對一道“黃金分割點”與相似問題的探究與思考

施獻

[摘? 要] “黃金分割點”與相似圖形結合是中考常見的問題形式，可同時考查學生概念理解、知識應用、模型構建、問題轉化能力. 挖掘問題模型、關注模型原理、深度拓展探究可有效提升學生的解題能力. 文章將對一道“黃金分割點”問題深入探究，并反思模型教學，提出相應的建議.

[關鍵詞] 黃金比;相似;圖形;比例線段;拓展;模型

黃金分割問題在生活生產中十分常見，實際上在中考中也會涉及，考查時常結合特殊圖形，綜合幾何知識. 2020年徐州市中考壓軸題同時涉及了黃金比與相似圖形，具有極高的研究價值.

考題呈現

考題：（2020年江蘇徐州中考卷第27題）我們知道：如圖1，點B把線段AC分成兩部分，如果 = ，那么稱點B為線段AC的黃金分割點. 它們的比值為 .

（1）在圖1中，若AC=20 cm，則AB的長為______cm;

（2）如圖2，用邊長為20 cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應點H，得折痕CG. 試說明G是AB的黃金分割點;

（3）如圖3，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE>DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P. 他發現當PB與BC滿足某種關系時E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點. 請猜想小明的發現，并說明理由.

考題探究

1. 問題分析

第（1）問可將AC的長度代入比例式中，即可得到線段AB的長.

第（2）問需要證明點G是AB的黃金分割點，由黃金分割點的概念可知，需要滿足 = ，則求出BG的長度即可. 設EA和CG的延長線相交于點M，根據折疊特性以及平行性質可得∠EMC=∠ECM，則△EMC為等腰三角形，可得EM=EC，由已知線段長可得EM長，在Rt△CMD中構建三角函數，可求得tan∠DMC的值，后續就可求得BG的長度，從而可證點G是AB的黃金分割點.

第（3）問探究線段關系與黃金分割點的聯系，若PB=BC則可證△BAE≌△CBF，進而可得BF=AE，另外由兩線平行可證△AEF∽△BPF，結合相似性質構建方程，可得 和 的比值，從而可證點E和F分別是對應線段的黃金分割點.

2. 過程詳析

（1）由題意可得 = = ，已知AC=20 cm，則AB=? ×20 cm=10 -10 cm.

（2）延長EA和CG，設兩線的交點為M，如圖4所示. 已知四邊形ABCD為正方形，則DM∥BC，可推知∠EMC=∠BCG. 由折疊特性可得∠ECM=∠BCG，可推知∠EMC=∠ECM，所以EM=EC. 因為DE=10，DC=20，則EC=10 =EM，DM=EM+DE=10+10 . 在Rt△CMD中，已知CD=20，DM=10+10 ，則tan∠DMC= = = =tan∠BCG. 在Rt△BCG中，已知BC=20，tan∠BCG= ，則BG=BC·tan∠BCG=10 -10. 所以 = = ，即點G為AB的黃金分割點.

（3）當PB=BC時，E，F恰好分別是AD，AB的黃金分割點，理由如下.

因為CF⊥BE，則∠BCF+∠CBE=90°，又知∠CBE+∠ABE=90°，所以∠ABE=∠BCF. 結合條件可證△BAE≌△CBF（ASA），由全等性質可得AE=BF. 設AE=BF=x，則AF=a-x，因為AD∥CP，則△AEF∽△BPF，由相似性質可得 = ，即 = ，所以x2+ax-a2=0，可解得x= 或x= （舍去），即BF=AE= ，所以 = = ，即E，F恰好分別是AD，AB的黃金分割點.

評析：上述是關于黃金分割點的幾何綜合題，問題采用知識探究的方式，第（1）問是基于概念的知識強化，第（2）問則是關于黃金分割點的幾何模型構建，第（3）則是基于概念的拓展探究，其中涉及了三角形相似和全等證明，是對幾何知識定理的深度綜合.

模型探究

上述是初中數學常見的黃金分割點問題，其中第三問為核心之問，屬于比例與黃金分割點問題，探究的本質是線段之間的比例關系，其中構建三角形相似是問題突破的關鍵，也是論證黃金分割點的核心定理. 上述屬于相似型黃金分割模型，本質上是兩條直線被三條平行線所截獲得. 下面三步進行模型探究：模型提取→模型探源→模型拓展.

1. 模型提取

基于上述問題圖像進行模型提取，如圖5所示，該模型中△AEF∽△BPF，其中 = ，模型中的兩條平行線段不參與比例構建，而AB和EP為相交關系，交點為F，可視為是三角形“反A”型相似的黃金分割模型.

2. 模型探源

將點E沿著EA方向移動至圖6所示位置，再過點F作AE的平行線，與EP的交點設為點D，并將各線段分別延長，可得圖6所示模型，故考題模型的原型為“平行線分線段”. 圖中點F在AB線段上的位置不變，故其中的黃金分割關系固定，顯然點D為線段EP的黃金分割點.

3. 模型拓展

基于“平行線分線段”可構建三角形“A”型相似的黃金分割模型，將AB平移至點E，并對圖形進行截取，如圖7所示. 圖中△ADF的底邊DF與△APB的底邊PB相平行，顯然△ADF∽△APB，由相似性質可得 = ，根據黃金分割點的定義可知，線段比值為 ，即點D和E分別是所在線段的黃金分割點，同時在該模型中平行線段本身沒有參與比例構建.

拓展探究

“黃金分割點”是基于點在直線上的位置關系所構建的，實際上探索直線對圖形的分割關系可構建“黃金分割線”，而在“黃金分割線”的兩個端點中必然有一個為所在線段的“黃金分割點”，下面結合考題進行拓展探究.

問題：如圖8所示，我們已了解點C將線段AB分為兩部分，若 = ，則稱點C為線段AB的黃金分割點. 校數學小組進行知識拓展探究，在輔導老師的引導下由黃金分割點拓展到“黃金分割線”，類似地對“黃金分割線”進行了定義：直線l將面積為S的圖形分割為兩部分，設兩部分的面積分別為S1和S2，若 = ，則稱直線l為該圖形的黃金分割線.

如圖9所示，在△ABC中，已知∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D，試回答下列問題.

（1）證明：點D是線段AB的黃金分割點;

（2）證明：直線CD是△ABC的黃金分割線.

解析：首先需要理解題干關于“黃金分割線”的定義，然后參考解析“黃金分割點”的思路進行探究. 顯然“黃金分割點”關注的是線段之間的比例關系，而“黃金分割線”的關注點為圖形面積之間的比例關系，而結合面積公式可將其轉化為線段乘積問題，進而完成證明.

（1）因為∠A=36°，AB=AC，則∠B=∠ACB=72°. 由于CD平分∠ACB，則∠ACD=∠DCB=36°，可推知∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，所以BC=DC=AD. 可證△BCD∽△BAC，由相似性質可得 = ，所以 = ，可證點D是線段AB的黃金分割點.

（2）可將△ABC視為是以AB為底，點C為頂點的三角形，設AB邊上的高為h，則有S =? AD·h，S =? DB·h，S =? AB·h，則 = ， = . 由于點D是線段AB的黃金分割點，則 = ，所以 = ，由定義可證直線CD是△ABC的黃金分割線.

評析：上述是關于“黃金分割線”的新定義考題，其構建方式參考了“黃金分割點”，由三角形相似比例拓展到三角形面積比例. 構建面積模型，利用相似比例轉化面積問題是解析的關鍵. 雖然考題的定義新穎，但其知識引導性極強，對于拓展思維有著一定的幫助.

解后反思

上述對黃金分割與圖形相似進行了深入探究，通過探索考題模型，還原了模型的知識背景，同時基于模型進一步探究了“黃金分割線”，對于提升學生的數學思維有著一定的幫助，下面基于教學實踐深入思考.

1. 關注概念的模型構建

“黃金分割點”是初中數學重要的概念，與生活實際有著很強的聯系，在教學中要引導學生關注概念中的模型，結合模型理解知識本質. 以上述“黃金分割點”問題為例，實際上是關于線段長的特殊比例關系，與圖形相似有著緊密的聯系. 教學中應立足幾何相似開展問題探究，關注模型的特征、性質，探索問題轉化的基本策略.

2. 注重模型的拓展變式

“黃金分割點”模型考題十分常見，問題常以教材的基本概念為基礎，結合幾何圖形綜合構建，問題涉及相似性質、平行線性質、全等特性等幾何知識，故問題的拓展性強. 教學中要關注模型的知識關聯，引導學生開展知識拓展，結合考題進行深入探究，培養學生思維的發散性和創新性. 如上述基于“黃金分割點”的相似模型和關聯概念進行深層拓展，探索了“黃金分割點”的“A型”相似模型以及“黃金分割線”.

3. 重視數學的思維發展

知識探究是發展學生思維、提升學生能力的重要方式，教學中要重視兩方面內容：一是學生的思維活動，二是數學思想的滲透. 由于模型探究過程相對比較煩瑣，需要經歷問題引導、模型提取、本質探索、知識拓展等多個環節，探索過程的思維活動極為豐富，若不能合理引導，學生很容易陷入思維誤區. 而數學思想是教學的重點，對于學生的素養提升極為關鍵，利用探究方式可取得良好的解題效果. 因此，探究教學中需合理設置數學活動，關注學生的思維發展，促進學生綜合能力的提升.