怎么圍面積最大

周文紅

[摘 要]對于一些理論比較模糊的題目，課本上沒有總結出明確具體的公式，但是卻通過探究活動讓學生歸納出抽象的規則，如面積最大、周長最小問題，學生只能大概感知到“兩數和一定時，兩數越接近，積越大”和“兩數積一定時，兩數越接近，和越小”，具體解決問題時，卻無法應用公式，這時，運用列表法輔助理解不失為一個好辦法。

[關鍵詞]面積;最大;列表法;鏡面成像

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0027-02

蘇教版教材第十二冊總復習P91中有這樣一道幾何應用題：

用16根1米長的木條靠一堵墻圍一塊長方形菜地，怎樣圍面積最大？小組合作，用16根小棒圍一圍，算一算，把結果填入下表。

如果用24根這樣的木條來圍，怎樣圍面積最大？

在備課時，筆者就感到這一題非常眼熟，作為長期喜歡閱讀教學專業期刊的書迷，筆者馬上想到以前看過討論這道題的文章，于是，迫不及待地翻出，進行深入的對比研究、綜合分析，發現確實已經有人對這個問題做了相當完備的研究，且都提出了非常獨到的觀點。筆者借鑒其中的精華部分，對這一題型的教學進行再構建。

一、新舊觀念的對抗

課上，筆者直接出示“用16根1米長的木條靠一堵墻圍一塊長方形菜地，怎樣圍面積最大？”的問題。學生獨立思考，試圖解答，然而從反饋的情況來看，效果并不理想。多數學生對這道題束手無策，絞盡腦汁也沒有找到一點頭緒，不過值得欣慰的是，有三位學生用拼湊的方法找出了最佳圍法，并算出最大面積，為32平方米。筆者激動地請他們說一說理由，他們卻一個個啞口無言，看來這是“瞎貓碰上死耗子”了。筆者開始犯難：到底該用先前所學的“獨門秘籍”直接解題，還是讓用拼湊法碰巧做對的學生上臺演示他們的“偏方”？學生都目不轉睛地盯著我，卻沒有一個人想到筆者先前所傳授的“秘籍”，這說明筆者的想法超出了學生的接受能力范圍，也超越了他們的理解極限。

在課程改革以前，為了灌輸所謂絕對正確的知識和方法，一些教師總是壓制那些課堂上懷有異議的人，稍有不合就打為反派，認為他們的想法和觀點是荒唐可笑的，是旁門左道，即使有些道理，也是投機取巧，難登大雅之堂。漸漸地，學生變得眾口一詞，那就是老師教的就是標準正統的解法。久而久之，教師漸漸脫離學生，習慣將自己的理解方式強加給學生，學生也懶得動腦筋，只等教師送上現成的結論。這樣一來，師生之間反而達成一種“默契”，大家都不用創新，也不用質疑，學生的批判精神和創造力被一點點磨滅。

教師用成人的觀念，將標準化和最優化的答案“兜售”給學生，學生則甘愿放棄探究發現的機會，熄滅內心探索創造的動機和熱情，將由獨立思考而產生的個性化體驗扼殺在萌芽狀態。隨著課程改革的實施，情形為之一變。教師要充分尊重學生對數學知識的原生態體驗，給予學生最大的自由去實踐操作，使學生從操作活動中充分地建構知識，形成自己的個性化體驗，并幫助學生反思自己的經驗和第一認知，建立正確的數學觀念。思考至此，筆者請這幾位學生上臺展示他們的表格。

生1：

生2：

生3：我也是用列表的方法，只不過我的步驟要少一些。

二、轉化思想，鏡面成像原理

筆者和學生共同研討生3的方法，介紹“折中列表”和“跨越式列表”。此時，幾乎全班都掌握了解題方法，并形成了清晰明朗的解題思路和規范標準的解題策略，而且積累了一定的解題經驗。接下來，筆者讓學生再接再厲，完成“動物卡通小狗”提出的問題。此時所總結的方法只是粗淺的列舉法，也就是最原始的推演法，將所有可能的方案一一列舉出來，然后直觀地比較辨析，看哪一種方案能使面積最大。這時，雖然展示的是學生的原生態思考，但是這種思維是具體的形象思維，還得依賴于實物表象的輔助，沒有形成理性、抽象、具有邏輯性和條理性的高級思維活動，因此，要想幫助學生的思維獲得生長和發展，必須進行適當的抽象處理。于是，筆者引導學生對表格中的數據進行分析，總結規律：只圍三條邊（一邊靠墻）時，當且僅當“長是寬的2倍”，圍成的長方形的面積最大。筆者還趁機向學生介紹用鏡面成像原理來解決問題。鏡面成像原理與轉化思想相似，就是將問題轉化成“沒有圍墻代替邊”的情況：假設沒有圍墻，將圍墻假想成一面平面鏡，根據鏡面成像原理（如圖1），木條的總長度擴大為原來的2倍，由16米變成32米，接下來就先找出周長為32米的長方形面積最大的圍法。長方形菜地的周長為32米，那么周長的一半[C2]=16，因此長+寬=16米，用字母表示是a+b=16。而長方形菜地的面積S=ab，此時根據“兩個數的和一定，兩個數越接近，積越大”（其實是中學的基本不等式[a+b2≥ab]的雛形），推知要使S=ab達到最大值，就要使a=b，因此a=b=16÷2=8（米），所以菜地的面積最大為[S最大=8×8=64]（平方米），此時圍成的圖形為邊長是8米的正方形。此時的正方形是一個實像與虛像的組合體，因此，將“平面鏡”撤下，只剩下一個長為8米（平面鏡外完整保留的一邊），寬為4米（撤去平面鏡后的“半邊”）的長方形（如圖2）。

于是可以總結這種“圍墻代邊”的最大面積圍法：先將總長擴大2倍，然后除以4，求出長方形的長，再將長除以2，求出寬。公式：長方形的長=（總長×2）÷4，長方形的寬=長÷2。

三、列表法策略的可行性

將學生的觀察與思考、探索與發現、體驗與收獲、外顯活動與內隱思維等緊密結合，用自己的方式重構知識，提升思維品質和數學素養。雖然教學過程與預設出入較大，出現許多始料未及的情況，但筆者還是比較贊同《對“都是‘一面墻惹的禍”再思考》這篇文章中的觀點：“對于小學生而言，列表法最現實。”一方面，這道題中，蘇教版教材給出了表格，說明編者的用意也是倡導用列表法解題;另一方面，列表法是蘇教版教材中一種常見的解題策略，在總復習中再次啟用也是對這種策略的一種鞏固與強調。此題用列表法解決符合學生的認知水平和知識基礎，也與編者用意吻合。但在實際教學中，部分教師忽視列表法，認為是“硬湊”，費時低效，對此，筆者不敢茍同。課程標準也明確指出，數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，注意使學生在獲得間接經驗的同時也能夠有機會獲得直接經驗，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習。

只不過對于六年級學生而言，可以對列表法進行優化和升級，就像生3一樣，將表格簡化，引出“折中列表”和“跨越式列表”的思考方法。對于前面所述的理論推算法（鏡面成像法），教師可以在列表法的基礎上適度拓展，至于效果，就看學生的悟性了。教師應明確認識到，拓展“和積最大值定律”的推導法，目的在于對學生進行思想方法的引領，拓寬他們思維的維度，不應硬性要求學生使用。在小學階段，學生能用列表法解決此類問題，已基本達標。教師切莫舍本逐末，舍近求遠！

（責編 吳美玲）