空間直線與平面的交點

朱鵬先 項巧敏

【摘要】本文致力于研究空間解析幾何中直線與平面的交點問題，探討直線方程分別是對稱式和一般式的情況下，該直線與平面的交點坐標，并將求交點的方法應用到求點在平面上的投影.

【關鍵詞】直線;平面;交點;投影

引 言

在本科高等數學的教學中，空間解析幾何是多元函數微積分學必備的基礎知識.本文著重介紹了直線和平面的定義，直線和平面的方程，直線與直線、直線與平面的位置關系，但是直線與平面的交點問題涉及的并不多.本文將對直線與平面的交點問題進行歸納總結，給出交點坐標公式，同時將上述結果應用到求點在平面上的投影.該問題的研究不僅拓展了空間解析幾何的教學內容，同時為考研升學的同學提供知識儲備.

一、預備知識

定義1 設M0（x0，y0，z0）是平面Π上一已知點，n=（A，B，C）是它的法向量，則方程

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（1）

稱為平面的點法式方程.

將方程（1）化簡，得方程

Ax+By+Cz+D=0，（2）

則稱方程（2）為平面的一般式方程.

定義2 方程組

A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，

稱為直線的一般方程.

定義3 設空間直線l過定點M0（x0，y0，z0），且平行于非零向量s=（m，n，p）（向量s稱為直線l的方向向量），則

x-x0m=y-y0n=z-z0p（3）

稱為直線l的對稱式方程，也叫作直線l的標準式方程.

在方程（3）中，如果令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t（-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt

叫作直線l的參數方程.

二、主要結果

1.情形一：直線方程為對稱式

命題1 設直線l的方程為x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面Π的方程為Ax+By+Cz+D=0，則

（1）當Am+Bn+Cp=0，即s⊥n時，直線與平面平行，無交點，其中，s=（m，n，p）為直線l的方向向量，n=（A，B，C）為平面Π的法向量.

（2）當Am+Bn+Cp≠0，即s=（m，n，p）與n=（A，B，C）不垂直時，此時直線與平面有交點P（x，y，z），且滿足

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp.（4）

證明 （1）結果顯然可見.

（2）令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt.（5）

將方程（5）代入平面方程Ax+By+Cz+D=0可知，

A（x0+mt）+B（y0+nt）+C（z0+pt）+D=0.

從而解得t=-Ax0+By0+Cz0+DAm+Bn+Cp，將t代入方程（5），可得

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp.

故原結論成立.證畢.

例1 判斷直線l：x1=y+1-1=z-22與平面Π：2y+z+1=0的交點個數.

解 已知直線l的方向向量s=（1，-1，2），平面的法向量n=（0，2，1）.

因為1×0+（-1）×2+2×1=0，所以s⊥n.

故有直線與平面平行，無交點.因此，交點個數為0.

例2 求直線l：x-21=y+32=z-33與平面Π：x+y+z-1=0的交點坐標.

解 設交點為P（x，y，z）.

已知直線l過定點M（2，-3，3），方向向量s=（1，2，3），平面的法向量n=（1，1，1）.

所以x0=2，y0=-3，z0=3，m=1，n=2，p=3，A=1，B=1，C=1.

由公式（4），可得

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=2-1×（2-3+3-1）1+2+3=116，

y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=-3-2×（2-3+3-1）1+2+3=-103，

z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=3-3×（2-3+3-1）1+2+3=52，

故交點坐標為P116，-103，52.

2.情形二：直線方程是一般式

設直線l的方程為A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，平面Π的方程為Ax+By+Cz+D=0.直線l的方程無法唯一確定直線l過的定點M0（x0，y0，z0），從而由命題1的結論可得此類交點的表達式不唯一，因而我們給出求此類交點的一般步驟.假設直線l與平面Π不平行.

步驟：

（1）由直線l的方程確定其中一個直線l過的定點M0（x0，y0，z0）.取x0=k（k為任意實數），將其代入方程組A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，從而解得y0和z0.這里也可以取y0=k或者z0=k.

（2）求直線l的方向向量s=（m，n，p）.由向量積可得s=n1×n2=i[] j[]kA1[]B1[]C1A2[]B2[]C2，其中，

n1=（A1，B1，C1）是平面A1x+B1y+C1z+D1=0的法向量，n2=（A2，B2，C2）是平面A2x+B2y+C2z+D2=0的法向量.

（3）由公式（4）求交點坐標.

例3 求直線l：x+y+z+1=0，2x+y+3z+4=0與平面Π：x-y+2z-1=0的交點坐標.

解 設直線l過定點M0（x0，y0，z0），方向向量s=（m，n，p），平面Π的法向量為n=（A，B，C），交點為Q（x，y，z）.

令x0=1，代入題中方程組，得y0=0，z0=-2，所以M0（1，0，-2）.

s=i[]j[]k1[]1[]12[]1[]3 =2i-j-k，所以s=（2，-1，-1）.

已知平面Π的法向量n=（1，-1，2）.

運用公式（4），可得x=9，y=-4，z=-6.

故交點Q（9，-4，-6）.

點在平面上的投影可以看成過點且垂直于平面的直線與平面的交點，因此，點在平面上的投影問題就是直線和平面的交點問題.

命題2 設M0（x0，y0，z0）是平面Ax+By+Cz+D=0外一點，M（x，y，z）是M0（x0，y0，z0）在平面上的投影，則有

x=x0-A（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2，y=y0-B（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2，z=z0-C（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2.（6）

證明 易知過M0（x0，y0，z0）且垂直于平面Ax+By+Cz+D=0的直線方程為

x-x0A=y-y0B=z-z0C.

則由命題1中的公式（4）可得公式（6）.證畢.

例4 求點M0（-1，2，0）在平面Π：x+2y-z+1=0上的投影.

解 設投影為M（x，y，z）.

由題意，可得x0=-1，y0=2，z0=0，A=1，B=2，C=-1.

運用公式（6），可得

x=-53，y=23，z=23.

故投影為M-53，23，23.

【參考文獻】

[1]黃立宏.高等數學：下[M].第1版.北京：北京大學出版社，2018.

[2]同濟大學數學系.高等數學： 下冊 [M].第七版.北京： 高等教育出版社，2014.