凸顯本質，讓思維走向通透

鮑善軍 鄭書娟

[摘 要]以“搭配中的學問”教學為例，分析排列與組合概念的內涵與結構，提出并嘗試基于起點，在連接中讓思維更清晰;溝通聯系，在比較中讓思維更深入;動作表征，在遷移中讓思維更全面;類比融通，在建模中讓思維更合理等教學策略，凸顯數學本質，讓學生的學習真實發生，思維走向通透。

[關鍵詞]搭配;思維;邏輯起點;分類;操作

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0029-02

搭配問題其實就是組合問題，在對比溝通中求同存異才能感悟概念本質。因此，組合的教學目標不僅僅定位于找出組合數，更重要的是感悟排列與組合的基本思路和方法，理解二者的聯系與區別。

一、基于起點，在連接中讓思維更清晰

教師要關注學生的學習起點，抓住新舊知識之間的連接點，把新學的知識融入原有的認知結構，進行知識同類化和合理銜接。

1.分析邏輯起點，切準學習要點

本課時的邏輯起點：二年級上冊探索了用非0的3個數字組合成兩位數，而第一課時用4個數字（含0）組成兩位數;學生已掌握固定十位法、固定個位法和調換位置法，且具備有序、全面思考的思維方式和不重復、不遺漏的思維路徑。關于組合知識的前期經驗，其實學生在一年級時就已有所接觸。

2.精準把握學情，明確學習目標

如何精準把握學情，確定學習目標？筆者認為前測是行之有效的方法（前測題如下圖所示）。

學生的前測結果主要有三類表征方式：文字、圖形、符號。學生普遍采用固定上裝法或固定下裝法。

二、溝通聯系，在比較中讓思維更深入

習題之間的對比、溝通、聯系是問題信息傳遞、加工、整合的思維活動。在新課環節借助分析前測作品，暴露學生的思考過程，梳理有序經驗。

【片段一】分類比較，感悟搭配問題

師：觀察這兩幅作品，你有什么想說的？

生1：都是用文字寫出了搭配的方法。

生2：①號作品寫得不完整，而②號作品把6種方法都寫出來了。

師：我們再來聽聽③號和④號作品作者的想法。

生3（③號作品作者）：寫字太麻煩了，我用圖來表示，1件上裝可以搭配3件下裝。

生4（④號作品作者）：我也是這么想的，但我用連線的方法，共有6種搭配方法。

生5：雖然他們都是用畫圖的方法，但是很明顯④號作品的表達更完整，而且非常有序！

師：“有序”這個詞特別好！做到有序就會……

生（齊）：不遺漏。（板書：有序、不遺漏）

生6：我覺得畫圖比寫字更費時間，用文字再加連線，一共也是6種方法。

生7：我的方法更簡便。上裝有2件就表示為①和②，下裝有3件表示為A、B、C，然后再連線，就能知道有6種方法，可以用算式2×3=6（種）表示。

師：這些方法有什么相同與不同之處？

生8：表達方式不同。除了①號作品有遺漏，其他5種的結果都是一樣的，都很有順序。

師：這些方法中你最喜歡哪一種？為什么？

生9：⑥號，因為它最簡潔明了！

上教學片段中，比較第一組的兩幅作品，發現②號作品不僅完整而且有序;第二組作品雖然都是用畫圖的方法，但比較一下便可發現④號作品雖然只是加了連線，可明顯比③號更加清晰，一目了然;而第三組作品中雖然兩幅作品看著都很簡單明了，但是通過比較便可發現，⑥號作品比⑤號作品用符號和連線更簡單了，最后同屏溝通6幅作品。如此，通過一次次的溝通聯系，學生就能感受符號的簡潔性、高效性。

三、動作表征，在遷移中讓思維更全面

教師向學生提供充分經歷數學活動的機會，幫助他們在自主探究、合作交流的過程中，真正理解掌握最基本的數學知識與技能、數學思想與方法，從而獲得廣泛的數學活動經驗。

【片段二】動手操作，探究搭配問題

[下裝只能各穿1件。一共有幾種搭配方法？

活動要求：

1.擺一擺：用最簡潔的方法記錄下來。

2.算一算：計算出一共有幾種搭配方法。

3.說一說：同桌互相說一說算式的意思。][有3件上裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ? ?和? ? ? ?， 3件下裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ?和? ? ? 。每次上裝和] [有3件上裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ? ?和? ? ? ?， 3件下裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ?和? ? ? 。每次上裝和]

生10：上裝用①、②、③表示，下裝用④、⑤、⑥表示，然后①分別和④、⑤、⑥搭配，有3種。同理，②分別和④、⑤、⑥搭配，③分別和④、⑤、⑥搭配，這樣一共有9種。（如下左圖）

師：編號的方法很好，誰能在此基礎上改進一下？

生11：上裝和下裝是兩類東西，可以用不同的符號表示。上裝用①、②、③表示，下裝用A、B、C表示。（如上右圖）這樣，一共有3個3，3×3=9（種）。

【片段三】借助表格，探究規律

有幾件上裝就有幾個3

[上裝的件數 1 2 3 4 …… A 搭配的方法 1個3 2個3 3個3 4個3 …… A個3 搭配的種數 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… A×3 ]

有幾件下裝就有幾個3

[下裝的件數 1 2 3 4 …… B 搭配的方法 1個3 2個3 3個3 4個3 …… B個3 搭配的種數 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… B×3 ]

有幾件上裝就有幾個B

[上裝的件數 1 2 3 …… A 搭配的方法 1個B 2個B 3個B …… A個B 搭配的種數 1×B 2×B 3×B …… A×B ]

有幾件下裝就有幾個A

[下裝的件數 1 2 3 …… B 搭配的方法 1個A 2個A 3個A …… B個A 搭配的種數 1×A 2×A 3×A …… B×A ]

學生通過動手操作，以“擺”助思，在“擺”中發現規律。借助表格，從形到數，再從數到算式，理解搭配問題的方法就是思考幾個幾。通過改變某個搭配要素的數量，從而觀察增加幾個幾，進一步加深對搭配問題的理解。通過這種由靜態到動態的表征方式，搭配問題的方法不斷遷移，讓學生的思維更全面。

四、類比融通，在建模中讓思維更合理

有效的變式素材有利于學生掌握數學知識的本質屬性。

【片段四】聯系生活，建構模型

1.早餐中的搭配問題（教材原題，圖略）。

師：下面的早餐有多少種不同的搭配方案呢？

生12：2×4=8（種）。1杯豆漿搭配4種不同的點心，1杯牛奶搭配4種不同點心，相當于有2個4。

生13：1種點心搭配2種不同的飲料，有4種不同點心，就有4個2，4×2=8（種）。

2.走路中的搭配問題（教材改編習題）。? ? ?[家和學校中間有一個公園，從家到公園有4條路線，從公園到學校有3條路線，從家到學校一共有幾條路線呢？]

生14：4+3=7（條）。

生15：應該是4×3=12（條）。

師：你們覺得誰的答案是對的？為什么？

生16：我認為生15的是對的。因為聰聰家到公園有4條路，公園到學校有3條路，所以是4×3=12（條）。

生17：用①、②、③、④分別表示聰聰家到公園的路線，用A、B、C表示公園到學校的3條路線。用線連一連，有12條。

回歸生活情境，進一步加深對搭配問題的理解。吃早餐問題中搭配數量變了，由此可以進一步理解幾個幾的含義。路線問題將搭配要素隱藏在題目信息中，需要學生深入思考、判斷，并感受與之前搭配問題的聯系，從而讓理解更深入，真正做到類比融通。

五、拓展延伸，在深思中讓思維更通透

不同習題表述同一知識點的效果不同，同一習題以不同的方式組織，也會產生不同的效果。

【片段五】拓展延伸，思維提升

[有2件上裝、3件下裝和2雙鞋子。每次上裝和下裝只能各穿1件，鞋子也只能穿1雙，一共有（ ）種穿法。 ]

生18：2件上裝和3件下裝一共可以`搭配6種，增加2雙鞋子，相當于增加了2個6種，所以一共有12種穿法。

從兩類搭配提升到三類，甚至是n類搭配，通過有序連線法將n類物品的搭配問題轉化成兩類物品的搭配問題，幫助學生推導出解決多類搭配問題的模型。這樣的拓展延伸，打破了學生用兩種搭配要素的數量相乘得出搭配總數的思維定式，進一步凸顯了數學本質，使學生的思維在深思中走向通透。

（責編 吳美玲）