基于模糊確信可靠度的城軌列車齒輪輕量化設計方法

龐其城， 楊建偉， 李 政

(1.北京建筑大學 機電與車輛工程學院， 北京 100044；2.北京建筑大學 城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室， 北京 100044)

輕量化這一概念最早源自汽車制造行業，汽車的質量減輕，可以帶來更良好的操控性和加速性[1]。隨著“節能、減排”等環保理念深入人心，輕量化的概念開始在各行各業中展開。其在工程中的主要思想為：在確保穩定提升性能的基礎上，節能化設計各零部件[2]。隨著城市軌道交通的快速發展，對于城軌車輛的技術指標要求越來越高，要在保證車輛運行安全可靠的情況下，做到節約能源、降低成本、減輕重量等，輕量化成為車輛設計中必不可少的環節之一。目前城軌車輛主要的輕量化設計方向分為2類[3]：第一類為材料輕量化設計，指在車體、牽引系統、制動系統、空調系統和轉向架等車輛重要的子系統中使用既滿足強度要求，又可實現輕量化目的的新型材料；第二類為結構輕量化設計，通過理論校核或有限元仿真計算、設計出更合理的結構、減少零部件冗余設計等途徑實現輕量化。

城軌列車各個子系統中，牽引系統中的零部件質量占用了車輛總體質量中很大一部分，其中齒輪箱中的大量傳動齒輪由于采用比較保守的設計思路，造成了一部分零部件可靠性功能冗余，不僅使整車的質量增加，占用車底大量空間，而且提高了制造成本。采用輕量化設計優化可以極大改善以上問題。但對于齒輪箱中傳動齒輪來說，材料輕量化設計需要在材料領域有所突破，以目前現有技術實現難度較大。而在結構輕量化設計方面，通過合理優化齒輪的結構就可以相對簡單地實現齒輪輕量化。

本文在對城軌車輛齒輪箱中齒輪的彎曲疲勞可靠性預測相關研究的基礎上，建立基于齒輪彎曲疲勞的性能裕量模型。在故障數據樣本較少、存在認知不確定性對可靠性預測結果影響較大的情況下，運用確信可靠度評估方法，對某型城軌車輛齒輪箱中的齒輪齒根彎曲疲勞強度進行可靠性預測，計算出在滿足列車運行安全的條件下所需達到的最低參數要求，并在盡量便于修改的情況下，對現有齒輪箱中傳動齒輪的齒寬進行優化，以達到齒輪的輕量化設計。

1 確信可靠度分析基本理論

1.1 性能裕量理論

性能裕量(Performance Margin, PM)[4]指性能參數與其性能失效閾值之間的差距，性能裕量可用于表征系統的失效。性能裕量在確信可靠度模型中起著重要作用，假設將p稱為性能參數，pth稱為性能失效閾值，當性能參數p達到性能失效閥值pth時，系統發生故障。在大多數情況下，存在2類性能參數模型的失效情況[5]：

1) 當p≥pth時系統失效，此模型為望小情況(STB)。

2) 當p≤pth時系統失效，此模型為望大情況(GTB)。

根據上述情況，性能裕量M模型可以表示為：

(1)

性能裕量描述了性能參數與其閾值之間的差距，當M<0時，故障發生。在實際情況中，經常受到偶然性和認知不確定性的影響。所以在前期的零部件設計過程中，預留的性能裕量越大，系統或零部件發生故障的可能性越低，隨之可靠性越強。因此，將性能裕量作為一個不確定的隨機變量進行建模，得到了性能裕量意義下的可靠性的定義[5]。

1.2 輕量化設計分析框架

輕量化設計的計算具體流程如圖1所示。

圖1 輕量化設計計算流程Fig.1 Lightweight design calculation process

2 運營工況下齒輪確信可靠度模型的建立

影響齒輪可靠性的主要原因為齒輪齒根在縱向載荷上受到齒根彎曲應力而發生彎曲疲勞斷裂，所以為了深入研究齒輪可靠性相關問題，應建立齒輪齒根彎曲疲勞可靠性模型。

在運營工況下所獲得的傳動齒輪故障數據有限，無法滿足大數定律。在復雜的工況下運行時，系統存在較大的不確定性，使用基于傳統貝葉斯可靠性的評估方法導致計算結果偏差較大。本文使用確信可靠度評價方法。主要優勢是考慮復雜環境下認知不確定情況對可靠性結果的影響，運用公理化的數學方法對模型的確信可靠度進行更加準確的評估，使得最后輕量化結果更加準確可信。

2.1 基于確信可靠度的齒輪可靠性模型建立

選用的試驗齒輪為某型城軌車齒輪箱中傳動齒輪，材料為18CrNiMo7-6，其化學成分及占比見表1。試驗齒輪參數見表2，齒輪做滲碳淬火熱處理，有效硬化深度1.00～1.50 mm，齒面硬度58HRC-62HRC，芯部硬度≥30 HRC。

表1 18CrNiMo7-6材料化學成分及占比

表2 試驗齒輪參數

參考文獻[6]中齒輪箱中齒輪齒根應力確定方式，依照GB/T 3480—1997《漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法》[7]中的齒根應力計算公式計算齒輪齒根彎曲應力σF和彎曲許用應力σFP：

(2)

式中：YFE為載荷作用于E點時的齒形系數，根據試驗齒輪參數，取值2.25；YSE為載荷作用于E點時的應力修正系數，取值1.77；YST為齒輪的應力修正系數，取值1；YδγlT為相對齒根圓角敏感系數，取值1；YRrelT為相對齒根表面狀況系數，取值1；YX為計算彎曲強度的尺寸系數，取值1；Ft為端面內分度圓周上的名義切應力，N；b為齒寬，mm；m為齒輪模數。

σFP=YNTYSTYXYδγlTYRrelTσFlim

(3)

式中：YNT為齒輪彎曲疲勞壽命系數，取值1；σFlim為齒根彎曲疲勞極限。

試驗選用的齒輪與文獻[8]中物理特性相似，故引用其齒輪齒根彎曲疲勞極限，設隨機正態分布σFlim～N(μ=679，σ2=852)。

在城軌列車齒輪箱中傳動齒輪的齒根彎曲疲勞確信可靠度計算模型中，選取齒輪齒根彎曲應力σF作為性能參數p，選取齒輪齒根彎曲許用應力σFP作為性能失效閾值pth。當齒輪齒根彎曲應力σF大于齒輪齒根彎曲許用應力σFP時(即p>pth)，系統失效，判斷此確信可靠度模型的失效類型為望小。本試驗中，齒輪齒根彎曲許用應力σFP的值受單一參數齒根彎曲疲勞極限σFlim影響，所以性能失效閾值pth是隨機變量且服從概率分布ψ(x)。齒輪齒根彎曲應力σF受切應力Ft影響，為方便計算，將2個參數分別進行考慮，故p是不確定變量且服從不確定分布φ(x)。

根據文獻[8]中的確信可靠度模型計算公式，當p是不確定變量且服從不確定分布φ(x)，pth是隨機變量且服從概率分布ψ(x)，并且系統的失效模型屬于望小情況，此模型的確信可靠度RB計算公式為：

(4)

即：

(5)

ψ′(x)是σFlim～N的概率密度函數，可表示為[4]：

(6)

式中：μ為均值，σ為標準差。

2.2 運營工況下齒輪模型確信可靠度計算

根據城軌列車實際運營工況，在列車處于牽引工況時，由于電機的牽引作用，使得傳動齒輪所受的載荷變化較大，容易產生可靠性方面問題，故主要考慮在牽引狀態下齒輪箱中傳動齒輪所承受的載荷情況，根據列車牽引電機的機械特性，將驅動轉矩分為恒轉矩區和恒功率區，以滿足牽引的需要[9]。因此，電機驅動力矩可以表示為：

(7)

式中：Te為額定轉矩，N·m；Pe為額定功率，W；n為電機轉速，r/min；ns為同步轉速，r/min。

根據試驗模擬牽引工況得出驅動電機的工作特性，繪制電機驅動轉矩曲線如圖2所示[10]。

圖2 電機牽引條件下的驅動轉矩曲線Fig.2 Drive torque curve under motor traction

牽引電機輸出的轉矩直接傳遞給齒輪箱中的傳動齒輪，可以將分度圓上的切應力Ft表示為[11]：

(8)

式中：d為齒輪分度圓上的直徑，mm，齒輪分度圓半徑等于齒輪模數與齒數的乘積，即d=mz。

由式(8)可以看出，當驅動轉矩處于恒轉矩區時，傳動齒輪分度圓上的切應力Ft為定值不變；當驅動轉矩處于恒功率區時，分度圓切應力隨轉速的增大單調減小，呈反比例函數，根據不確定概率運算法則[9]可以求出p的不確定分布的解析解為：

(9)

齒輪分度圓所受的最小切應力Fa≈2 727 N，最大切應力Fb≈13 273 N，故設齒輪齒根所受的切應力可表示Ft～N(Fa=2 727，Fb=13 273)。

根據式(5)計算出在參數Ft的不確定性影響時的確信可靠度RB=0.999 4。

2.3 參數敏感度分析

在彎曲疲勞極限σFlim不變的情況下，通過改變齒輪分度圓上所受的切應力Ft～N(Fa=2 727，Fb=13 273)中最小切應力Fa和最大切應力Fb的值，使2個參數在給定的區間內變化，得到模型的可靠度RB隨參數Ft中變量Fa、Fb的三維變化趨勢，如圖3所示。之后通過改變Fa、Fb中某個變量在給定的區間內變化，另一變量保持原有數值不變，得到可靠度RB隨參數Ft中單一變量的變化曲線如圖4所示。

圖3 可靠度RB與參數Ft中變量的關系Fig.3 Relationship between reliability RB and variables in parameter Ft

圖4 可靠度RB隨參數Ft中單一變量的變化曲線Fig.4 Variation curve of reliability RB with a single variable in parameter Ft

從圖3中可以看出隨參數Ft中Fa、Fb數值增大，即參數Ft的不確定性增大時，系統的確信可靠度呈現逐漸降低的趨勢；對于圖4，當參數Fa、Fb增大時，確信可靠度呈現近似線性的減小，且最大切應力Fb的改變對模型的確信可靠度RB影響較大，而RB在Fa的值域中變化范圍較小。

在分度圓切應力Ft和齒形系數YFE不變的情況下，通過改變彎曲疲勞極限σFlim～N(μ=679，σ2=852)中均值μ和標準差σ的值，使2個參數在給定的區間內變化，得到模型的可靠度RB隨參數σFlim～N中變量μ、σ的三維變化趨勢，如圖5所示。之后通過改變參數μ、σ中某個變量在給定的區間內變化，另一變量保持原有數值不變，得到可靠度RB隨參數σFlim～N中單一變量的變化曲線，如圖6所示。

圖5 可靠度RB與參數σFlim中變量μ和σ的關系Fig.5 Relationship between reliability RB and variables μ and σ in parameter σFlim

圖6 可靠度RB隨參數σFlim中單一變量的變化曲線Fig.6 Variation curve of reliability RB with a single variable in parameter σFlim

圖5中可以看出，隨參數YFE中μ、σ數值的增大，系統的確信可靠度呈現逐漸降低的趨勢，但標準差σ的變化較大。對于圖6，當均值μ逐漸增大時，可靠度RB的值隨著μ的增大而增大，且增長速率逐漸降低。相反，確信可靠度RB的值隨著標準差σ的增大而減小，增長速率逐漸加快。將2條線的趨勢進行比較，標準差σ數值變化對結果確信可靠度RB的影響更顯著。

3 齒輪輕量化設計相關分析及計算

通過建立齒輪齒根彎曲疲勞強度性能裕量模型，計算出了在牽引工況下，原齒輪受Ft不確定性影響，齒輪齒根彎曲疲勞的確信可靠度RB趨近于1。但是對于齒輪箱系統而言，此部分可靠性設計過高，導致可靠性功能冗余，可適當降低可靠性以換取齒輪的輕量化。

在齒輪相關的輕量化設計中，結合現有的實際情況，較難在齒輪的材料上發生較大的技術突破，無法通過材料輕量化的設計方法實現目標。而結構輕量化設計方法相對簡單易行，原齒輪在設計過程中過分地注重安全性和耐用性，設計思路相對保守，導致齒輪在設計上使用大量冗余設計以確保其可靠性。因此通過結構輕量化相關計算，減小原齒輪中部分結構參數可實現輕量化的目的。

3.1 齒輪齒寬參數模糊化

關于齒輪結構輕量化設計方法有很多種，在齒輪傳動系統輕量化過程中，支撐跨距、齒輪直徑、齒數、模數等參數的優化，都可以實現齒輪輕量化。但是以上的輕量化方法對于齒輪及齒輪組設計修改幅度較大，需要對齒輪箱整體系統重新設計，增加了輕量化的成本和制造難度。為了盡量不改變原齒輪箱及齒輪組結構，只替換相關齒輪即可實現輕量化，對齒輪齒寬參數進行優化是相對簡單有效的方法。

在設計齒輪齒寬時，應滿足相應規格的標準齒寬系數，齒寬系數φa用于表示齒寬的相對值，如：

(10)

式中:a為中心距，mm；b為齒寬，mm。

使用的齒輪箱中的齒輪齒寬設計根據文獻[12]中規定，應滿足開式齒輪齒寬系數φa=0.1～0.3。由于原齒輪設計中采用的是相對保守的設計思路，所以選擇的齒寬系數φa數值較大，即齒寬的參數設計較大。為了證明所取齒輪齒寬參數在一個較小的范圍內時仍能保證系統的可靠性，運用模糊理論將齒輪齒寬參數模糊化。由于所用的齒輪齒寬輕量化模型考慮了大量在小樣本數據下存在的不確定性影響，在齒寬參數模糊化模型建立的過程中更適用于三角模糊數，且三角模糊數更適用于解決質量管理、決策與模糊規劃的一類模型。故定義齒寬參數為三角模糊數，建立一般類系統部件的模型隸屬函數[13]：

(11)

式中：a、m、b分別為某一模糊變量的最小可能值、最可能值和最大可能值，(a,m,b)構成三角模糊數，其圖形表達如圖7所示。

圖7 三角模糊數的隸屬函數Fig.7 Membership function of triangular fuzzy numbers

本文主要解決齒輪的輕量化問題，為了減少不必要的計算，只需考慮模糊集中小于等于最可能值的情況，即x≤m時。構造關于齒輪齒寬的模糊集可表示為b=(1.00～10.00)mm。

3.2 利用確信可靠度的輕量化計算

將得出的齒輪齒寬模糊集代入式(5)中，將計算得出結果繪制成如圖8所示的齒寬的模糊確信可靠度曲線。

圖8 齒寬的模糊確信可靠度曲線Fig.8 Fuzzy belief reliability curve of tooth width

根據圖8可以看出確信可靠度RB隨著齒寬b的逐漸增加而增加，但增長趨勢逐漸放緩最后在齒寬10.00 mm時逐漸趨近于1，說明齒寬越寬齒輪的可靠性越高。但是過高的可靠度對于整個齒輪箱系統而言，此部分的可靠性功能超出了系統整體的預期壽命[14]，所以可適當減小齒寬以換取齒輪的輕量化。

以RB=0.950 0為預期的可靠度期望，模糊確信可靠度參數計算的結果所得見表3，此時的齒寬b≈6.56 mm，同時為了滿足工業化制造加工需求，齒寬取整數7.00 mm，此時的確信可靠度RB=0.967 1，符合本系統的預期可靠度期望，并且符合輕量化的目的。

表3 模糊確信可靠度參數

4 結論

本文利用確信可靠度評估方法對齒輪的可靠性進行評估。引入性能裕量參數指標，建立基于齒輪彎曲疲勞的性能裕量模型。對某型城軌車齒輪箱中齒輪齒根彎曲疲勞強度進行可靠性預測，計算出列車在運行的工況條件下齒輪齒根彎曲疲勞強度的確信可靠度，并對其可行的輕量化設計方法進行分析，在便于修改的情況下，對現有齒輪箱中傳動齒輪的齒寬進行優化。同時引入模糊理論，計算得出齒寬的模糊確信可靠度曲線，計算出符合設計預期的齒輪齒寬參數，實現齒輪的輕量化設計。

計算結果表明，當齒寬縮減為7.00 mm時，齒輪箱系統在保證基本可靠性功能的情況下，齒輪的體積和質量減少了約30%。

研究對齒輪的輕量化設計提供了一種新的設計思路，不僅節約了部分車底寶貴的空間，降低了齒輪的制造成本，減少鋼鐵資源的浪費，并且可以以此為例推廣到更多的輕量化設計工程中，具有較強的實用價值。