常見最值問題的解題策略探究

■石獅市實驗中學 趙 平

最值問題的有效解決，一直是學生學習過程中的重點和難點。如何有效突破，進而提升學生的綜合解題能力，是一線數學教師一直反復思考的問題。筆者認為，有效解決最值問題的有效策略是：識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用。以下筆者結合查閱的資料和課堂的教學實踐，對常見的最值問題及解題策略進行梳理和歸納。

一、最值問題的常見解題策略

幾何類最值問題的基本解題策略是：將相關數學問題（如果是實際問題，應先抽象為數學問題）轉化為可以利用“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊和大于第三邊”等幾何定理解決的問題，并加以解決。其中“兩點間線段最短”是解決幾何最值問題中最本質、最核心的依據，因而也是我們進行問題轉化的出發點和落腳點。在解題中應給予十足關注，才能方向明確，游刃有余。代數類最值問題的基本解題策略是：選擇適當的變量，并建立該變量與目標變量之間的函數關系（含對應關系、自變量的取值范圍），并利用函數的圖像、性質（增減性）等相關知識解決問題。其中函數的連續性是前提，增減性是保證，而在本質上是求函數值的范圍，因此體現函數三要素的有機統一。代數類最值問題也常常可以通過配方法將代數式轉化為完全平方式，并利用完全平方式的非負數加以解決；有時也可利用根的判別式建立不等式模型并加以解決。

二、常見最值問題的實例與賞析

（一）代數類最值問題及賞析

【例1】已知反比例函數y=，其中k＞-2，且k≠0，1≤x≤2。若該函數的最大值與最小值的差是1，求k的值。

【賞析】本題以反比例為載體求最值問題，是很典型的代數類最值問題，基本思路為通過函數增減性及自變量取值范圍求解，因為在自變量的不同取值范圍內其最值往往是不同的，所以經常需要關注分類討論，這是代數類最值問題解題的基本方法之一。如果在解題過程中能結合函數圖像進行輔助性解題，則能更好地體現函數在求最值中的作用。

【例2】（2017年福建中考改編）已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），且a＜b。若直線與拋物線的另一個交點記為N。（1）若-1≤a≤，求線段MN長度的取值范圍。（2）求△QMN面積的最小值。

【賞析】本題是典型的應用函數或方程或配方求最值的代數類最值問題題目，全面體現了代數類最值問題的基本解法。（1）求MN范圍，即為求MN最值。解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上（如圖1），求出MN的表達式（用含a的代數式表示），并通過配方法或函數的性質加以解決。（2）解題的關鍵是在畫好圖形的基礎上（如圖1），求出△QMN的面積S的表達式（用含a的代數式表示），并通過配方法或函數的性質或根的判別式加以解決。

（二）幾何類最值問題及其賞析

【例3】如圖2，長方形ABCD中，AB=6，BC=4，在長方形的內部以CD邊為斜邊任意作Rt△CDE，連接AE，則線段AE長的最小值是______。

圖2

圖3

【賞析】本題的解題的關鍵在于找到動點運動的路徑（軌跡）（如圖3），再利用“兩點之間，線段最短”即可求出最小值。

【賞析】

（1）依題意畫圖，為結合最值的解決提供載體，這是解決幾何最值問題的起點。（2）本題俗稱“阿氏圓”問題（如圖4），解題的關鍵是利用“三角形相似對應邊成比例”將。TB轉化為一條線段，并利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”解決，體現了幾何類最值問題的解題本質，其中拋物線僅為載體而已。

圖4

【例5】如圖5，四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形內任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________。

圖5

圖6

【賞析】本題俗稱“費馬點”問題，解題的關鍵是通過旋轉60°構造等邊三角形，將三條線段（AM，BM，CM）轉化在同一條直線（AE）上（如圖6），再利用“兩點之間，線段最短”解決問題，很好地體現了幾何類最值的解題本質。

總之，識別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應用，是有效解決最值問題的有效策略，在數學的學習與研究中教師應給予關注和強化，以更有效地提升數學學習效益。