材料力學應力狀態與線性代數知識點的交叉教學研究

馬馳騁 周繼磊 許英姿 王延遐

摘 要 通過將材料力學理論與線性代數課程交叉教學，建立兩門課程間的知識聯系。以材料力學中的應力分析章節為具體依托，探討了兩門課程中的知識點交叉，強化了學生對材料力學中主應力的理解，又賦予線性代數中特征值和特征向量以物理意義，最終達到提升教學效果和激發學生創新性思維的目的。

關鍵詞 材料力學 線性代數 交叉 主應力 特征值

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.10.036

Abstract Through the cross teaching of mechanics of materials and linear algebra， the knowledge connection between the two courses is established. Based on the chapter of stress analysis in mechanics of materials， this paper discusses the intersection of knowledge points in the two courses， strengthens students' understanding of principal stress in mechanics of materials， and endows eigenvalues and eigenvectors in linear algebra with physical meaning， so as to improve teaching effect and stimulate students' innovative thinking.

Keywords material mechanics; linear algebra; cross; principal stress; characteristic value

0 引言

力學的相關課程是與數學聯系最為緊密的課程，力學同時也是連接工程的主要橋梁。相對于其他課程而言，材料力學的知識點龐雜，新概念新名詞多。例如彈性模量、泊松比、應力、應變、壓桿失穩等名詞都是學生首次接觸。如何將各類力學概念直觀地表達出來，讓學生易于接受是目前材料力學教學中的一個挑戰?；玖W概念的不清晰對知識點的學習和力學公式的應用都會帶來影響。例如材料力學應力狀態分析章節的學習，[1，2]對大多數同學來說是一個難點。這一章以純粹的力學模型——應力單元體為研究對象，通過數學推導建立任意方向面上的應力計算公式，并推廣出主應力等概念。復雜煩瑣的公式推導造成學生學習興趣不高而且教學效果差。

線性代數課程也存在同樣的問題，大量的新名詞如行列式、矩陣、秩……讓學生在學習過程中缺乏現實生活的對照，導致學生的學習興趣和學習主動性低。雖然同學們對線性代數中特征值和特征向量等概念已經有了清楚的認識。[3]但是由于學習過程中，沒有明確的分析對象，學生對這些基本概念感到非常困惑，因此教學效率相對較低。

與線性代數課程相關知識點的交叉，是筆者所在的教學部的一個重要改革方向。本論文依托材料力學中主應力和線性代數中特征值的對應關系，介紹了這兩門課程中的交叉教學，在工程力學、材料力學的學習中，回顧線性代數的知識交叉，深化學生對力學知識和數學知識的理解。[4-5]首先介紹了材料力學的教學難點及與線性代數的交叉教學意義，然后建立了材料力學中任意截面上應力計算與線性代數中坐標變換的關系，分析了主應力/主應力方位與特征值/特征向量的對應關系，最后通過兩個教學案例給出了詳細的說明。

1 交叉知識點

浙江大學劉鴻文教授的《材料力學》中應力狀態分析安排在第7章，位于基本變形和組合變形章節中間，而哈爾濱工業大學的張少實教授的《新編材料力學》將應力狀態分析放在了緒論之后?？梢姂顟B分析這一章的內容既可以是求解工具（劉版），也能是提綱挈領的點睛之筆（張版）。倘若開展材料力學和線性代數的交叉教學，筆者建議采用張老師的新編材料力學教材。下面我們著重介紹在相關的教學實踐中建設的材料力學-線性代數交叉教學設計。

1.1 任意截面上應力計算與坐標變換

實驗發現，鑄鐵的壓縮破壞發生在與橫截面成45？55凹薪塹男苯孛嬪希吶ぷ蘋搗⑸謨牒嶠孛娉？5凹薪塹穆菪孛嬪稀T謚嵯蚶貢湫魏團ぷ湫蔚難爸校嵯蚶貢湫沃瀉嶠孛嬪險αψ畬螅ぷ湫沃瀉嶠孛孀鍆獠嗟那杏αψ畬螅吞幾值鈉蘋悼梢緣玫嚼礪弁昝賴慕饈汀N裁粗難顧跗蘋島團ぷ蘋刀際欠⑸諦苯孛嬪夏兀？

展開公式（4）可以直接得到公式（1-3）。需要注意的是，材料力學中切應力有正負，但是寫成矩陣的形式應該遵循彈性力學的原則，即矩陣是對稱的。

1.2 主應力/主應力方位與特征值/特征向量

通過公式（2）可以計算應力的極值和對應的 角度，具體推導可以參考劉鴻文老師的材料力學。在學習中，學生往往通過機械記憶的方法將這幾組公式記在腦海中，然后在考試中生搬硬套，極少有學生能夠自己按照靜力學平衡的思路推導建立這幾組公式。我們在這里直接給出最大應力和最小應力的表達式：

對比公式（5）和公式（9），可以發現兩者結果是完全一致的，而特征向量和截面的方位角恰好也是對應的，說明材料力學和線性代數的這幾個知識點完全可以交叉。并且在上課的過程中，教師可以利用MATLAB中“ [V，D] =eig（A）”演示，[7]其中V和D分別表示特征向量和特征值。既能夠促進學生對相關知識點的理解和掌握，還可以強化計算機輔助教學，讓學生“學有所用，用有所依”，而不是僅僅被灌輸干澀的知識。

2 材料力學與線性代數的交叉教學案例

利用線性代數知識分析這個問題，將應力寫成矩陣形式：

根據線性代數的知識，可以得到上述矩陣的特征向量和特征值為 1=320.71MPa和 2=179.29MPa，即應力張量矩陣的特征恰好是主應力。特征向量可以計算得到：e1=[-0.9239，0.3827]和e2=[-0.3827， -0.9239]。最大正應力沿著與垂直的方向，最小正應力沿著與e2的方向，因為兩個特征值都大于零，因此都沿著截面法線向外。

綜上所述，材料力學中的主單元體就是通過坐標轉換，把應力單元體旋轉到一個特定的角度，恰好上面只有對角線的應力，即正應力，這個正應力對應著矩陣的特征值，而特定的角度對應著矩陣的特征向量。

3 結論

交叉課程內容，擴展課程背景，是目前教學改革和課程建設的一個重要方向。本文針對材料力學和線性代數的兩門課程的知識點交叉教學展開了探討，建立了材料力學和線性代數知識點之間的聯系，凝練了相應的教學案例，具有重要的理論實踐意義。在材料力學應力狀態的學習階段，針對主應力，主應力的方位聯系線性代數中的特征值和特征向量，并利用線性代數中的坐標變換解釋了材料力學中任意方向上的應力計算。通過兩門課程知識的交叉，對同學們理解這些數學定義和力學物理概念有重要的意義。經過多年的教學實踐，發現兩門課程的知識交叉講解，可以有效地提高學生的學習興趣，著重鍛煉了學生利用材料力學和線性代數解決工程問題的能力。也期望本文介紹的知識交叉能夠拋磚引玉，促進“材料力學”課程教學的部分內容的教學變革探索和實踐。

基金項目：國家自然科學基金青年基金，柔性多體時變參數系統振動主被動控制技術（11702162），教育部高教司2018年第一批產學合作協同育人項目，彎曲梁正應力電測實驗可視化技術研究（201801098024），材料力學實驗教學有限元輔助資源建設（201801098005）

參考文獻

[1] 劉鴻文.材料力學.I.[M].高等教育出版社，2017.

[2] 張少實，王春香.新編材料力學[M].機械工業出版社，2013.

[3] 劉三陽，馬建榮，楊國平.線性代數（第二版）[M].高等教育出版社，2005.

[4] 郭空明，徐亞蘭，朱應敏.線性代數線性方程組教學中的一個實用力學案例[J].教育教學論，2020（09）：266-267.

[5] 郭空明，章云，徐亞蘭.對高校工程力學課程的多方位思考[J].教育教學論壇，2016（37）：195-196.

[6] 劉建林.工程力學中的張量分析[M].科學出版社，2018.

[7] 周建興.MATLAB從入門到精通[M].人民郵電出版社，2008.