交換還是結(jié)合，需要審慎對待

倪銀萍

[摘 要]教學(xué)加法和乘法交換律時(shí)，教師極易混淆分不清，究其原因是沒有區(qū)分“廣義的交換律”與“狹義的交換律”，同時(shí)講深了怕學(xué)生接受不了，講淺了又怕講不透徹，這就需要教師在顧及數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的同時(shí)，還要兼顧學(xué)生的接受能力。

[關(guān)鍵詞]交換律;結(jié)合律;廣義; 狹義

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0035-02

對于加法（乘法）交換律，筆者一直認(rèn)為就是交換幾個(gè)加數(shù)（因數(shù)）的位置，只要結(jié)果不變，就是加法（乘法）交換律。但其實(shí)沒有這么簡單。“a+b+c=a+c+b”應(yīng)用了哪種運(yùn)算律？對于小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，這個(gè)問題不值一提，而恰恰就是這樣一個(gè)小問題卻引發(fā)了筆者的深思。

一、從唇舌之爭到網(wǎng)絡(luò)論戰(zhàn)，莫衷一是

在集體備課人教版教材第八冊第三章“運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算”時(shí)，一教師突然詢問：“a+b+c=a+c+b運(yùn)用了哪種運(yùn)算律？”當(dāng)時(shí)筆者脫口而出：“只是調(diào)換了后兩個(gè)加數(shù)的位置，當(dāng)然是加法交換律。”筆者年紀(jì)輕見識淺，認(rèn)為這個(gè)問題根本就是麻繩穿豆腐——不值一提，何況，打從讀書起一代代都是這么教的，而自己從教十?dāng)?shù)年，也覺得這么教沒有什么不妥。“通過位置和順序的改變來辨別采用的是交換律還是結(jié)合律。如果只有位置發(fā)生顛倒，運(yùn)算順序維持原樣，則屬于交換律范疇;如果各數(shù)字的位置維持不變，但是運(yùn)算順序卻發(fā)生改變，則屬于結(jié)合律范疇;如果數(shù)字位置和運(yùn)算順序同時(shí)改變，則兩種運(yùn)算律兼而有之。”筆者直抒胸臆。不料這卻引起了軒然大波，不少教師提出異議，多數(shù)人支持兩種運(yùn)算律并用的觀點(diǎn)，他們的論據(jù)是交換位置就是為了促成運(yùn)算順序的改變，終極目標(biāo)是為了結(jié)合，因此結(jié)合律必然在內(nèi)，交換位置后，就勢必要先算前兩個(gè)加數(shù)的和，這就是運(yùn)用結(jié)合律的明證。而筆者則認(rèn)為該理由不夠充足。交換了位置后，先算前兩個(gè)加數(shù)的和實(shí)屬順理成章，沒有刻意為改變運(yùn)算順序做調(diào)整，也就是沒有結(jié)合律參與其中。筆者認(rèn)為，只有當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)相加，在不改變加數(shù)位置而又改變運(yùn)算順序時(shí)，才能算得上運(yùn)用了加法結(jié)合律。于是筆者反問：“交換律難道就只能存在于兩個(gè)加數(shù)的加法里？”他們避而不答。對于這個(gè)問題，同年級組的教師迅速分成兩派：一是只運(yùn)用了加法交換律，二是加法交換律和結(jié)合律兼有。雙方各執(zhí)一詞，不肯相讓，最后這個(gè)問題一直懸而未決。于是，我們求助于無所不知的互聯(lián)網(wǎng)，但各種回帖眾說紛紜，沒有足以采信的權(quán)威結(jié)論。后來雙方各退一步，取得最大“公約數(shù)”：只要學(xué)生會用運(yùn)算律簡算，不必拘泥于用的是什么定律，再說這不是考點(diǎn)，不必自尋煩惱。但筆者就是蠻勁發(fā)作，想一探乾坤。

二、多方求教，拜讀教參，幡然醒悟

為了釋疑，筆者求教一位有著30年教齡的資深特級教師。他的答復(fù)是兩種運(yùn)算律都用了，理由是加法交換律只存在于兩個(gè)數(shù)相加的加法中。要想單獨(dú)交換a+b+c中后兩個(gè)加數(shù)的位置，只能將后兩個(gè)加數(shù)先行結(jié)合起來，再交換位置。對于前輩的解釋，筆者還是將信將疑、持保留意見。帶著種種猜疑，筆者再次研讀了教參有關(guān)例3的詳解：

“必須指出的是，在例3的計(jì)算過程中：115+132+118+85=115+85+132+118，把加數(shù)85挪至加數(shù)132的前面，嚴(yán)格說來，交換律和結(jié)合律都有用到。因?yàn)檫@里將132+118視為一個(gè)整體，之所以可以把85與（132+118）作整體交換，是因?yàn)橛屑臃ńY(jié)合律做后盾。即115+132+118+85=115+[（132+118）+85]重復(fù)使用了加法結(jié)合律，“=115+[85+（132+118）]”則用了加法交換律。”

筆者認(rèn)真拜讀，并反復(fù)推敲第一個(gè)算式，何以是重復(fù)使用結(jié)合律呢？苦思良久，終于開悟：a+b+c+d=a+[（b+c）+d]，先要將b、c結(jié)合起來，用到了一次加法結(jié)合律，而要想交換已經(jīng)成為結(jié)合體的（b+c）與加數(shù)d的位置，必須要將這兩部分外層結(jié)合，才能為交換位置做好準(zhǔn)備，即二次使用了加法結(jié)合律。這就明明白白告訴我們：要想交換第二和第三個(gè)加數(shù)的位置，就一定要先將它們結(jié)合起來，進(jìn)行“組團(tuán)”，然后才能團(tuán)體交換。如此看來，所謂的加法交換律確實(shí)是兩個(gè)加數(shù)加法的專利。筆者多年來竟然一直犯錯(cuò)而不自知，而從教以來又沒有真正沉下心去精研這個(gè)問題，通過再讀教參，才幡然醒悟。

三、再讀資料，溫故知新，有了新方向

前輩治學(xué)極為嚴(yán)謹(jǐn)，他向我推介一篇文章，文中對“交換律和結(jié)合律”進(jìn)行了鞭辟入里的分析，筆者認(rèn)真拜讀后如醍醐灌頂。

文章高屋建瓴，深入剖析了這個(gè)問題。“事實(shí)上，乘法交換律針對兩個(gè)數(shù)求積，兩個(gè)以上的數(shù)相乘要使用交換律，它的依據(jù)是‘廣義的乘法交換律。在《近世代數(shù)基礎(chǔ)》中對于‘廣義的乘法交換律的解釋是：如果集合A的代數(shù)運(yùn)算‘·兼?zhèn)浣Y(jié)合律與交換律，那么在[a1]·[a2]·[a3]·[a4]·[a5]·[an]…中乘數(shù)的順序可以隨意調(diào)換，而乘積不變。例如，假設(shè)a、b、c是集合A的三個(gè)元素，因集合兼具交換、結(jié)合律，所以，六個(gè)表達(dá)式a·b·c，a·c·b，b·a·c，b·c·a，c·a·b，c·b·a的值都是唯一確定的。我們舉證其一來理解。求證：a·b·c=a·c·b。證明：a·b·c=a·（b·c）用了乘法結(jié)合律（加括號改變運(yùn)算順序），‘=a·（c·b）用了乘法交換律（括號內(nèi)部兩個(gè)交換），‘=（a·c）b再次運(yùn)用乘法結(jié)合律（換括號改變運(yùn)算順序），‘=a·c·b運(yùn)用了括號的用途和性質(zhì)。”研讀以上論述后，回答“125×17×8=125×8×17運(yùn)用了什么定律”時(shí)，就可以確信交換律和結(jié)合律兼而有之，即廣義的乘法交換定律。當(dāng)然，加法的交換律和結(jié)合律一脈相承、同根同源，而小學(xué)教科書中沒有涉及“廣義的乘法交換定律”這一概念，因此，教師將“廣義的乘法交換定律”與“乘法交換律”混為一談實(shí)屬正常。

這個(gè)問題解決了，筆者又想起另一個(gè)“陳年舊案”。對“a+b+c=a+c+b”這種變形，前輩認(rèn)定只用到加法交換律。筆者也這樣教了十來年，未覺有異。出現(xiàn)這次爭端后，許多教師仍是沒有徹底改變觀點(diǎn)，網(wǎng)上回帖也是各執(zhí)一詞。這究竟是為什么？帶著這些疑問，筆者再次參詳了教參57頁有關(guān)例3教學(xué)的文字，頗感慶幸，雖然筆者沒有接觸什么高深莫測的“廣義的交換律”，但筆者卻陰差陽錯(cuò)地得到了“交換律只屬于兩個(gè)數(shù)的加法”這一結(jié)論。與筆者犯下同樣錯(cuò)誤的教師，也沒有能將“廣義的交換律”與“狹義的交換律”區(qū)別開來。這件事也警示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)，在力求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)，也應(yīng)當(dāng)考慮學(xué)生的可接受性。所有的嚴(yán)謹(jǐn)，都不能與結(jié)論的正確性相沖突，其嚴(yán)謹(jǐn)性應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的接受能力為上限。作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，既要弄清所教知識的背景和理論來源，還要明確所教知識在小學(xué)學(xué)科教學(xué)中的深度定位。只有這樣，才能做到高瞻遠(yuǎn)矚、深入淺出;既保證所教知識的正確性，又不揠苗助長。

看來在日后的教學(xué)中，再簡單的問題都不能輕易放過，這樣才能把握問題本質(zhì)，提升教學(xué)水平。只有不回避，不搪塞，不盲從，直面問題、迎難而上，將解決疑難當(dāng)成進(jìn)步的踏腳石，絕不留下“后患”，才能實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。

（責(zé)編 黃春香）