“有益”的錯誤 學生的再“生長”

王俊玲

[摘 要]小學生受認知發展水平和生活經驗缺乏的影響，在解決問題時容易出錯，但有些錯誤是有一定思維價值且帶有普遍性的，教師應該有效利用這些錯誤資源，引領學生深度學習，發展數學思考，提高核心素養，錘煉學習品格，促進學生健康成長。

[關鍵詞]有益錯誤;思維生長;數學思考;資源

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0092-02

數學是一門邏輯性和應用性都比較強的學科，小學生受認知發展水平較低和生活經驗缺乏的影響，在解決問題時容易出錯，但有些錯誤是有一定思維價值且帶有普遍性的，這些錯誤是“有益”的錯誤。作為教師，應該把這些“有益”的錯誤看成學生在學習過程中的嘗試和探索，把這種錯誤當作資源，讓這種錯誤成為促進學生成長的新生長點。

一、包容“有益”錯誤，改變學生認知

進入高年級后，有些學生越來越害怕數學，究其原因是學生擔心在學習過程中出現錯誤，對于錯誤他們更多的是從負面的角度來看待，因而對數學學習失去了信心。要改變這種狀況，關鍵在于教師要允許學生出錯，要把一些有思維價值的錯誤當作資源，引導學生再學習。

【例1】教學“因數和倍數”時有這樣一題：把一張長18厘米、寬12厘米的長方形紙，剪成同樣大小面積盡可能大的正方形，且沒有剩余，可以剪多少個？

這題正確的解題思路是先求出剪出的正方形的邊長，再求能剪多少個。交流時有位學生認為18和12的最大公因數6就是剪得的正方形的個數。我沒有批評這位學生，而是豎起大拇指夸她有敢于和同學交流的勇氣。這個“有益”的錯誤為學生的深入思考創造了條件，通過畫圖（如圖1）分析，我帶領學生找出了此解法錯誤的原因以及解決該問題的辦法。

教學中教師包容學生出現的錯誤，讓學生知道自己是可以出錯的。通過分析這些“有益”的錯誤，提醒學生在解決問題時需要注意些什么、哪些地方容易出錯、怎樣才能避免出錯等，使學生真正理解和掌握所學知識。長此以往，學生就會改變對錯誤的認知，并敢于面對自己的錯誤、改正錯誤，增強學好數學的信心。

二、重塑“有益”錯誤，理解所學知識

當學生能夠勇敢地面對自己錯誤時，教師應該鼓勵學生重塑“有益”的錯誤，分析錯誤原因。教師可以用類似“你的錯誤是什么？”“是什么原因導致的？”“今后如何避免？”“從中你學到了什么？”等話語引導學生。剛開始學生可能只能說出一些表面的、淺顯的錯誤原因，諸如沒看清題目、計算錯誤等，對此教師可以采取師生對話、同伴互助等形式幫助學生找出真正的錯因，然后鼓勵學生將“有益”的錯誤和全班同學分享，時間久了學生就會自覺地重塑自己“有益”的錯誤。

【例2】學習蘇教版六年級下冊“圓柱和圓錐”之后，有位學生在易錯題本上記錄了這樣一題：如圖2所示，陰影部分材料可以做成一個圓柱，求這個圓柱的體積。

這位學生這樣分析自己的錯誤：“我不理解12.56分米這個數量表示的意思，認為題中給出的條件不夠，所以不能解答。通過和同學的交流我才明白，12.56分米是圓柱的底面周長，已知底面周長就可以求出圓柱的半徑，從圖中還可以直接看出圓柱的高是直徑的2倍，有了底面半徑和高，就能求出圓柱的體積了。我出錯的原因是沒有理解好圓柱側面積的推導過程。為此，在同學的幫助下，我再次體驗到把圓柱側面沿著高剪開可以得到一個長方形，這個長方形的長就是圓柱的底面周長，寬是圓柱的高，加深了對圓柱的側面積的理解。”

實踐證明：重塑“有益”的錯誤，可以幫助學生更好地把握題目的來龍去脈，深刻理解所學知識，提高解決實際問題的能力。

三、對比“有益”錯誤，建構知識聯系

當學生已經會分析自己“有益”的錯誤，知道如何避免這樣的錯誤時，他們腦海中的知識點還是零散的，只是知道類似的題目怎樣做，但當遇到相似的題目時他們還是會受思維定式的影響再次出錯。

例如，因為做過例2中的題目，所以學生在解決“如圖3所示，陰影部分材料可以做成一個圓柱，求這個圓柱的體積”這個問題時，思維定式地將16.56分米當作圓柱的底面周長。為此我把這兩題放在一起（如圖4），讓學生對比、分析，找出它們的相同點和不同點。

生1：這兩題都與圓柱側面有關，圓柱側面可以轉化成長方形，這個長方形的長就是圓柱的底面周長，寬就是圓柱的高。

生2：解題時我們必須明確題中的條件和問題，理解每個數量表示的意思。如圖4左圖中的12.56分米表示圓柱的底面周長，即πd=12.56（分米）;而圖4右圖中的16.56分米則表示圓柱的底面周長再加上1個直徑，即πd+d=16.56（分米）。

生3：生2說的就是我們解決問題時最容易出錯的地方。

生4：已知條件不同，求圓柱底面半徑的方法就不同。

生5：我能設計一個相似的題目（如圖5所示），并說明25.7分米是圓柱的底面周長加上2個直徑的長，即πd+2d=25.7（分米）。

作為教師要及時將容易混淆、容易出錯的題目進行歸納，引導學生對比、分析，溝通知識間的聯系，完善認知結構，在這過程中有時還會萌發創新思維的種子。

四、編寫“有益”錯誤，發展數學思考

教師及時利用“有益”的錯誤，不僅能助推課堂教學，提高教學效率，還能培養學生學習興趣，增強他們學習的主動性。但只會分析“有益”的錯誤還不夠，教學中教師要鼓勵、引導學生嘗試編寫“有益”的錯誤，發展學生思維。

【例3】教學“圓柱和圓柱”時有這樣一題：如圖6所示，一個圓柱的高是8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面積將增加25.12平方厘米，求原來圓柱的體積。

有位學生是這樣編寫錯誤答案的：“圓柱半徑為25.12÷3.14÷2=4（厘米），V=πr2h=π×4×4×8=128π。”雖然他沒有用文字說明錯誤原因，但根據圖示和他算式中體現的數量關系也能說明為什么會產生這一錯誤，即錯把25.12平方厘米看成圓柱的底面周長，這種錯誤是大多數學生的通病。

在此基礎上我組織學生分析、討論，學生不僅找出了錯誤的原因，還主動展示和說明正確的解題思路：圓柱增加的表面為展開圖是長方形的側面，已知長方形的面積和寬，就可以先求出它的長，也就是圓柱的底面周長，然后再計算圓柱的體積，解題過程如圖7所示。

換一種方式對待“有益”的錯誤，讓學生經歷編寫“有益”錯誤的過程，預測可能出現的錯誤，主動分析、自我糾正，既發展數學思考，又提升學習能力。

五、反思“有益”錯誤，促進學生成長

數學學習并非一蹴而就，需要不斷地反思才能獲得體驗、積累經驗。教師要善于利用多種形式（如自我反思、同伴互助等）引導學生進行反思。

【例4】教學“圓柱和圓柱”時有這樣一題：將一個圓錐形零件完全浸沒在底面直徑是30厘米的圓柱形玻璃水缸里，這時水面上升4厘米。這個圓錐形零件的體積是多少立方厘米？

生1：這題是求圓錐的體積，所以我想到了圓錐的體積計算公式，然后在題目中找公式需要的條件，直徑30厘米，高4厘米，很快就完成了。半徑為30÷2=15（厘米），體積為V=[13πr2h=13×π×15×15×4=300π]（立方厘米）。小組交流時同桌問我：“圓錐形零件的直徑是30厘米、高是4厘米嗎？”聽到這個問題我回過頭再仔細閱讀題目，發現自己錯了。圓錐形零件的體積無法直接計算，只能利用圓柱形玻璃缸中水上升這一點來解決。

（組織全班學生交流）

生2：我佩服生1的勇氣，樂于和同學交流，敢于面對自己的錯誤并改正。

生3：解決問題時，要弄清題意，理解數量之間的關系，不能瞎拼湊，還要注意單位的統一。

生4：我發現這題蘊含轉化思想，可以用這種辦法測量不規則石塊的體積。

生5：轉化思想能把復雜問題變成簡單問題，它可以幫助我們解決很多疑難問題。

……

反思學習行為，尤其是對錯題解題過程的反思，可以幫助學生加深理解所學知識，提高自我反思能力，在反思中增強學習自信，堅定學習意志，促進學生思維成長。

心理學家蓋耶說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻。”這也說明，教師準確把握好“最富有成效的學習時刻”，有效利用“有益”的錯誤資源，能更好地引領學生深度學習，深刻理解所學知識，完善知識建構，發展數學思考，提高核心素養，錘煉學習品格。

（責編 楊偲培）