不適定問題的Landweber迭代正則化方法研究

徐 磊，張 虹，高德寶，宋千紅，張彩霞，邵云虹

近年來數學知識不斷深入到諸多領域，而這些領域的發展都體現出了由問題結果反推問題原因，此類問題即為反問題.反問題大部分都具有不適定性，眾多學者發現對于不適定問題可以用正則化理論很好地解決.正則化包括Tikhonov正則化、迭代正則化和elastic?net正則化等.Tikhonov正則化是最著名的正則化方法.迭代正則化方法是Tikhonov正則化的一種很好的替代方法.1951年，LAND?WEBER［1]首次提出利用Landweber迭代法求解線性不適定方程.迭代求解這種方程xk=xk?1+a(y?Txk?1),k∈N.MARTIN等人［2]證明了Landweber迭代法是求解非線性不適定問題的一種穩定方法.對于噪聲水平的擾動數據δ提出了一個停止規則，在適當的條件下產生收斂速率.李中鋒［3]利用Landweber迭代方法研究了含對流項的反向熱傳導問題和Helmholtz方程Cauchy問題.通過數值例子表明所用的方法是穩定可行的.劉霄［4]利用Landweber迭代法解決了分數階反應擴散方程的未知源識別問題、非齊次分數階反應擴散方程的反演初值等不適定問題.并給出了相應的后驗正則化方法.本文主要考慮Landwe?ber迭代正則化方法，研究其方法的收斂性.并利用Landweber迭代方法求解反向熱傳導問題.

1 預備知識

討論線性算子方程的適定性和不適定性，不適定性是指數學問題不滿足Hadamard［5]定義的適定性，即以下性質之一不成立：

①問題的解存在；

②問題的解唯一；

③問題的解連續依賴于定解條件.

考慮不適定線性算子方程

其中：x在某個標準正交基下是稀疏的，A是有界線性算子.事實上，y不能準確得到，而只能得到它的近似觀測值yδ，滿足

稱yδ為帶有噪聲的數據，δ為噪聲水平.式（1）的不適定性意味著解決方案不會僅依賴于數據.因此，它們需要被正則化，以消除解的合理近似.

定義1［6]設A:X→Y是賦范線性空間X到賦范線性空間Y的一個線性算子.方程

是適定的，若A是一個雙射且逆算子A?1:Y→X是連續的.否則稱為不適定的.

定義2［6]若有一族有界線性算子

定義3對任何一個函數f(t)都可以通過某種操作變為另一種對應函數F(w).因此這一函數稱為連續傅里葉變換

稱F(w)是f(t)的象函數，稱f(t)是F(w)的原象函數. |F(w)|為f(t)的振幅譜.得到振幅譜后，將其逆變換，即

稱其為連續傅里葉變換的逆變換.定理1［7]若y∈D(T+)，那么當k→∞時，xk→T*y.若y?D(T+)，那么當k→∞時,→∞.

2 主要內容

2.1 Landweber迭代正則化方法的收斂性

Landweber迭代提供了一個初始值x*，其作用與Tikhonov正則化相同，使用=x*迭代計算進一步的近似，即

在式（2）中的T*前面引入一個參數0＜，進行迭代

這與式（2）乘以a并迭代效果相同.接下來我們考慮Landweber迭代正則化方法的收斂性.

定理2 令y∈R(T)，考慮對于Tx=y的任意解x，如果＞δ，用k表示迭代的終止指數.那么就有證明 我們估計

δ，于是可以證明式（3）

2.2 利用Landweber迭代法解決反向熱傳導問題

考慮一維反向熱傳導方程，即如下問題：

考慮熱方程

首先提出

其測量數據為

并且測量數據的左邊界Ω=[0,1]是絕熱的，即

這里u滿足熱方程，假設對于所有的，可以這樣來處理這個問題，通過取傅里葉變換：對于，用v?表示對t的傅里葉變換［8]

于是可以得到

于是可以令

因此，利用傅里葉反變換，即

可以得到由g確定f形式的解

然而式（5）只在某種合理意義時才有意義，我們考慮利用Landweber迭代正則化法求的近似解，由于且T是自伴算子，則有T*=T，由式（4）可得

方程fT=g可以寫成f=f+T*(g?fT).從而寫出Landweber迭代式

在式（7）中的T*前面引入一個參數0＜a＜即為步長.進行迭代

通過式（6）可得

從而得到

于是利用Landweber迭代法解決了反向熱傳導問題.

3 結語

文章對不適定問題的Landweber迭代正則化方法進行了研究.證明了Landweber迭代正則化方法的收斂性.并且利用Landweber迭代正則化方法求解反向熱傳導問題.