多元表征下的小學數學可視化教學

仲崇梅

[摘? 要] 可視化的數學教學能有效地提升學生的數學學習力。在數學教學中，教師可以借助多元表征，諸如操作性表征、工具性表征以及圖形化表征，引導學生的可視化學習。可視化學習能讓學生的數學學習觸手可及、動態展現、有跡可循。可視化教學能讓學生的數學學習真正發生、深度發生。

[關鍵詞] 小學數學;可視化教學;多元表征

數學是一門抽象的科學，小學生的思維是以直觀形象思維為主。在數學教學中，教師必須加強可視化教學，以便讓抽象的數學知識直觀化、形象化，讓隱性的數學知識顯性化，讓學生不可視的思維可視化。可視化教學的手段、方式、方法是多樣化的，既可以引導學生動手操作，也可以引導學生借助新媒體新技術工具，還可以借助圖表、圖形、圖像等。通過可視化教學，能有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

一、操作性表征：讓學習觸“手”可及

工欲善其事，必先利其器。可視化的數學教學，可以借助出聲的言語表達思維，也可以借助外顯的動作表達思維。作為教師，要引導學生“既動手”“又動腦”，從而緊貼學生學習心理設計、研發教學。操作性表征，能讓學生的數學學習觸“手”可及，能讓學生的數學學習智慧從指間上跳出來。正如陶行知先生所說，“動手又動腦，才能有創造”。操作性表征，開辟了學生用手思考問題的道路。

操作性表征，就是要讓學生將數學知識“做”出來。做，從某種意義上說，是一種直接感受、體驗的思維方式。一方面，操作為學生的數學思維提供了外援幫助;另一方面，思維為學生的動手做活動提供了內援支撐。通過“做數學”，不僅能讓學生掌握知識，更能讓學生積累數學活動經驗，感悟數學思想和方法。比如教學“三角形三邊關系”（蘇教版四年級下冊），學生借助結構化的素材——“不同規格的小棒”，拼搭三角形。在動手做的過程中，學生不僅發現了“兩根小棒的長度和必須大于第三根小棒的長度，三根小棒才能圍成三角形”，而且發現了圍成三角形的“小秘密”，即“三根小棒要‘拱起來”。有學生在動手做的過程中，與同組的學生圍成的三角形進行比較，進而發現了“三角形的穩定性”，即“三根小棒的長度確定了，三角形的形狀和大小也就確定了”。由此，萌發了學生對“全等三角形”的深度探索。有學生認為，圍成的兩個三角形的三根小棒的長度相等，兩個三角形就完全相同;有學生說，圍成三角形的兩根小棒的長度相等，它們的夾角相等，兩個三角形也完全相同;還有學生說，圍成三角形的三個角都相等，兩個三角形不一定完全相同;有學生迅速補充，圍成三角形的三個角相等，只要再加上一條邊相等，三角形就完全相同，等等。這樣的操作探索、表征，不正是“全等三角形”“相似三角形”的條件的一種主動發現、建構嗎？

“動手做”不僅是一種動手能力的體現，更是思維活動方式的體驗。在動手做的過程中，學生不僅能感受、體驗到操作性的快樂，更能感受到思維性的快樂。教學中，教師要引導學生“做數學”，在觀察、操作、實驗、演示等具身性活動中，讓學生研究路徑顯性化。直觀操作有助學生思維的形成，同時思維的形成又能反哺學生操作。操作性表征，能讓學生形成“做思共生”的學習樣態。

二、工具性表征：讓學習“動”態展現

在小學數學教學中，教師不僅可以運用傳統的可視化學習工具，如粉筆、白板等，而且可以運用現代信息技術工具。現代信息技術往往集“數、形、表”于一體。充分運用現代媒體技術，能將不可視的數學知識可視化，進而能讓學生對數學知識展開深入而細致的思考，獲得替代性感受、體驗。在“互聯網+”時代，教師可以借助網絡資源，包括圖片、視聽、動畫等媒體資源，對數學知識進行模擬、演示、詮釋等。通過新媒體、新技術的應用，讓學生發現數學知識背后的本質，體會到數學知識是清晰的、自然的、水到渠成的。工具性表征，能讓學生的數學學習“動”態展現。作為教師，要注重數學知識的本質滲透、融入，從而促進學生的數學知識理解，增強學生的數學知識應用。

比如教學“圓的周長”（蘇教版五年級下冊），很多教師都喜歡帶上圓形物體，引導學生通過數學實驗“滾圓”“繞圓”的方式或方法測量圓的周長。這樣的導入方式，容易讓學生滋生這樣的疑問：既然我們可以通過滾圓、繞圓等多種方法去測定圓的周長，我們為什么要探究圓的周長和直徑之間的關系呢？筆者在教學中，也向學生展示了圓在生活中的原型、模型等素材，但更為重要的是，筆者通過新媒體新技術，展示了一個動態的“軌跡圓”。這樣的展示，生發出學生的認知沖突，即圓的周長不能依賴于實驗，而必須通過實驗探究周長與直徑、半徑的關系。在實驗的過程中，學生可以借助傳統工具測量圓的周長，然后借助新媒體新技術統計學生的實驗數據，匯總學生的實驗數據，即時顯示圓的周長實驗數據與直徑測量數據、半徑測量數據的商，等等。通過數據的即時顯現，學生能夠認識到圓周率是一個特殊的數，即圓周率是一個無限不循環小數。借助新媒體新技術，可以讓圓周率的計算更為精確、精準。教學中，教師還可以運用多媒體技術還原展示劉徽的割圓術，從“圓的內接正六邊形”到“內接正十二邊形”“內接正二十四邊形”等，隨著分割的邊數越來越多，正多邊形越來越接近圓。這里，新媒體新技術能讓學生直觀地感受、體驗到極限思想。

傳統的學習工具用起來簡單、直觀、方便，現代的學習工具能讓學生的數學學習更為精確、更為精準、更有趣味性。隨著時代發展，電子化工具越來越多，從多媒體課件到微課、從Flash動畫到幾何畫板，從手機到平板電腦等，學生的學習工具越來越豐富、越來越多元，交互性越來越強，功能越來越強大。很多原來學生無法直觀感知的數學知識都可以動態地顯現，很多原來看不見的學生的思維都能看到。

三、圖形化表征：讓學習有跡可循

在小學數學教學中，教師應充分運用圖示、圖式，包括思維導圖、板書、表格、記錄單、知識結構圖等進行可視化教學。數學的知識是體系化的，既有基本的知識點、概念的教學，又有方法類型的概括。借助知識框架圖，能讓數學知識集結起來，建構知識塊、知識串、知識群，讓知識成為一種結構化的載體。正如法國數學家笛卡爾所說：“沒有任何東西會比幾何圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達事物是很有幫助的。”

圖形化表征，主要訴諸學生的感官，尤其是視覺感官。通過圖形化表征，學生的數學學習能夠有跡可循。在圖形化表征中，抽象的代數問題能夠幾何化，復雜的數學問題能夠直觀化、形象化、簡單化。圖形化表征，能敞亮學生的數學思維，在客觀的數學知識與學生的主觀心智之間搭建一座橋梁，從而讓隱藏在數學知識背后的數學本質、思想和方法、文化精神等都顯現出來。作為教師，不僅要引導學生識圖，更要引導學生制圖、建圖、創圖，讓圖能歸納知識，進行知識表達。比如在學生學完了“因數和倍數”（蘇教版五年級下冊）這一部分內容后，教師可以通過知識結構圖、框架圖、思維導圖等，引導學生追溯知識的源流。將本單元的相關數學概念如“因數與倍數”“2、3、5的倍數的特征”“奇數和偶數”“公因數與公倍數”“質數與合數”“互質數”“最大公因數”“最小公倍數”等相關概念融入其中，厘清概念的種屬關系，把握每個數學概念的上位概念和下位概念等。通過圖形化表征，相關的、相似的、相對的、相反的數學知識能夠被有效地集聚，從而建構了一個數學知識結構。這樣的知識結構不僅能讓學生回望已有的知識，更能讓學生探索未知的知識，從而為發展奠定堅實的基礎。

古希臘智者派的主要代表人物普羅泰戈拉說：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需要被點燃的火把。”借助圖式化表征，不僅能將抽象的數量問題具象化，讓學生獲得對數學知識的本質性理解，而且能讓學生把握數學知識的關聯，獲得對數學知識的關系性理解。圖形化表征，是學生可視化學習的一個重要手段、方式和方法，能開掘學生的數學學習潛質，展現學生的數學學習水平。

可視化的學習手段是學生數學學習的“路線圖”，也是學生數學學習的“導航儀”，更是學生數學學習的“風向標”。借助操作性表征、工具性表征和圖形化表征，能引導學生的數學認知從低階走向高階。當然，教學中教師也要力避學生對可視化學習工具的依賴，讓學生的數學學習能超越可視化的學習工具，從而培育學生的抽象性思維。可視化的數學教學不僅能讓學生的數學學習真正發生，而且能讓學生的數學學習深度發生。