淺談中學生數學思維能力的培養

陳亮

“使學生受到必要的數學教育，具有一定的數學素養，對于提高全民族素質，為培養社會主義建設人才是十分必要的。”這是現代教育提出最基本的要求。數學素養的提高最為重要的一點就是對學生數學思維的培養。本文結合筆者的教學經驗，就如何“對中學生數學思維的培養”進行闡述。

一、注重數學模型的構建

數學學習離不開解題，而解題的過程就是構建數學模型的過程。數學教學就是讓學生在靈活運用數學知識的基礎上，逐步提高數學建模能力。通過構建數學模型，可以培養學生的直覺思維能力，分析問題和發現事物本質的能力，提高學生運用模型解決問題的能力，從而有效發展學生的思維能力。

【例1】三位先生A、B、C帶著他們的妻子a、b、c到超市購物，至于誰是誰的妻子現在只能從下列條件來推測：他們6人，每人花在買商品的錢數（單位：元）正好等于商品數量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元錢，又知先生A比b多買9件商品，先生B比a多買7件商品.求先生C購買的商品數量。

改問題乍一看毫無頭緒，引導學生經過分析、比較，從多方面思考問題，進行思維變通，根據題意，設未知數，建立方程模型。

設一對夫妻，丈夫買了x件商品，妻子買了y件商品，則有x2-y2=48，即（x+y）（x-y）=48.∵x、y都是正整數，且x+y與x-y有相同的奇偶性，又∵x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴ 或 或 解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.符合x-y=9的只有一種，可見A買了13件商品，b買了4件.同時符合x-y=7的也只有一種，可知B買了8件，a買了1件.∴C買了7件，c買了11件.

二、引導學生運用辨證法觀點認識數學知識結構

1.要讓學生注意數學概念發展過程中矛盾的普遍性。以中學階段數集的發展為例：解方程x2-3=0與有理數發生矛盾，引出無理數的概念，從而使數集擴充到實數集;又x2+1=0在實數范圍內無解，從而引入虛數，使數的概念擴大到復數集。象這樣解決一個舊的矛盾后又產生一個新的矛盾，對數學的研究不斷發展和深入，使學生的思維越來越深刻，越來越開闊。

2.引導學生用運動及矛盾轉化的觀點來分析知識的功能及層次，亦可使靜止的數學“動”起來。例如公式sin2x+cos2x=1，粗看起來是一個“死”式，但通過仔細分析其功能，即可發現其運動性：公式從左到右，是變量化常量（降次）;從右到左，則是常量化變量（升次）。它在三角變換中具有常變互化作用，如：求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值的幾種做法，稍作變換sin2x=1-cos2x是正余弦互變，在兩邊加上2sinxcosx便有（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，則成為正余弦和與積的互換關系（如：求y=sinx+cosx+sinxcosx最大值）。由此使學生認識到事物的運動是絕對的，靜止則是相對的。

3.質量互變規律，充分理解知識的內在聯系，形成知識塊和知識鏈。在講立體幾何中的旋轉體時，從帶有普遍性的圓臺側面積π（R+r）l與體積 出發，當R→r、l→h達到極限狀態R=r、l=h時，圓臺則變成圓柱，其側面積與體積變成 、πR2h;而當r→0達到極限r=0時，則圓臺變成圓錐，其側面積和體積變成πRl與 。眾多的數學現象說明，當某種因素運動到一定程度時將引起質變。象這樣去引導學生去認識和分析問題，把數學知識串通起來，使知識更系統化，解題思路更清晰，思維更全面。

三、注意創新意識的培養

創新意識的培養是對數學思維培養的一個重要內容。在數學教學中要有意識地激發學生的主體意識，讓學生主動參與教學的全過程，培養他們勇于探索、敢于求異、大膽創新的精神。

（1）引導學生學會質疑，勤于發問。質疑是創新的基礎。疑問是思維的深化、探索的動力，因此教學中注意引導學生質疑。比如：為什么由 得出函數y的最小值為4是錯誤的。從而強調用基本不等式求最值時“正、定、等”的三個缺一不可。通過這樣不斷發問，對問題理解更透徹，思維更嚴密。

（2）引導學生換角度思考問題。在解決問題時，我們通常憑借已有的知識和方法選擇思路和入手的方向。當思維受阻時，就應當調整思維方向，變換角度思考問題。

【例2】函數Y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，求封閉的平面圖形的面積。

分析：若用常規的面積公式無法解決。換種思路，用割補法化為等積的矩形OABC或矩形AEFM或矩形BGMA的一半（如圖）。易求得S=4π。

（3）引導學生自己發現問題，自己解決問題。課堂教學中通常是教師提出問題，學生回答。學生學習的最好方法是自己發現問題，自己去解決問題，比如在學習拋物線及其標準方程的內容時，可以采用如下方法：首先讓學生看課本，然后討論如下問題：①有無其它建立坐標系的方法？為何建立課本的坐標系？②參數p的幾何意義是什么？③能否總結出拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程及圖形的記憶規律？④拋物線是雙曲線的一支嗎？然后老師補充，引導學生解決所提出的問題。

四、注重非智力因素的培養

大多數學生智力并無明顯差異，導致學生兩極分化的一個重要因素是非智力因素的發展存在差異，影響了數學思維的發展。

（1）培養學習興趣。“興趣是最好的老師。”問題是數學的心臟。美國數學教育家波利亞指出：“引入問題要活潑新鮮，有時可詼諧或說些似是而非、自相矛盾的見解，讓學生去猜，因為一旦表示出某種猜想就會追求猜想的正確與否，從而熱心起來。”同時，要善于利用無處不在的數學美，比如數學式的和諧、圖形的對稱、方法的獨特、技巧的奇妙等，數學美的教學會給學生帶來無窮樂趣，使其思維能力在樂趣中得到培養。

（2）激發學習動機。學習動機直接影響學習效率，從而影響學生思維能力的提高。在教學中，要有意識地突出教材與其它學科的聯系。如講正弦函數可引導學生研究無線電波、彈性物體振動和交流電等形成過程的曲線。還可結合教材進行愛國教育，如把有關我國科學技術發展成就引入到教學，介紹日益發展的現實世界對數學迫切需求的情況，以促使學生把學數學的近期目標與遠大理想緊密聯系起來，形成最佳的學習動機。

（3）建立情感態度。所謂“親其師才能信其道”，作為中學教師，教學應注意尊重個性，因材施教;愛生如子，言傳身教，使學生尊重你并喜歡你的課。

總之，新時期的中學數學教育要求我們突破傳統教學的局限性，把傳授知識、滲透方法、培養能力組成一個整體，使數學教學的價值超越數學領域，使數學精神、思想和方法銘刻在每一位學生的頭腦中，切實提升數學學科核心素養，為其終身發展打下良好基礎。