況可在北斗信號接收機的相應低頻率信號強度上加一常數4。信號強度本質上就是C/N0值的縮減值，于是信號強度的觀測值方差公式為[9-10]：

(15)

2 實驗與分析

2.1 實驗一

本次實驗位于某高校數據采集場地，基線兩端接收機位于教學樓樓頂，視線無遮擋，視野開闊。該基線長90.8 m，一端為基站，另一端基線點為流動站，二者高差較小。數據接收采用2臺iGMAS型號北斗接收機，該接收機可接收北斗衛星五種頻率數據。數據采集時間為2020年6月20日，數據采樣率為1 s，本次實驗采用500個觀測歷元，衛星截止高度角為10°。在內業數據處理中，增加了C/N0觀測值輸出。利用成熟的研究型開源軟件GAMIT軟件包中Track模塊進行解算，本次實驗為比較四種隨機模型對北斗衛星的適用條件，將四種隨機模型利用FORTRAN語言加入到Track模塊中，其中雙頻率數據選擇B1C、B2a，定位結果如圖1所示。定位結果采用內符合精度統計北(N)、東(E)、高程(U)精度指標，如表2所示。

表2 四種隨機模型的內符合精度值/mm

由圖1可知，北方向、東方向中這四種隨機模型均表現出平穩的定位結果，高程方向由于受到更多誤差的影響定位結果較為波動。在四種隨機模型定位結果中，載噪比定位結果最為平滑，信號強度、高度角定位結果次之，等權隨機模型定位結果平滑效果最差。

圖1 流動站依據不同隨機模型獲取的坐標值

由表2可知，文中介紹的四種隨機模型定位精度由低到高為等權隨機模型、高度角隨機模型、信號強度隨機模型、載噪比隨機模型，如北方向載噪比定位精度為4.2，等權模型定位精度11.5，東方向載噪比定位精度4.9，等權模型定位精度10.0。衛星處于低高度角時，大氣延遲與多路徑加劇了衛星觀測值中噪聲，所以采用高度角隨機模型可有效減弱多路徑與大氣延遲的影響，如高度角隨機模型北方向、東方向、高程方向定位結果分別為7.4、6.9、12.7，均優于等權模型定位結果11.5、10.0、20.1。載噪比模型、信號強度模型定位結果優于高度角模型，可證明載噪比隨機模型與信號強度隨機模型比高度角模型更能反映觀測值質量。

當衛星信號出現失鎖或者遮擋情況時，即使衛星此時高度角較大也無法用高度角隨機模型反映觀測值質量，這時載噪比與信號強度隨機模型更能體現觀測值質量。從圖1與表2的結果可知，載噪比、信號強度二者的定位結果從總體來看大致相同，在無載噪比數據時，可用信號強度隨機模型替代[11]。

2.2 實驗二

本次實驗數據來自某工程測量項目，基準站架設于地基穩固的某樓頂，流動站位于某主干道旁，兩站均無遮擋，測站環境良好，基準站與流動站接收機均為M300 Pro型商用北斗接收機。基準站與流動站接收機儀器設置采樣率為1 s，衛星高度角為10°，基線長度為1 099.4 m，該基準站與流動站高差為25.69 m。采用1 000個歷元數據參與解算，雙頻數據選擇B1I、B3I，解算策略同實驗一。定位結果如圖2所示，內符合精度如表3所示。

表3 流動站坐標內符合精度統計表/mm

由圖2與表3數據可知，這三種隨機模型定位結果均較為平滑，其中高程方向定位結果與北方向、東方向定位結果在內符合精度數值上相差較小。其中高度角模型在三個方向的定位結果均優于其余兩個隨機模型，如高度角模型定位精度北方向、東方向、高程方向分別為5.0、4.8、5.7，均優于載噪比模型和信號強度模型，這歸功于兩測站之間高差為25.69 m。當組成雙差方程時，無法通過雙差方法將大氣延遲誤差消除掉，高差越大殘余的大氣延遲誤差越大，高度角模型可在解算雙差方程時，通過高度角這一函數調整權值來削弱殘余的大氣延遲對定位的影響。

圖2 流動站依據不同隨機模型獲取的坐標值

3 結 論

本文通過基線長度不同、高差不同的兩組實驗數據，將等權模型、高度角模型、信號強度模型、載噪比模型在Track模塊中實現編程并對數據進行處理，以兩組具有代表性的實測數據分析了這四種隨機模型的應用條件，總結如下：

(1)等權隨機模型是一種理想的、簡單的隨機模型，本文建議在北斗數據處理中采用精度較為優良的載噪比模型、信號強度模型和高度角模型，盡量不要使用等權模型，推薦根據不同情況使用這三種模型；

(2)當基準站與流動站之間高差較大時，推薦使用高度角隨機模型，因為該模型能更加有效地減弱大氣延遲的影響，定位結果優于其他三種隨機模型；

(3)載噪比隨機模型、信號強度隨機模型定位結果大致相同，信號強度模型可適當代替載噪比隨機模型，特別是無載噪比時。