核心素養導向下的“圖形新定義”試題的命制與思考

李淑琴

【摘要】“圖形新定義”試題是中考數學試卷中出現的一類新題型.這類題型因為其獨特的特點，受到中考試卷命題專家的喜愛.文中主要就對核心素養導向下的“圖形新定義”試題的命制進行探討，希望可以為該類試題的命制提供借鑒.

【關鍵詞】試題;命題;圖形新定義;中考

近年來，隨著課程的不斷改革，在中考數學試卷中出現了一類新的題型——“圖形新定義”試題.這類試題情境設計新穎、題型創新、巧思妙設，對學生考查的背景相對公平，受中考試卷命題專家們的喜愛.該類試題按照一定的條件（規則）給出一個學生從沒見過的圖形定義，要求學生認真閱讀理解定義（概念），通過類比學習，進行知識的遷移，探究并解決所提出的問題.這類試題的特點在于考查學生自主學習能力、圖形的積累經驗、邏輯推理能力;考查教師平時教學中是否讓學生經歷自主學習、探究新知、應用新知來獲取新知識的數學活動過程.縱觀近幾年的數學試卷，發現新定義試題如果在選擇題或填空題中，一般也是后面一兩題，難度系數比較大;如果是作為解答題出現，題目偏長，也是難度系數大的壓軸題，所占分值也較多.很多學生看到解答題中的材料閱讀題就感到沒信心，自動退縮，從而導致無法認真靜心閱讀材料，就很難從材料中發現性質和規律等.這是中考中的一大失分點.

新定義試題一般有以下幾種：（1）定義新運算;（2）規律題型中的新定義;（3）探索題型中的新定義;（4）閱讀材料題型中的新定義;（5）定義初、高中知識銜接新知識;（6）定義新概念.因此，教師在平時教學時，應注重學生的數學閱讀理解能力的培養，在平時練習中有意識地添加一些閱讀型題型，指導學生在閱讀時用筆畫出關鍵字詞，尋找有利條件，找出規律，養成良好的數學閱讀習慣.有一些新定義試題會給出適當的例子，引導學生懂得在例子中找出原理和規律，學會歸納“例子”提供的方法，采用類比、模仿等方法進一步解答.

本文將通過本人命制的一道“圖形新定義”試題及獲獎的歷程，談談對命制“圖形新定義”試題的思考與過程，以求教于同行.

一、試題及評析

例1 定義：△ABC中，若線段BM與CN交于點O，且滿足∠A+∠NOM=180°，則稱BM，CN為△ABC的關聯線.

（1）特殊驗證：如圖1所示，∠A=60°，BM與CN分別平分∠ABC與∠ACB.求證;BM，CN為△ABC的關聯線.

（2）模型應用：如圖2所示，BM和CN為△ABC的關聯線.求證：BM·AC=AB·CN.

（3）拓廣延伸：如圖3所示，四邊形ABCD中，AB//CD，點E與點分別在AB和BC上，DE，AF交于點G，滿足∠B+∠EGF=180°，問：AB·DE=BC·AF是否成立？請說明理由.

解題思路分析 （1）中利用特殊角度，及相關的角平分線的性質求出∠MON=120°，從而得到∠A+∠MON=180°.

（2）中利用關聯線的定義，得出∠ANC=∠BMC;由結論想到構建三角形相似.在已知一組對角相等的情況下，想到分別過點B，C作垂直來構建直角三角形相似.再利用等面積法，達到線段之間的轉化.從（1）到（2），體現了從特殊到一般的過程.

（3）由三角形轉為四邊形，學生自然而然地類比（2）的學習方法及探究過程，先進行角的轉化，得到∠AED=∠BFA，再分別過點A，B作垂直，構建∠AED，∠BFA所在的直角三角形相似.借助結論中提到AB，BC，需構建這兩線段所在的三角形全等，從而得出結論.

試題評析 本題在三角形的基礎上，模仿三角形中線的定義，重新定義了一種教材中沒有出現過的線段——三角形的關聯線.通過研究其概念、性質，類比學習教材中學習圖形性質的方式，先學習概念，再研究其性質，最后學會判定的數學研究的學習活動過程.本題目設置了三小題，試題難度層層上升.通過本題，重在培養學生轉化與化歸、三角形相似的判定與性質、從特殊到一般、類比學習、數學建模等初中數學重要思想，發展學生在復雜抽象的情境中建立嚴謹的邏輯思維及進行合情推理的思維認知及數學能力.

二、命題思考

余文森教授在《核心素養導向下的課堂教學》中提到，教師在平時教學中應滲透核心素養的培養，在核心素養導向下，使學生養成積極探索、自主學習、主動探究的學習習慣.而通過中考數學中“圖形新定義”試題的導向作用，能有效地檢測教師在教學中是否引導學生對數學對象的本質問題進行思考.此題的命制過程，處于以下幾點思考：

（1）選好題材，下好圖形定義

在選取教材題源時，首先考慮教材中的幾何定義、定理等進行合理的條件、結論互換形成新的性質或者定理，或者在原有的幾何結論中添加限制條件，得出新的結論，這樣的題源既源于教材又高于教材.實際上，在教材中有很多豐富的、有探究意義的數學活動、實驗與探究，這都是我們命制題目時可選取的好題源.

編制這道中考模擬題的靈感來自于2018年江蘇蘇州二模的一道試題，原題是這樣的：

如圖4所示，AD是△ABC的角平分線，且滿足AD2=DB·DC，我們稱AD是△ABC的比例中項線.

如圖5所示，△ABC中，AB=AC=2，AD是△ABC的比例中項線.求BC的長;

如圖4所示，AD是△ABC的比例中項線，設k=AB·ACAD2.問k的值是否為定值，若是定值，求出k的值.若不是，說明理由.

眾所周知，三角形中兩內角的平分線的夾角（銳角）等于第三個內角的一半與 90°的和.由此，本人從原結論中受到啟發，由“兩個內角的平分線”改為“在三角形內部相交的任意兩條線段BM與CN”和滿足條件“∠A+∠NOM=180°”，就下了一個新的定義“三角形的關聯線”.

（2）巧思妙設，創設問題情境，突出數學思維過程

有了新的定義，就可以圍繞新定義設置問題了.教材中通過學習圖形的定義，再探索發現其性質和判定方法，然后通過解決相關的問題來鞏固所學知識.為了更好的激發學生原有的數學知識經驗，本人對“三角形的關聯線”的研究也應該按照這樣的思路進行.本試題通過“特殊驗證”“模型應用”“拓廣延伸”三個問題的設置，揭示了學習數學本質的一般歷程：從特殊到一般，從基礎圖形到四邊形的延伸.學生解題時借助定義中“∠A+∠NOM=180°”的條件，發現解題的一個關鍵是要進行角的轉化，從而構造三角形相似，再通過類比學習，以及熟悉的相關的知識與應用，如角平分線的性質、構建三角形相似等，非常有利于學生展示自己的成果.

三、解法呈現

如圖6所示，∵BM與CN分別平分∠ABC與∠ACB

∴∠1=12∠ABC，

∠2=12∠ACB……1分

∴∠COB=180°-（∠1+∠2）

=180°-180°-∠A2=90°+12∠A=120°……2分

∵∠NOM=∠COB

∴ ∠A+∠NOM=120°+60°=180°

∴ BM，CN是三角形的關聯線……3分

（2）分別過點B，C作BG⊥AC于G，CH⊥AB于H.

∵BM，CN是△ABC的關聯線

∴∠A+∠M0N=180°

∴∠1+∠AMB=180°

∠AMB+∠2=180°

∴∠1=∠2……4分

∴△BGM∽△CHN

∴BGCH=BMCN……6分

∵12BG·AC=12CH·AB……7分

∴BGCH=ABAC

∴BM·AC=AB·CN……8分

（3）如圖8所示，分別過點A，B，D作AM⊥CB于點M，BT⊥CD于點T，DN⊥BA于點N.

∵∠CBA+∠EGF=180°

∴∠1+∠BEG=180°

∵∠2+∠BEG=180°

∴∠1=∠2

∵∠M=∠N=90°

∴△AFM∽△EDN……9分

∴AFDE=AMDN……10分

∵ △ABM∽△BCT……11分

∴AMBT=ABBC

又DN=BT

∴AFDE=AMDN=AMBT=ABBC

∴AFDE=ABBC……13分

∴AF·BC=AB·DE……14分

核心素養導向下的“圖形新定義”試題在于創新命題的背景，但萬變不離其中，考查的數學核心本質還是學生已有的知識體系、閱讀理解能力、知識遷移能力及解決問題的策略.這類“新定義試題”考查的知識面廣，也常常在解答過程中會滲透一些數學思想方法，如：分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想等.作為當代教師，不能就題論題，

應懂得在教學過程中一步步滲透數學思想方法，這也是培養學生核心素養的一種有效方法.

因此，“題在書外，根在書內”是命題的基本原則，教學中應重視概念的教學、重視材料的閱讀.在平時教學時，也應多設計一些“全新”的試題，讓學生利用現有的認知去解決新的情境中未知問題，從而克服這種不戰而敗的心理障礙;也可以在教學中運用類比聯想即由此及彼的類比思考，把陌生的、要解決的問題，轉化為與之有關的熟悉問題，用熟悉的知識給予解決，對要解決的問題從多角度、多側面去聯想，在有關的熟悉的問題、知識和技能中比較、分析、推理逐漸發現并促成要解決的問題轉化為熟悉的問題予以解決.而在命制題目時，也因賦予了“新定義”，這就要求命制題目時必須對新定義的概念名詞有內涵也得有外延，有創新，能體現數學思想方法，才會有研究的價值.

【參考文獻】

[1]余文森.核心素養導向下的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]高峰.對“圖形新定義”試題的命題思考[J].數學教學，2016（11）：40-44.

[2]蔡德清.新定義中考數學試題的命題闡釋與思考[J].福建教育，2016（46）：36-38.