厘清等量關系 直擊方程本質

劉晶

[摘 要]“等式與方程”一課中學生初次經歷從算術思維向代數思維過渡，開始認識方程。首先聯系舊知和天平圖，引導學生認識“等式”“不等式”和“方程”;其次通過列方程，厘清等量關系;最后要知道不同的等量關系對應不同的方程，因而方程具有多樣性，需要合理選擇。

[關鍵詞]等式與方程;等量關系;方程本質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0068-03

【教學內容】蘇教版小學數學教材五年級下冊第1、2頁，練習一第1、2題。

【教學目標】

1.使學生在具體的情境中理解方程的含義，初步認識等式與方程的關系。

2.使學生在觀察、描述、分類、抽象、概括的過程中，經歷將現實問題抽象成式子與方程的過程，能依據等量關系列方程，體會方程是刻畫現實世界的數學模型，感悟方程思想。

3.使學生在積極參與數學活動的過程中，感受探索樂趣，獲得成功體驗，增強學好數學的信心。

【教學重點】初步理解等式和方程的意義，能判斷哪些是等式，哪些是方程。

【教學難點】理解等式與方程之間的關系，能依據具體情境中的等量關系列方程，感受方程的多樣性，學會合理選擇。

【教學準備】課件、探究單、學習單。

【教學過程】

一、依托情境——認識等式與不等式

1.由天平圖列式子

師（出示天平）：生活中有這樣的測量工具，誰能說說對它的了解？

師：根據①號天平圖，你可以列什么式子？

生1：50=50。

師：②號天平圖呢？

生2：50+50=100。

師：③號天平圖呢？

生3：100+50<300。

生4：100+50+x=300。

師：仔細觀察，這幾幅圖有何不同？

師：拿出探究單，先自己寫一寫，再和同桌交流。

【設計意圖：課始，借助天平平衡、不平衡的直觀情境讓學生體會等式和不等式的含義，貼合學生的認知特點，引導學生建構對左右相等和等式的理解，為由算式思維過渡到代數思維做好鋪墊。】

2.給式子分類

師：我們為天平圖列出了式子，接下來要干嗎？

生1：把這些式子分類整理。

師：既然要分類就要有標準。你們想按什么標準分類？

生2：按式子左右是否相等來分類。

師：像這些左右兩邊相等的式子，數學家給它們起了一個名字，叫等式。這些等式還能繼續分類嗎？

生3：還可分為含有未知數的等式及不含未知數的等式。

【設計意圖：最后一組天平圖的列式中出現了未知數，未知數是方程的基本要素，因學生學習過用字母表示未知數，這里選擇放手讓學生進行研究，為學生直擊方程的本質埋下了伏筆。】

二、主動探究——直擊方程本質

1.認識方程

師：數學上，把含有未知數的等式叫作方程。方程到底長什么樣子呢？

生1：要有未知數，還要是等式。

師：方程就是將未知數和已知數聯系起來列出的等式。

2.辨一辨

師：①～⑥哪些是等式，哪些是方程？

① 135+65=200? ? ? ?② 2x+5=30? ? ? ③ 78-4a<10

④ n-136? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤ x-y=50? ? ? ? ?⑥ 6+（? ?）=14

師：“6+（? ?）=14”是不是方程呢？（? ?）表示什么？

生1：是。表示未知數。

師：（? ?）可以表示未知數。還可以用什么來表示這個未知數？

生2：6+？=14， 6+□=14 ，6+x=14……

師：無論用哪種形式來表示，它都是代表未知數。

師：你覺得哪種表示形式更簡潔方便呢？

【設計意圖：增加含有兩個未知數的式子，意在強調只要含有未知數，并且是等式的就是方程，不限于含有幾個未知數;呈現學生在一年級接觸過的含有未知數的等式（那時未知數用（? ）表示），接著讓學生嘗試用自己喜歡的符號表示未知數，由此認識到未知數可以有不同的表達形式，再次凸顯方程的本質，有利于學生內化方程的概念。】

3.等式與方程的關系

師：如果用一個圈表示方程，用另一個圈表示等式，這兩個圈有什么關系？

（讓學生圈一圈）

【設計意圖：讓學生嘗試畫集合圈，展示等式與方程之間的關系。學生完成得很好。形象的結構化板書，加深了學生對等式與方程二者關系的理解。】

4.由線段圖列式子

師：請根據下列線段圖列方程。

[ ][x][22][84]

生1：x+22=84。

生2：84-x=22。

生3：84-22=x。

師：有什么想說的嗎？

生4：“84-22”可以通過計算知道答案，不需要用未知數來表示。

師：一幅圖為什么可以列出幾個不同的方程呢？

師：依據題中的等量關系列方程，可以列出幾個不同的方程，但并不是每個都是合適的，還要進行合理選擇。

【設計意圖：適時追問有助于激發學生的潛能，激活學生的思維，使思考更深入。教師不回避“84-22=x”這樣的式子，而是讓學生知道可以用算術的方法算出“84-22”的答案，因此不必用未知數來代表已知數。可見，需要對方程進行合理選擇。如此，層層鋪墊，環環相扣，原本很難解釋清楚的內容清晰剖開了。】

三、聯系生活——感受方程價值

1.基于情境，列出方程

師：列方程要依據等量關系。下列情境圖中，有哪些等量關系？

優惠：112元

現價：988元][爸爸比小明高21厘米。][x cm][175 cm][21 cm]

師：請選擇合適的等量關系列方程。

【設計意圖：對教材練習一的第2題進行適當改編，選取學生更熟悉的生活情境，讓他們從中找等量關系，列出合理的方程。這里學生深刻地體會到列方程的依據及合理的含義，體會到方程的價值，感受到數學模型思想。】

2.自選形式，表達方程

師：現在給你一個方程，你能圍繞它自創形式，豐富這個方程嗎？

師：雖然表達形式不同，但只要等量關系相同，就可以用同一個方程來表示。

【設計意圖：《義務教育數學課程標準（2011年版）》倡導“模型思想”，指出模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。數學學習過程就是建立數學模型的過程。在學生學會根據情境圖列出方程后，教師給出一個方程，鼓勵學生用多種形式去表達，盡量直觀呈現每個人對方程的理解。個性化且多元化的教學方式，讓學生獲得對數學模型思想的深刻感悟。】

四、總結延伸——梳理知識框架

[等式與方程][未知數][已知數][已知數][等量關系][合理選擇][多樣][依據][方程][不等式][等式][不含未知數][含有未知數][左右相等][左右不等][式子][50=50

50+50=100

…][x+50=150

2x=200

…][100+50<300

x+50>100

x+50<200

…

]

師：等式和不等式又統稱為式子，而方程是這個大家族中的一部分，是將未知數和已知數聯系起來的等式。

師：隨著學習的深入，大家今后還會見到這樣的方程：A=X+Y+Z，這個方程是什么意思呢？（成功=勤奮工作+正確方法+少說空話）

【設計意圖：備課時，了解初一數學教材中方程部分的內容，提前做好小學和初中數學的知識銜接，并借助愛因斯坦提出的“方程”進行拓展，以免學生形成思維定式，認為方程必須要含有已知數和未知數。這里展現了數學知識結構的聯系性。教師關聯地教，學生互動地學，教學相長，真正提升學生的數學核心素養。】

【教學反思】

數學知識之間有千絲萬縷的聯系，教師應引導學生深入了解每個知識點的定位，了解其“源”與“流”，在發現中不斷思考，讓思維向更深處漫溯。

分類是重要的數學思想。課程標準指出：“教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準。”教學活動中，學生結合天平的兩種狀態，很自然地想到按照左右相等與左右不等這一分類標準進行分類。于是，教師引導學生進一步將等式按含有未知數和不含未知數進行分類。學會分類，有助于學生學習新知，提高分析和解決問題的能力，為下一步的歸納做好準備。

可見，方程是一種關系，它的特征是等式關系，即根據已知條件和所要求的問題建立等式關系。張奠宙教授認為，方程的本質是為了求未知數而在已知數和未知數之間建立的一種等式關系。教學中要緊扣兩個關鍵點，即“已知數和未知數”和“等式關系”，揭示方程定義，讓學生的思維從算式思維上升到代數思維，加深學生對方程意義的理解。

（責編 羅 艷）