淺談初中數學勾股定理的拓展教學

■甘肅省張掖市高臺縣第二中學 方海國

一、勾股定理拓展教學的作用

在初中勾股定理教學中，教師可以對其進行適當的拓展教學，讓學生對勾股定理具有更深的了解，從而幫助學生對數學這門學科具有更深的認知，也能夠讓學生明白與其相關的知識點，豐富學生的大腦，提高學生的發散性思維，有利于學生日后的數學學習和思考。還可以幫助學生對勾股定理進行證明，讓學生知其然，亦知其所以然。如果學生只會應用前人的數學研究成果，而沒有學會如何研究，這不但不會促進數學學習的進步，反而會造成數學研究的退步。因此，數學的學習要從基本知識下手，這樣才能夠逐漸提高學生的數學研究能力。通過對勾股定理應用的拓展，能夠讓學生明白數學不是簡單地進行學習，而是要在現實生活中多應用，從而增加學生學習數學的樂趣，促進學生學習和研究數學知識。

二、勾股定理知識拓展

勾股定理指的就是在直角三角形中，兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方。在初中數學教材中論述的是直角三角形中三條邊之間的關系，那么與直角三角形三條邊相關的面積是怎樣的呢？下面讓我們一起來探索。教師通過多媒體設備與大屏幕進行連接，在PPT中展示了格子圖形，并且在其中畫了一個直角三角形，并與學生進行互動。教師：“同學們，我們都知道直角三角形三條邊之間的關系，那么與三條邊相關的面積是何種關系呢？”學生們陷入了沉思，教師將直角三角形中的每一條邊都當作三角形的底邊，然后做一個等腰三角形，如右圖所示：

為了更好地讓學生進行研究，教師將班級學生進行分組，四個人為一組進行組內學習和討論，討論通過直角三角形的三條邊做出的等腰三角形是什么關系。在學生討論的過程中，教師應該仔細觀察學生的討論，看看每個人在討論時是如何闡明自身觀點的，從而判斷出哪些學生具有非常好的數學思維，然后可以多多與之交流和研究，也許會有新一代的數學家誕生。教師看到很多學生都在運用三角形面積公式在來回推導，最后發現都無法證明三個三角形之間的關系。這時，教師對學生們說：“如果沒有快捷的方法去證明三個三角形之間的關系，我們可以運用比較笨拙的方法去進行計算，因為圖形是在格子圖形中進行繪畫的，我們數一數格子的數量，不就能夠明確三者之間的關系了嘛。”學生通過細心地觀察和計算，發現兩個直角邊所形成的等腰三角形面積之和等于斜邊形成的等腰三角形面積。通過此勾股定理知識拓展可以讓我們明白，有時候數學的驗證運用笨方法解題反而會更加簡單，學生應該視情況而定，靈活運用數學方法去進行數學問題的解決，從而提高解題速率。在直角三角形的邊上做圖形是在二維層面上進行證明，如果引申為三維立體圖形，那么它們之間又有什么關系呢？我們可以將直角三角形的三條邊分別作為正方體的邊長來做一個空間三維圖形，如右圖所示：

教師：“同學們，我們首先來探究它們表面積之間的關系，看一下是否滿足兩個直角邊所形成的正方體表面積之和是否與斜邊為棱長的正方體表面積，那么如何才能夠計算出它們的表面積呢？”很多學生表示通過數格子來進行表面積的計算。教師：“數格子可以用于二維圖形的面積計算，但是此為三維立體結構，無法運用查格子的形式進行表示，有哪位同學能夠證明啊？”學生1：“老師，直角三角形的三邊長分別是a、b、c，那么我們就能夠知道正方體的棱長，正方體一個面的面積為棱長的平方，每個正方體都有6個面，那么三個立方體的表面積為6a2、6b2、6c2，而且我們知道a2+b2=c2，所以6a2+6b2=6c2。”教師：“既然我們證明了正方體表面積之間也是兩個小正方體的表面積之和等于第三邊，那么它們的體積是否也符合這個規律呢？”學生2：“它們的體積分別是a3、b3、c3，我們無法證明a3+b3=c3。”在進行勾股定理知識拓展的過程中，教師從直角三角形的三條邊的關系拓展到二維平面關系，然后再由二維平面關系拓展到三維立體圖形的表面積和體積之間的關系，從而能夠在學生的大腦中形成科學的思考方式，有利于幫助學習樹立全面思考的數學觀念，同時也讓學生學會了更多的數學證明方法，有利于學生數學素養的提升。

三、勾股定理方法拓展

初中數學教材中教師只是教授學生如何運用勾股定理進行解題，通過正向思維和反向思維來培養學生的發散性思維，但是并沒有告訴學生該如何去推導勾股定理，學生只明白有這個定理的存在，卻不知道是如何得來的。在進行拓展教學的過程中，教師應該針對勾股定理的推導方法進行教學講解，從而讓學生明白勾股定理是真實存在的，是經過推理而得來的，從而可以增加學生對勾股定理的信心，明白數學家是多么智慧，才能夠想到這樣的方法進行推理，有利于激發學生們研究數學的欲望。

首先，畫出一個直角三角形ABC，AB是它的斜邊，而BC和AC為直角邊。并且已知AB的長度為c，BC的長度為a，而AC的長度為b。這時候，我們在斜邊AB上取一個點D，使得BD=BC，并且在斜邊AB的延長線上取一點E，使BE=BD。然后以B點為圓心，BD為半徑做一個圓，如右圖所示：

因為三角形為直角三角形，所以我們能夠知道BC是垂直于AC的，所以AC為圓的切線。根據我們學習過的切割線定理可以得出AC2=AE?AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2=b2。所以可以證明勾股定理為a2+b2=c2。

這個數學定理推導如果不給學生提示，學生是無論如何也想不到要做一個輔助圓來進行證明的。教師通過此過程的推理，能夠讓學生明白數學定理的推導需要具有非常多的數學知識為基礎才能夠進行證明，從而促進學生對數學基礎知識學習的渴望，有利于學生的數學學習。

四、勾股定理應用拓展

數學是自然科學的一種，數學的研究主要是為了解決現實生活中的問題才被人研究。勾股定理在現實生活中具有非常重要的應用，比如在建筑工程中，很多時候需要判斷墻面與地面是否垂直。這時候我們可以通過米尺在墻面上準確測量出30cm的距離，并進行標記，然后在地面上測量40cm的距離，同樣進行標記。然后用米尺測量兩個標記點之間的距離是否為50cm，如果測量結果為50cm，可以證明墻面與地面是真正的垂直關系，如果中間有一些偏差，我們可以知道墻面與地面不垂直。因此，勾股定理在工程建筑中的作用非常大。除此之外，修井、造車、建房等都需要運用到勾股定理。教師通過對勾股定理的應用進行拓展，能夠讓學生明白數學的學習是十分有意義的，我們應該學以致用，正確運用數學知識去更好地建設我們的祖國。

五、結語

綜上所述，勾股定理拓展教學具有非常重要的作用，不但能夠讓學生進行勾股定理的應用，還能夠讓學生明白勾股定理是怎樣去進行證明的，了解與之相關的知識點以及在現實生活中的應用。勾股定理拓展教學旨在讓學生明白數學具有非常強的應用型，數學定理也都是為現實所服務的，同時還能幫助學生提高自身的數學思維，有利于學生對數學這門學科的深層次認知。