基于改進灰色評估模型的地空導彈系統效能分析

鄭益凱，范云鋒，張思霈，朱 瑩，吳 凱

（上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引言

現代戰爭中，防空反導的作戰需求使得地空導彈凸顯更為重要的作用。地空導彈武器以地面發射導彈為主要形式［1］，可對空中目標進行有效抗擊和攔截，加之導彈機動性能好，目標毀傷能力強，各國相繼投入大量經費，開展防空武器裝備的研制和創新，這極大地促進了地空導彈裝備的發展。與此同時，武器裝備的研制思想也逐漸從關注武器性能轉變為重視武器系統綜合效能。

系統效能是衡量武器系統在規定條件下完成規定任務的程度，是評價武器系統優劣最重要的綜合性指標。對武器系統進行效能評估已經成為裝備研制過程的必要環節，它對促進裝備發展規劃和各階段方案論證起著不可忽視的作用。如何客觀、正確地評估導彈武器系統的效能已經成為導彈武器發展研制、系統論證和作戰使用的重要研究方向［2］。

目前，地空導彈武器系統效能分析的主要方法包括ADC（availability，dependability，capacity）法、層次分析法、試驗統計法、灰色評估法和模糊評估法等。基于白化權函數的灰色聚類評估法在解決不確定問題評估方面具有簡單實用的優勢，自建立以來被大量應用于評估實踐［3-4］。

本文針對傳統三角白化權函數灰色評估法存在的指標賦權方法單一、白化權函數聚類系數取值相近以及多對象決策時僅依據所屬灰類聚類系數區分對象優劣的問題，構造了一種改進灰色評估模型。

該模型首先采用基于最小二乘和相對熵原理的組合賦權法計算評價指標體系各指標的主客觀權重，并針對白化權函數綜合系數取值相近導致無法準確判斷對象歸屬的情況，對原有白化權函數的構造方法進行改進，將一確定區間作為某一灰類的聚類中心，得到對象的評價結果。但是，當評估結果出現多個對象同屬一個灰類且綜合聚類系數差別不大時，僅根據該灰類聚類系數大小區分對象優劣所得結果往往不夠全面，為此，本文結合綜合測度決策模型對計算結果進行進一步分析，以充分考慮各個灰類對評估對象優劣性判斷的影響。

本文以地空導彈為研究對象，根據研究對象的結構和功能特點，建立效能評價指標體系，在此基礎上采用改進灰色評估模型來計算地空導彈武器系統的綜合效能，并通過實例分析，驗證了改進模型的合理性與可行性。

1 效能評估指標體系構建

地空導彈武器系統效能是指武器系統在規定條件下、一定時間內完成預定作戰任務能力的程度。依據系統效能評估指標體系的建立原則和建立步驟，結合地空導彈武器系統的結構組成和功能特點，從導彈武器系統的搜索跟蹤能力、目標毀傷能力、系統可靠性、機動能力和抗干擾能力這5個方面，對影響地空導彈武器能力的因素進行分析，建立全面的系統效能評價指標體系，如圖1所示。

圖1 地空導彈武器系統效能評估指標體系Fig.1 Effectiveness evaluation index system of surface-to-air missile weapon system

2 改進組合賦權法

確定指標權重是進行系統效能分析的關鍵環節，采用基于最小二乘和相對熵原理的組合賦權法將指數標度層次分析法得到的主觀權重和改進熵權法得到的客觀權重進行綜合，得到的組合權重兼顧不同賦權方法的優缺點，權重結果更加合理［5］。

2.1 指數標度層次分析法

層次分析法［6］主要依據評估者對指標的主觀重要性判斷進行賦權，能較好地體現評估者的主觀偏好。按以下步驟進行具體計算。

1）構造層次結構：根據對象特性將影響效能指標劃分為不同層次，建立指標體系；

2）構造判斷矩陣：對同層次中各指標的重要性進行兩兩比較，構造判斷矩陣；

3）權重計算：求矩陣最大特征值和對應的特征向量，歸一化得到指標主觀權重；

4）一致性檢驗：對判斷矩陣進行一致性檢驗，重復調整檢驗，直到滿足一致性要求。

所得主觀權重可表達為U=(u1，u2，…，un)，其中，U為指標體系總權重向量，u1，u2，…，un分別為n個指標的權重。

2.2 熵權法及其改進

熵權法［7］依據指標所含信息量大小來確定其權重。指標數據變異程度越大，則該指標所含信息量也越大，其權值就越大［8］。

在實際評估中，當評估指標數據值離散程度較大時，所得指標權重值會很大，可能與主觀愿望和客觀實際相違背，直接影響甚至決定最終的評估結果，需要對其進行修正。

2.2.1熵權法計算步驟

熵權法的計算步驟如下：

1）構建m個樣本n個評價指標的初始矩陣，并進行規范化處理，有T=(tij)m×n(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，其中，tij表示第i個評估對象對第j項指標的評價值；

2）計算第j項評價指標下第i個評估對象的指標值比重pij；

3）計算第j項評價指標的熵權ej；

4）計算第j項評價指標的權重wj。

2.2.2權重修正

假設指標權重上限值為a，得到的指標主觀權重和客觀權重分別為U=(u1，u2，…，un)和W=(w1，w2，…，wn)，判斷權重向量W的各分量是否大于設定的上限值a。當某一分量wj＞a時，將該分量置為a，即修正后該指標的熵權值vj=a，余下部分(vj-a)按比例分配到剩余的（n-1）個指標中去，可表示為

修正后的客觀權重為V=(v1，v2，…，vn)。

2.3 基于最小二乘和相對熵的組合賦權

2.3.1基于最小二乘原理的組合賦權模型

以組合權重與主客觀權重的偏差平方和最小為目標進行組合賦權，基于最小二乘原理建立如下優化模型，即

式中：ωj為組合權重；k1、k2為主、客觀賦權法的偏好系數，且k1+k2=1；rij為評價對象i關于指標j的規范化指標值。構造拉格朗日函數

由極值存在必要條件可得最優解為

2.3.2相對熵確定組合賦權系數

由于兩種評估方法的賦權機理不同，不同方法對被評價問題是有偏好的，因而組合賦權的關鍵是確定權系數。當主、客觀權重向量為離散分布時，相對熵可以作為二者之間貼合度的量度。因此，由兩種賦權結果得到集結權重d=(d1，d2，…，dm)的問題可以表示為如下數學規劃問題：

有全局最優解，其中，

計算主觀權重、客觀權重與集結權重的貼近度h(ωi，d?)（i=1，2）及兩個權重的可信度。組合權重與集結權重的貼近度越大，說明該方法在組合賦權中的作用越大。該賦權方法的權系數可表示為

將得到的兩種賦權法的可信度權重k1、k2代入式（2）～（4），即可得到指標的組合權重。

3 改進灰色聚類評估法

3.1 改進灰色聚類評估模型

改進灰色聚類評估模型在中心點三角白化權函數基礎上，將白化權函數最屬于某一灰類的取值范圍區間作為該灰類的聚類中心，得到評估結果。設有m個待評估對象，n個評估指標，s個不同灰類，第i個對象關于指標j的觀察值為xij，具體步驟如下［9-12］：

1）對于對象i的指標j，設其取值范圍為[aj，bj]。根據評價對象需求，將評估結果劃分為s個灰類，選取最屬于灰類k(k=1，2，…，s)的區間，確定各區間[λ2k-1，λ2k]的端點，將各指標的取值范圍也相應劃分為s個灰類。

2）令在區間[λ2k-1，λ2k]中所有點屬于灰類k的白化權函數值都為1，連接灰類k的起點和終點。對于灰類1 和灰類s，則分別采用下、上限測度白化權函數，并將指標數域向左向右延拓至aj和bj。得到指標j關于k灰類的白化權函數。經過計算，可得到指標j的觀測值x屬于灰類k的隸屬度函數，其表達式如下：

按式（8）～（10），計算出觀測值x屬于灰類k的隸屬度，改進前后的白化權函數如圖2～3所示。

圖2 中心點三角白化權函數示意圖Fig.2 Schematic diagram of center triangle whitening weight function

圖3 改進后的白化權函數示意圖Fig.3 Schematic diagram of reformative whitening weight function

3）計算對象i關于灰類k的單位化綜合聚類系數，計算綜合聚類系數，并對其進行單位化處理，得到單位化綜合聚類系數，可表達為

3.2 綜合測度決策模型

當有多個對象同屬一個灰類時，一般情況下，依據判斷對象所屬灰類的綜合聚類系數值大小來比較對象的優劣。但是，在各對象所屬灰類的綜合聚類系數值差異不顯著的情況下，僅根據所屬灰類的綜合聚類系數值判斷對象優劣，得到的結果不夠科學、全面。

本文為充分考慮各個灰類的綜合聚類系數對評估對象優劣性判斷的影響，提高評估結果的準確性，提出了一種綜合測度決策模型，具體計算步驟如下：

3）根據綜合測度決策向量各分量確定同屬k?灰類之各個判斷對象的優劣或位次。

4 應用實例

結合地空導彈武器系統效能評估指標體系，采用本文提出的改進灰色評估法，對4 型地空導彈武器系統（分別用M1、M2、M3和M4表示）進行評估，得到各型號武器系統的綜合效能評價結果。

4.1 指標權重計算

1）采用指數標度層次分析法計算指標的主觀權重；

2）采用熵權法計算指標的客觀權重，按照主觀權重結果，取客觀權重的上限值為a=0.1，得到修正后的客觀權重；

3）對主觀權重和修正后的客觀權重進行組合賦權，得到指標的組合權重。

主觀權重、客觀權重及組合權重計算結果見表1。

表1 主客觀權重及組合權重計算結果Tab.1 Results of subjective weight，objective weight and combination weight

4.2 灰色評估優化模型應用

1）對指標值進行規范化處理，將評價結果劃分為優、良、中、差4個灰類，確定每個灰類的聚類中心取值范圍，構造隸屬度函數：

依據式（14）～（17）計算各個指標的灰類隸屬度。

2）結合指標權重和灰類隸屬度值，計算綜合聚類系數，計算結果見表2。

表2 4型地空導彈綜合聚類系數Tab.2 Comprehensive clustering coefficient of 4 kinds of surface-to-air missile weapon system

3）根據綜合加權決策向量，計算綜合決策系數，計算結果見表3。

表3 4型地空導彈綜合決策系數Tab.3 Comprehensive decision coefficient of 4 kinds of surface-to-air missile weapon system

4.3 評估結果分析

圖4 和圖5 分別為熵權法修正前后計算結果對比和3 種賦權方法計算結果對比。由表1 中數據及圖4～5 可知，改進的熵權法對過大的指標權重值進行了限制，組合賦權法將主客觀權重結果進行綜合，對目標毀傷能力及精度指標賦予了較大權重，合理地反映評估者的主觀意愿，同時充分利用指標數據包含的客觀信息，使得指標賦權結果更合理，更符合實際。

圖4 熵權法修正前后計算結果Fig.4 Results of entropy weight method before and after correction

圖5 3種賦權方法計算結果Fig.5 Results of 3 kinds of weighting methods

由表2 評估結果可知，基于區間混合梯形白化權函數的灰色聚類評估方法所得的M1～M4這4種型號地空導彈武器系統依次屬于“良”“中”“良”“優”灰類，根據灰類級別由高到低依次排序為M4＞M1＞M3＞M2，且M1 和M3 的綜合聚類系數值相近。圖6 為M1和M3綜合測度決策結果對比。

圖6 M1和M3綜合測度決策結果對比Fig.6 Comparison resluts of comprehensive measurement decision results of M1 and M3

結合表3 中計算結果和圖6 可知，評估對象M3 所對應的“優”灰類和“良”灰類的綜合決策系數大于M1相應灰類的綜合決策系數，而對應于“中”和“差”灰類，M3 的綜合決策系數則要小于M1 的綜合決策系數?？紤]相鄰灰類對評估對象優劣性的判斷，可以得出M3的系統效能整體上更優于M1的系統效能，因而得到4 型地空導彈武器系統效能的最終評價結論為：M4＞M3＞M1＞M2。

5 結束語

武器裝備的系統效能越來越受到重視，本文建立了地空導彈武器系統效能評價指標體系，采用改進灰色評估法對其系統效能進行綜合評價。算例分析結果表明，改進后的評估模型指標權重更加合理，能有效提高聚類對象劃分為其所屬灰類的聚類系數，易于方案決策，且評估結果全面考慮各灰類對評估對象優劣判斷的影響，所得判斷結果全面合理，表明該評估模型具有一定的可行性。評估模型中，如何根據不同指標合理劃分灰類，有待進一步研究和完善。