利用狄利克雷函數及其改造構造反例

馬小丫

【摘要】狄利克雷函數作為分析學中的一種構造性函數，存在著一些特殊的性質.在數學分析中，許多定理成立的條件并非充分必要，可能正向成立，而反之不成立，不成立時只需要找到合適的反例即可說明不成立.可通過狄利克雷函數構造一些反例，從而更好地理解矛盾所在.本文分別從狄利克雷函數本身的性質、極限、連續、可導、可積、收斂等角度引入狄利克雷函數及其改造，從而構造反例.

【關鍵詞】狄利克雷函數;極限;連續;可導;可積;收斂

實數域上的狄利克雷函數雖然不是初等函數，但仍可利用極限函數建立分析表達式表示D（x）=limk→∞（limj→∞（cos（k！πx））2j）（k，j為整數），也可以簡單地表示為分段函數的形式D（x）=1x為有理數，0x為無理數.

一、函數本身性質帶來的反例

該函數有如下一些特殊的性質：

1.基本性質

（1）定義域為整個實數域R.

（2）值域為{0，1}，因此有界.

（3）函數為偶函數.

（4）無法畫出函數圖像，但是它的函數圖像客觀存在.

（5）以任意有理數為其周期，由實數的連續統理論可知，其無最小正周期.

2.分析性質

（1）處處不連續.

（2）處處不可導.

（3）在任何區間內黎曼不可積.

（4）函數是可測函數.

（5）在單位區間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉、是否有限）的勒貝格積分值為0 ）

從其本身的性質出發，可直接得出：

（1）畫不出圖像（圖像客觀存在）——不是所有的函數都能畫出圖像.

（2）狄利克雷函數為周期函數，但無最小正周期，它以任意有理數為正周期——不是所有的周期函數都有最小正周期.

二、極限有關的反例

函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的.

定義 設函數在某點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對于給定ε（無論它多么小），總δ>0，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數值都滿足不等式

|f（x）-A|<ε，那么常數A就叫作函數當x→x0時的極限.

根據定義可知，要求滿足“0<|x-x0|<δ”的x均成立，而在這一領域內既有有理數又有無理數，相應的函數值可能不同，造成了ε的取值不能任意小，因此造成極限不存在;但由于其取值相對單一，所以兩個類似的函數的和、積可能會相互抵消，為常值函數.

反例有如下：

①若極限存在，則一定有界;反之，不成立.如

D（x）=1x為有理數，0x為無理數，

在R上有界，但極限處處不存在.

②若f（x）極限存在，則|f（x）|極限一定存在，反之不成立，即絕對值極限存在，則原極限不一定存在.如，改造狄利克雷函數得到：

E（x）=1x為有理數，-1x為無理數，

因為|E（x）|=1，所以limx→x0|E（x）|=1，而任意在點E（x）的極限不存在.

備注：利用此構造，可同理得出，若|f（x）| 在[a，b] 內連續（可導、黎曼可積），則f（x） 在[a，b]

上不一定連續（可導、黎曼可積）.后文探討可導、黎曼可積等性質時將不再重復敘述.

③若f（x），g（x） 在x0 處極限存在，則limx→x0（f（x）+g（x））=limx→x0f（x）+limx→x0g（x），limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f（x）·limx→x0g（x），反之不成立，即兩個函數和、積極限存在，這兩個函數分別的極限不一定存在.

如：D1（x）=1x為有理數，-1x為無理數，

D2（x）=-D1（x）=-1x為有理數，1x為無理數，

D1（x）+D2（x）=0，則limx→x0D1（x）+D2（x）≡0，

但limx→x0D1（x） 與limx→x0D2（x）不存在，

D1（x）D2（x）=-1，limx→x0D1（x）D2（x）≡-1，

但limx→x0D1（x） 與limx→x0D2（x）不存在.

備注：利用此構造可同理得出，若兩個函數的和連續（可導、黎曼可積），不一定能得到每一個函數連續（可導、黎曼可積）.

三、與連續有關的反例

一般常見的函數，不連續點較少，大多出現在個別點.

函數在某點連續的本質即在該點處的函數值等于極限值.由上文分析可知，在狄利克雷函數及其構造中可能會導致極限值不存在，因此不連續點頗多.

連續點不止一個或者有限個的反例如下：

1.函數在定義域內所有點不連續

如狄利克雷函數在R上的任意點不連續.

2.函數只有有限個連續點，無限個不連續點，且交錯分布

如下函數只有一個連續點.有無限個不連續點：

D1（x）=xD（x）=xx為有理數，0x為無理數.

證明 ∵limx→0x∈QD1（x）=0，∴ε>0，δ>0，當0

又∵當x∈Q- 時，D1（x） =0仍滿足|D1（x）|<ε，

∴ ε>0，δ>0，0<|x|<δ時，|D1（x）|<ε，

∴ limx→0D1（x）=0=D1（0），

∴D1（x） 在x=0 處連續，但根據狄利克雷函數在任一點連續性的類似討論同理可得，x≠0 處不連續.

3.在無窮個點連續，在無窮個點不連續

y=sin πxx為有理數，0x為無理數.

① 當x 為整數點x0 時，limx→x0y（x）=0=sin πx0=yx0，

∴y在整數點連續;

② 當x0 取非整數點時，取有理列x（1）n，x（1）n>x0，limn→∞x（1）n=x0，limn→∞fx（1）n=limn→∞sin（πx（n）n）=sin πx0.

取無理點列x（2）n，x（2）n>x0，limn→∞ x（2）n=x0，limn→∞fx（2）n=0，

∴當x0為非整數時，limx→x0f（x） 不存在.

4.復合函數的極限及其連續性

由課本中的定義我們知道：若u=g（x）在x0連續，f（u）在u0連續，則復合函數y=fg（x）在x0連續，此時limx→x0fg（x）=fgx0=f（u0）=A.

但若只知道limx→x0g（x）=u0，limu→u0f（u）=A，而沒有連續的條件，則不能得出limx→x0fg（x）=A的結論.如下：

y=f（u）=0u=0，1u≠0， D（x）=xx為有理數，0x為無理數，

limx→x0D（x）=0，limu→0f（u）=1，

則fD（x）=1 x為有理數且x≠0，

0 x為無理數，

0 x=0，

但limx→0fD（x）不存在.

矛盾的原因在于f（x）與g（x）在相應點處不連續，而這恰恰讓狄利克雷函數有了有乘之機.

5.上半連續或下半連續不一定連續

如狄利克雷函數在有理點上半連續，在無理點下半連續，但總體不連續.

四、與可導有關的反例

可導的實質為函數值的差與自變量差的比值的極限，其實質也是極限存在.

我們知道，可導必連續，但連續并不一定可導.

如：E（x）=xx為有理數，0x為無理數， 在x=0處連續（已證），E（x）x=1 x為有理數且x≠0，0 x為無理數，

則limx→x0E（x）x極限不存在，因此不可導.

五、與積分有關的反例

與積分有關的，利用定積分的性質，絕對可積性∫baf（x）dx≤∫baf（x）dx，可推得若函數的反常積分絕對收斂，則一定收斂.但絕對收斂的定義為：f（x）在其定義域內的任何有限區間內可積，如果∫+∞0|f（x）|dx存在，那么，稱∫+∞0f（x）dx為絕對收斂.但若僅知道函數加絕對值后的反常積分收斂，而不能確定f（x）在定義域內可積，則并不符合絕對收斂的定義，因此不能推出原反常積分收斂.

若反常積分∫+∞a|f（x）|dx 收斂，則∫+∞af（x）dx 不一定收斂，如f（x）=1x2x為有理數，-1x2x為無理數，f（x）=1x2，∫+∞a|f（x）|dx收斂，但f（x）黎曼不可積，所以∫+∞af（x）dx不存在.

但若加條件，在已知f（x） 在[a，A]上收斂的前提下，則能推出∫+∞af（x）dx一定收斂.

六、構成的函數項級數

函數項級數的收斂域未必為一個區間.

我們常理解的“域”往往是一個連續區域，而收斂域未必是一個連續的區域，有可能是離散的.

例：設Un（x）=D（x），則∑∞n=1Un（x）的收斂區域補集合為{x|x為無理點}.

∑ki=1Un（x）=kx為有理點，0x為無理點.當x為無理點時，limk→∞∑ki=1Un（x）=0;當x為有理點時，limk→∞∑ki=1Un（x）=+∞.所以∑∞n=1Un（x）的收斂區域為集合{x|x為無理點}，不是一個連續的區域（區間）.

【參考文獻】

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