基于協整模型的商品期貨配對交易研究

羅辰宇 單磊

摘?要：本文以焦炭與螺紋鋼商品期貨主力連續合約為研究對象，分析其收盤價之間的協整關系，設計有效的套利模型，基于模型對殘差序列特性的描述，利用殘差均值回歸對配對交易的實現進行說明。從而利用模型進行配對交易完成期貨市場上的跨品種套利，獲得穩定的收益。

關鍵詞：商品期貨?配對交易?統計套利?協整模型

一、引言

（一）配對交易策略的定義

基于計算機技術的進步，量化投資得到了快速發展，配對交易就是其中一種。由于該策略結合數理統計理論與計算機技術對資產的歷史數據進行分析，利用計算機發出交易指令，在一定程度上克服了人性的弱點，在發達的金融市場中一直備受機構投資者的青睞。

這種投資方法從屬性上來看，是市場中性的。其主要目的是市場中兩個相關系數較高的投資標的價格之差隨著時間發生波動，當波動幅度突破了其長期均衡價差時，可以捕捉該突破實現套利，獲得穩定套利收益。

（二）配對交易策略的特征

配對交易具有兩大特征——短期的和中性的。

如定義所述，配對交易通過識別投資標的資產之間的價格相對偏離來實現套利，當兩個標的的價格發生偏離時預期這種偏離是暫時的，從長期來看兩者的價差會實現均值回歸，從而獲得收益。具體原因在于大部分投資者傾向于追漲殺跌，投資者的這種傾向在一定程度上導致了標的價格的動量效應，即價格會在一段時間內持續性地向一個方向變動。這種慣性又導致了標的價格在短期內的過度上漲或者下跌。但是這種過度的上漲或者下跌缺乏基本面和消息面的支撐，大部分是由非理性的因素所引起，因此從長期來看，市場最終會在理性因素的驅使下回歸正常，從而使標的價格回歸至合理水平。綜上所述，配對交易策略適用于短期內標的價格發生相對偏離的情況。

縱觀配對交易的完整實現過程，無論是做空還是做多，兩個標的的單獨操作都會受到自身價格變動的影響。即單邊來看，頭寸會有資產的個別風險暴露，以及相應的系統性風險敞口，但是作為整體，由于同時建立了多頭與空頭，系統性風險將會被對沖掉很大一部分，整個交易系統中只剩下資產自身的個別風險敞口，根據一價定律可得，兩個資產價差的波動會朝著均衡時的均值靠攏，這個過程就將個別風險轉化成了個別收益。

目前，我國股票市場主要以單邊做多為主，且為“T+1”的交易機制，雖然具有融資融券的業務，但兩融業務的標的數量有限且有著較高的準入門檻，這就使配對交易策略在股票市場中的應用受到了一定的限制，為了便于分析和探討配對交易策略在我國期貨市場中的應用性，本文選取商品期貨焦炭主力連續合約和螺紋鋼主力連續合約作為配對交易策略的研究對象。

（三）文獻綜述

1國外文獻綜述

Gatev等人在研究配對交易策略時，首次提出來以最小距離法尋找配對資產，并且制定了適當的交易規則，將交易閾值設定為資產價差的二倍標準差，當配對資產價差突破交易閾值時，觸發交易，當價差回歸歷史均值時平倉，該文章使用股市數據進行實證，結果顯示該策略能夠實現超額收益，說明了該策略在美國股市的實用性。

Vidyamurthy在研究傳統配對交易的基礎上，將協整理論引入配對交易策略，在對協整模型中的時間序列研究時，加入了對權重的考量，關于衡量配對的優劣，文章提出了相關系數衡量法、時間序列平穩性研究等方法，由于配對交易的核心交易邏輯在于捕捉價差序列異常偏差回歸均值的過程，所以結論是平穩性指標更重要。

Elliott等人在對資產價差的均值回歸過程進行建模時，首次使用高斯-馬爾科夫鏈來描述，并提出了隨機基差模型，其核心邏輯是在利用模型計算出理論價差的基礎上，對比實際資產價差，當模型計算出的價差與實際價差出現較大偏離時，意味著存在交易機會。

隨著技術與理論的發展，許多復雜的模型被用于配對交易，但是關于實操性而言，最小距離法的配對交易，以及基于協整理論的配對交易可操作性較強。

2國內文獻綜述

崔方達和吳亮利用最小距離法完成了對配對交易的分析與構建，同時對比了其他實現方法，相比于傳統的配對交易，其研究引入了適當的加權權重，從而計算該種配對的收益大小。結論顯示，國內市場的配對交易是可行的。

張連華在構建配對交易策略時，應用了協整理論，并以股指期貨與現貨為交易對象，構建了一套完整的高頻期限套利系統柜，文章中還囊括了套利系統設計的完整思路，進而得出了協整理論下的配對交易策略優于傳統配對交易策略。

張河生和聞岳春主要研究關于配對交易時交易閾值的設置，協整理論沒有考慮到價差序列的波動聚集性效應，即異方差性，故他們對殘差序列進行GARCH模型建模，使原來固定的交易閾值變成了一個隨時間變化的交易閾值時間序列。

二、配對交易的理論模型

目前，主流的配對交易方法有三種，即最小化偏差平方和、協整理論和隨機價差模型。

（一）最小化偏差平方和方法

最小化偏差平方和方法原理是在價格進行標準化后的向量空間中，找出向量距離最小的資產標的，對其進行相應的配對。在設計合理的交易規則后，對整體進行檢驗，從而發現配對交易的獲利性。最小距離法屬于非參數化方法大類，其核心在于計算以資產價格時間序列為元素的向量之間的歐氏距離，用歐氏距離刻畫資產價格之間可能存在的錯誤定價，在此基礎之上選擇策略合適的形成期，選擇能夠使向量間的距離平方最小化的資產進行配對。最后，構建完成的交易配對在進入交易期時，當兩者價格時間序列偏離達到交易規則設置的閾值時，生成交易信號，觸發交易。

（二）協整理論

協整理論根本性地解決了配對交易的參數化問題，為其提供了可靠的數理模型，開辟了配對交易的新局面。通過相關文獻可以了解到，大多數情況下，人們會假定資產價格的對數時間序列滿足隨機游走的特性，也就是說該序列本質是一種非平穩的序列，并不能直接用來做分析，但卻奠定了協整關系建立的基礎。協整理論表明，在兩個時間序列滿足平穩的前提下，就能夠使用該理論對其建模，然后分析二者的對數價格時間序列對其均衡水平的偏離程度，從而產生符合邏輯的建倉信號，最終獲得套利利潤。

在此對兩個資產A，B的價格時間序列做一假定，分別為{pAt}和{pBt}，則對數價格間的長期均衡關系可以表示為：

表達式中，εt表示平穩的時間序列，其均值為0，通常代表著錯誤的定價，其中反映出在協整模型中，價格時間序列組合偏離模型均衡時的均值的情況。常數項用a來表示。

基于有效市場的假設，對金融市場進行長期觀察可以得知，市場中被錯誤價格關系定價的資產，其價格最終將會被修正，從而不能為套利型投資者帶來套利空間。但實際情況是，當下的市場出現價格偏差時，在短期內難以得到迅速地修正，也就是說該種偏差存在于短期金融市場中，并且呈現出一定程度上的翻轉或持續的特點。由于協整模型中εt這個錯誤定價的時間序列是滿足平穩性的，即圍繞其均值做均值回歸運動，所以我們可以利用該性質。當其突破已經設定的閾值時，在一定程度上我們認為其發生了異常情況，接下來大概率將會均值回歸，據此可以依據模型比例關系，建立合適的頭寸，待偏離進行回歸時，可以平倉獲利。

（三）隨機價差模型

Elliott曾提出，金融資產實現配對后，對其價差過程{yt}，可以建立如下的線性狀態空間模型：

其中{yt}是資產A，B的價格時間序列{pAt}和{pBt}的價差{pAt-pBt}，wt，εt是獨立同分布的隨機變量，a=κθΔt，Δt是時間間隔，v，σ，b>0是正常數，xt是不可觀測的狀態價格。

從實證的角度看，隨機價差模型具有如下三個方面的優勢。第一，兩個金融資產的價格之差。一般而言，其長期均值并不都為常數，其均值主要受到兩個資產價格本身的影響，通常呈現出價差均值會隨著兩個標的資產價格的上升而變大的特點，同理，其均值也會隨著兩個標的資產價格的下降而變小，但使用資產價格的對數在一定程度上就能解決這個問題。第二，該模型相對容易處理，參數可以通過卡爾曼濾波算法進行估計。第三，隨機價差模型本質上屬于連續時間模型，這就為預測未來提供了很大的便利。

此方法的缺點在于應用該模型的限制較為苛刻，主要限制資產價格的長期均衡關系，即該使用模型的前提是從長期來看，配對的金融資產的均值回報必須是相同的。因此，現實情況中該模型的適用性受到了限制。

三、基于協整模型的實證分析

（一）標的選擇

由于我國股票市場做空機制并不十分完善，且做空門檻較高，故本文將研究對象選在期貨市場。我國是煤炭生產與消費大國，從產業鏈的角度來看，焦炭與鋼材的關系較為密切，焦炭是冶煉過程中的原料，冶煉大多數是為了煉鋼，因此在產業鏈的邏輯上，兩者的價格走勢具有一定的正向相關性，考慮到模型的驗證以及交易的活躍性，本文選取2020年1—12月，兩種商品近一年的主力連續合約收盤價作為研究對象進行研究（數據來源于Wind）。

（二）數據采集與統計分析

首先，對于已經得到時間序列數據作出一個較為直觀的時序圖，從而以可視化的方式對兩種商品的收盤價進行時間序列的分析，運用Stata計量軟件進行相關操作可以分別得到焦炭主力連續合約收盤價與螺紋鋼主力連續合約收盤價的時間序列圖，如圖1所示。

從圖1中可以觀察出，焦炭與螺紋鋼的期貨收盤價格并未圍繞其均值進行上下波動，而是在2020年4月以后總體上有一個逐漸上升的趨勢，即兩者收盤價的時間價格序列很明顯是非平穩的序列，故不能直接用于計量操作，否則會出現偽回歸的情況。

在對兩種商品收盤價時間序列進行協整分析之前，應該對焦炭與螺紋鋼的主力連續合約收盤價進行相關關系分析，結果如表1所示。

計算得出，兩者收盤價之間具有較強的相關性，相關系數達到7561%，滿足了配對交易策略的基本條件。

（三）對收盤價進行平穩性檢驗

協整關系有效的前提是資產價格的時間序列在經過一階差分后是平穩的時間序列，即兩個時間序列需要滿足同階單整，因此在建立模型之前先要對資產價格一階差分以后的時間序列進行平穩性檢驗。其結果如圖2和圖3所示。

對焦炭與螺紋鋼主力連續合約的收盤價格進行一階差分后，并對一階差分的時間序列進行單位根檢驗，其檢驗結果顯示，兩個一階差分后時間序列P值均為0，即二者一階差分后的時間序列為平穩的時間序列，可以進行后續的分析與模型建立的工作（見表2、表3）。

（四）建立模型

先將兩個商品價格一階差分時間序列進行OLS回歸，回歸結果如表4所示。

由表4可得二者一階差分時間序列回歸結果為：ΔPrb=20774+00986ΔPjt+εt，且該方程在90%置信水平上可以較為良好地描述二者的關系，即基本上可以認可該回歸模型。

回歸結果說明，焦炭主力連續合約價格每變動1%，螺紋鋼主力連續合約價格會同向變動00986%。

（五）殘差平穩性檢驗

根據前幾步的相關計算以及OLS回歸模型的建立后，可以得到一個關于殘差的時間序列，接著使用Stata計量軟件繪制殘差的時間序列圖，如圖4所示。

從圖4中可以清晰直觀地看出，殘差序列圍繞0軸進行上下波動，雖然從圖中可以大致推斷該殘差序列近似平穩，但是出于嚴謹性考慮，我們先對殘差序列進行描述性統計分析，觀察殘差的均值與方差等數量統計特征，緊接著對其進行單位根檢驗，主要是為了科學嚴謹地檢測該殘差序列是否為平穩序列，結果如表5所示。

經過計算，結果顯示殘差的均值約為0，其標準差σ約為5313。單位根檢驗的結果顯示，P值為0，意味著該殘差序列平穩，說明兩者的收盤價格的一階差分時間序列是具有協整關系的。

（六）殘差的分布及正態性檢驗

接下來我們需要對殘差的分布做一個統計性的描述與判斷，主要是為了找到能夠擬合殘差分布的已知統計分布模型，進而通過統計分布模型對殘差的分布特性進行分析。運用Stata對殘差繪制分布直方圖，同時加入正態分布曲線與之對比，目的是直觀地反映出殘差分布與正態分布之間的相似程度，最后對殘差進行正態性檢驗，更為嚴謹地判斷殘差的分布能否使用正態分布來刻畫，其結果如圖5所示。

在殘差序列進行正態性檢驗過程中，由表6的結果數據可知，本次檢驗一共有222個觀測值，其中W統計量為087649，標準差為20183，P值為0，所以在一定程度上可以認定該殘差序列滿足正態性分布，由此可以依照正態性分布的3σ原則進行合理的開平倉信號設定，從而避免過度頻繁生成開平倉信號，同時也避免開平倉信號生成頻率過低。依據正態性分布從而能夠較為簡單地找到設置開平倉信號的合理閾值。本文選取當殘差序列偏離其正負兩個標準差的閾值為例，當殘差序列偏離正負兩個標準差時，其大概率會回歸均值，綜上所述，我們可以據此建立配對交易的策略。

（七）配對交易閾值的確定

交易閾值的確定指的是按照殘差偏離其均值幾倍標準差的原則進行建倉，由于經過之前一系列檢驗后，發現殘差滿足均值回歸的效應，當殘差偏離殘差均值一旦達到Kσ的水平時，立刻按照協整關系的比例買入低估的資產，同時賣出相對高估的資產。

具體交易閾值的確定也在一定程度上受投資者個人偏好的影響，當投資者選擇較大的交易閾值時，其配對交易策略進行的交易次數就相對較少，因為需要殘差偏離其均值達到很大幅度時才能滿足條件，進而觸發交易。雖然較大閾值的策略相對來說反應較為遲鈍，可能在一定程度上會錯過一些投資機會，但是操作起來相對安全，且成功率較高。相反，投資者選擇較小的交易閾值來構建配對交易策略時，所進行的交易次數就較多，因為殘差偏離其均值很小的幅度就滿足了交易的條件，頻繁交易造成的手續費也相對較多，雖然在一定程度上能夠有更大概率抓住每次投資機會，但也容易會因為方向判斷錯誤導致被套牢或者虧損。

根據統計學的理論，當殘差時間序列符合正態分布且當殘差偏離超過其均值的2倍方差時，僅有228%的概率使得殘差接下來繼續偏離其均值，而有9772%的概率使殘差會圍繞其均值進行回歸。當殘差偏離超過其均值的15倍方差時，僅有668%的概率使殘差會繼續偏離其均值，而有9332%的概率使殘差進行均值回歸。綜上所述，選擇交易閾值K為15～2較為合適。

（八）歷史數據回測

將開倉閾值系數K定為2時，通過對2020年近一年的數據回測發現，該策略一共觸發了16次交易。其結果如圖6所示，落在兩倍標準差以外的殘差分布一共有16次。

例如，2020年1月10日，殘差向上突破2倍σ，達到了11489之高，由此可見焦炭處于相對低估狀態，而螺紋鋼處于相對高估狀態，由此可以按照模型系數比例對焦炭進行多頭開倉，對螺紋鋼進行空頭開倉，即每賣出一單位螺紋鋼的同時，需要買入00986單位的焦炭，等待殘差回歸其均值附近時，對之前建立的倉位進行平倉;又如2020年2月3日，殘差向下突破兩倍σ，處于-28707，由此可以推斷出此時的焦炭處于相對高估的狀態，而螺紋鋼處于相對低估的狀態，可以根據模型比例系數，對焦炭進行做空，對螺紋鋼進行做多，待殘差回歸其均值附近時選擇平倉，從而完成配對交易的整個過程，獲取相應的利潤。

四、模型的應用價值及展望

（一）模型的應用價值

通過研究焦炭和螺紋鋼主力連續合約收盤價格之間的協整關系，設計了較為可行和有效的模型，可以利用該模型進行配對交易并從中獲取利潤。雖然本次使用商品期貨進行研究，但是該模型研究的本質是具有高度相關的兩個金融產品的價格時間序列之間長期的協整均衡的關系。所以該模型的使用范圍并不僅限于國內的期貨市場，而是具有一定的延展性，隨著我國股票市場的不斷發展與成熟，做空機制不斷完善以后，該模型同樣適用于我國的股票市場。

（二）展望

該模型可以通過量化平臺進行建模并與歷史數據回測，通過對交易閾值進行參數尋優，測算出使收益率最高的交易閾值以滿足各類投資者的需求。

也可以對該模型的殘差序列進行進一步研究與建模，通過GARCH模型擬合殘差序列，從而得到一個動態的交易閾值時間序列。

參考文獻

[1]崔方達，吳亮配對交易的投資策略[J]統計與決策，2011（23）：156-159

[2]張連華基于高頻數據的股指期貨期現統計套利程序交易[J]計算機應用與軟件，2011，28（9）：93-95，156

[3]張河生，聞岳春基于參數調整的協整配對交易策略：理論模型及應用[J]西部金融，2013（1）：11-16

[4]徐杰，周志中中美股市跨市場配對交易實證分析[J]上海金融，2019（8）：26-30

[5]畢秀春，劉博，袁呂寧，張曙光帶止損條件的配對交易最優閾值[J]系統科學與數學，2019，39（7）：1117-1141

[6]宋洪波，劉盛坤基于協整的統計套利在玻璃期貨中的應用研究[J]中國證券期貨，2013（9）：29，31

[7]GATEV?E，GOETZMANN?W?N，ROUWENHORST?K?GPairs?trading：?Performance?of?a?relative-value?arbitrage?rule[J]The?Review?of?Financial?Studies，2006，19（3）：?797-827

[8]?VIDYAMURTHY?GPairs?Trading：?quantitative?methods?and?analysis[M]USA：Wiley?Finance，2004

[9]?ELLIOTT?R?J，VAN?DER?HOEK?J，MALCOLM?W?PPairs?trading[J]Quantitative?Finance，2005，5（3）.