基于指數(shù)分布論域模糊PID的超精密金剛石車床導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)控制*

李兆中 岳曉斌 孫守利 陽 紅

(中國工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900)

超精密金剛石車床(single point diamond turing, SPDT)是超精密加工的重要設(shè)備之一，主要用于加工具有復(fù)雜表面形狀或特殊表面形狀要求的光學(xué)部件。許多國防尖端產(chǎn)品零部件，例如陀螺儀、高精度平面鏡/透鏡、精密儀器以及大功率激光系統(tǒng)中的多種零部件，需要用到超精密金剛石車床加工[1-4]。由于零件的表面形貌和刀具與工件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)直接相關(guān)，因此零部件的高表面精度要求超精密金剛石車床導(dǎo)軌的伺服控制系統(tǒng)具有極高的定位精度、極高的響應(yīng)速度和極小的穩(wěn)態(tài)誤差[5]。

超精密金剛石車床的伺服控制系統(tǒng)采用從里到外依次為電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的三環(huán)控制方案。目前應(yīng)用于超精密金剛石車床的主流控制算法是基于UMAC等運(yùn)動(dòng)控制器的PID控制算法。然而超精密加工存在非線性等時(shí)變因素，這使得傳統(tǒng)的PID控制很難適應(yīng)由運(yùn)動(dòng)位置變化、負(fù)載擾動(dòng)及外界干擾等非線性因素引起的參數(shù)攝動(dòng)及蠕變等，進(jìn)而影響超精密切削加工精度及穩(wěn)定性。針對(duì)這一問題，目前廣泛采用的方法是將模糊控制引入到PID參數(shù)調(diào)節(jié)中[6]。模糊PID控制提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)性，然而模糊PID的控制效果依賴于初始PID參數(shù)的選取和論域的確定，使得應(yīng)用較為復(fù)雜。為了解決上述問題，本文提出了一種論域范圍優(yōu)化方法，并引入到模糊PID控制中，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)并提高系統(tǒng)靜動(dòng)態(tài)性能，進(jìn)而提高超精密切削加工精度。

本文對(duì)自研超精密金剛石車床導(dǎo)軌進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過MATLAB/ Simulink仿真對(duì)比了PID參數(shù)對(duì)控制對(duì)象階躍響應(yīng)的影響規(guī)律，總結(jié)出了論域范圍優(yōu)化方法，據(jù)此提出指數(shù)分布論域模糊PID控制算法，并和傳統(tǒng)的定參數(shù)PID作比較。仿真結(jié)果表明，指數(shù)分布論域模糊PID控制具有更優(yōu)的控制效果，提升了導(dǎo)軌響應(yīng)速度。

1 超精密金剛石車床導(dǎo)軌理論模型及PID控制方法

控制方案和控制對(duì)象的建模依賴于所選用的器件及其鏈接方式，本文的控制對(duì)象為自主研制的超精密金剛石車床導(dǎo)軌，該導(dǎo)軌為液體靜壓導(dǎo)軌，其具有高承載、高剛度和低摩擦等特性。驅(qū)動(dòng)單元選用直線電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)?？刂品桨覆捎脧睦锏酵庖来螢殡娏鳝h(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的三環(huán)控制，其中電流環(huán)閉環(huán)到直線電機(jī)配套驅(qū)動(dòng)器中，采用PI控制，速度環(huán)和位置環(huán)閉環(huán)到UMAC運(yùn)動(dòng)控制器中，采用PID控制，主要包括PID、前饋、積分模式(integral mode, IM)和陷波濾波器(notch filter, NF)4個(gè)模塊，如圖1所示。

超精密加工存在的由運(yùn)動(dòng)位置變化、負(fù)載擾動(dòng)及外界干擾等非線性因素，使得傳統(tǒng)的PID控制無法滿足高定位精度、高響應(yīng)速度的要求，因而應(yīng)用場景受限。

2 指數(shù)分布論域模糊PID控制方法

為解決傳統(tǒng)PID難以適應(yīng)超精密加工中存在多種非線性擾動(dòng)的問題，引入模糊控制器，根據(jù)位置反饋信號(hào)的偏差E和偏差變化率EC對(duì)控制器參數(shù)Kp、Ki和Kd進(jìn)行在線整定，使控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能。在下文中未說明單位時(shí)，統(tǒng)一采用國際單位制(SI)。模糊控制器首先對(duì)誤差信號(hào)及其變化率做模糊化處理，即論域上定義若干個(gè)模糊集合，并規(guī)定其隸屬函數(shù)，進(jìn)而將清晰的輸入量轉(zhuǎn)換為模糊量。本文中對(duì)模糊控制器的輸入量E、EC都定義了7個(gè)模糊集合NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB。輸入量的論域根據(jù)定參數(shù)PID控制方案下的閉環(huán)階躍響應(yīng)確定，其中E的論域定為[-1×10-5, 1×10-5]，EC的論域定為[-3×10-5, 3×10-5]。輸入量的隸屬函數(shù)都采用高斯型函數(shù)，如圖2所示。

模糊控制器的核心是模糊控制規(guī)則表，即根據(jù)誤差信號(hào)及其變化率的所屬模糊集合確定控制器輸出信號(hào)的所屬模糊集合。本文采用mamdani模糊推理模型，使用的模糊控制表如表1～3所示。

表 1 ΔKp的模糊控制規(guī)則表

表2 ΔKi的模糊控制規(guī)則表

表3 ΔKd的模糊控制規(guī)則表

模糊控制器的輸出是PID控制器參數(shù)的調(diào)整值ΔKp、ΔKi和ΔKd，根據(jù)模糊控制表求得的輸出量仍是模糊量，通過解模糊的過程將其變成清晰量，本文中解模糊方法選用中心法(centroid)。最后通過Kp=Kp0+ΔKp、Ki=Ki0+ΔKi、Kd=Kd0+ΔKd在線整定PID參數(shù)，其中Kp0、Ki0和Kd0為PID控制器參數(shù)的初始值，Kp0= 500，Ki0= 0.1，Kd0= 0.3。

模糊控制器的控制品質(zhì)較大程度上受PID參數(shù)初始值和論域范圍選取的影響[7]。傳統(tǒng)的模糊PID控制一般在確定總體的論域范圍之后，再對(duì)單一模糊量下的不同隸屬函數(shù)進(jìn)行論域范圍均等劃分。針對(duì)固定論域的模糊PID控制，有學(xué)者提出了變論域模糊控制[8-10]，即根據(jù)被控信號(hào)的誤差及其變化率，實(shí)時(shí)改變模糊控制器的論域范圍。這種方法確實(shí)能取得更好的控制效果，然而其缺點(diǎn)在于論域變化規(guī)律復(fù)雜，且實(shí)時(shí)計(jì)算增大了計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此在不使控制器結(jié)構(gòu)變復(fù)雜的前提下優(yōu)化控制效果，需要具體地研究PID參數(shù)對(duì)控制效果的影響規(guī)律，再有針對(duì)性地優(yōu)化模糊PID控制器的論域分布。

如圖3所示，通過對(duì)PID參數(shù)調(diào)試，發(fā)現(xiàn)對(duì)于圖1所示的控制系統(tǒng)，PID參數(shù)的影響呈現(xiàn)如下規(guī)律：在Kp> 0,Ki=Kd= 0時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出是振蕩的，增大Kp會(huì)使振蕩頻率變高并使系統(tǒng)輸出趨向發(fā)散；在Kp> 0,Ki= 0,Kd> 0時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出能穩(wěn)定在指令值附近，且隨著Kd變小，調(diào)整時(shí)間越短、超調(diào)量越大；在Kp> 0,Ki> 0,Kd= 0時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出是振蕩的，增大Ki不會(huì)改變振蕩頻率，但會(huì)使系統(tǒng)輸出趨向發(fā)散。由此可以看出PID參數(shù)對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出的影響并不是線性的，要使系統(tǒng)階躍響應(yīng)快速且超調(diào)量小，應(yīng)該增大Kp但不至于引起發(fā)散，并且在Ki、Kd大于0的情況下減小Ki、Kd。顯然，均等分布論域的模糊PID無法滿足上述需求，為此應(yīng)使模糊控制器輸出量ΔKp的論域正半部分增大，ΔKi、ΔKd論域的負(fù)半部分增大。

根據(jù)上述推論，構(gòu)造模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)，

其具有如下特征：

(1)每個(gè)輸出量的隸屬函數(shù)都采用三角隸屬函數(shù)，形式如下：

式中：ξa、ξb、ξc是三角隸屬函數(shù)的從左到右3個(gè)控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用于控制三角隸屬函數(shù)的形狀，滿足ξa<ξb<ξc。

(2)每個(gè)輸出量具有7個(gè)模糊子集，模糊子集NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB的隸屬函數(shù)用μi(ξ)表示，其中i=1,2,…,7，且具有ξb,k=ξa,k+1,k=1,…,6的關(guān)系，即對(duì)于兩個(gè)相鄰的隸屬函數(shù)，右側(cè)隸屬函數(shù)的左控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)與左側(cè)隸屬函數(shù)的中控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

(3)每個(gè)輸出量的隸屬函數(shù)控制點(diǎn)橫坐標(biāo)具有如下關(guān)系

式中：α=(α1,α2,α3)T為論域分布參數(shù)，且有α1∈[0.01,1]、α2∈[1,2]、α3∈[1,2]，i=1,2,…,7分別對(duì)應(yīng)NB到PB 這7個(gè)模糊子集。

該模糊控制器的輸出量的隸屬函數(shù)論域長度從左到右呈指數(shù)式變化，因而稱之為指數(shù)分布論域模糊PID控制器，其中參數(shù)α=(α1,α2,α3)T為該控制器的特征參數(shù)，用于模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)分布情況。圖4所示為α=(0.4,1.25,1.8)T時(shí)的模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)分布圖。

圖5對(duì)比了定參數(shù)PID和指數(shù)分布論域模糊PID控制器下的系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，其中階躍信號(hào)幅值為10 μm，于0.1 s時(shí)發(fā)生階躍。指數(shù)分布論域模糊PID控制器的超調(diào)量為1.92%，比定參數(shù)PID減小了26.44%，調(diào)整時(shí)間為0.72 s，比定參數(shù)PID減小了11.42%，這證明了論域優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)語

本文通過Matlab/ Simulink仿真分析了PID參數(shù)對(duì)控制效果的影響規(guī)律，給出了一種模糊PID論域范圍優(yōu)化方法，并對(duì)比了傳統(tǒng)定參數(shù)PID和指數(shù)分布論域模糊PID的控制效果。仿真結(jié)果表明，指數(shù)分布論域模糊PID控制的階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間更短，控制效果更優(yōu)。