構型與建模：滲透學生的模型化思想

王瑞俊

[摘? 要] 數學模型的建構不僅需要量的積累，更需要型的感悟。在小學數學教學中，教師可以借助學生的經驗、操作、推理、抽象等，引導學生構型建模。作為教師，要引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的全過程，才能有效地引導學生進行模型建構。通過構型建模，能引導學生感悟模的豐富、博大與深邃，進而形成對數學認知的飛躍。

[關鍵詞] 小學數學;構型;建模;模型思想

“模型思想”是小學數學教學中最為重要的數學思想。東北師范大學史寧中教授認為，“數學的基本思想有三：抽象、推理和建模”。通過建構數學模型，引導學生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用。一般而言，建構數學模型，需要經歷這樣的過程：對模型素材的感知，對模型素材的探究，綜合并提煉出數學模型，對模型進行應用推廣等。模型不僅需要素材的量的積累，更需要型的感悟。只有這樣，才能引導學生感悟模的豐富、博大與深邃，進而形成對數學素材的認知的飛躍。

一、借助經驗，引導學生構型建模

經驗是學生建構數學模型的根基。從某種意義上說，數學模型是“現實世界中數學關系的一種精準的、有效的刻畫”。小學數學中的概念、規律、定義等都可以從廣義上看成是一種模型。常見的對學生有影響力的模型主要有“乘法模型”“函變模型”“分數模型”等。相對于數學知識，數學模型是更為上位的一種構造。引導學生構型建模，關鍵是要讓這些模型獲得學生經驗（包括知識經驗和生活經驗）的支撐、支持。同樣，相對于數學知識，模型的數學包攝力、應用力更強。

引導學生構型建模，首先需要教師給學生提供豐富的素材。通過豐富的素材，引導學生聚類分析。比如教學“乘法分配律”（人教版四年級下冊）這部分內容，教師不能僅僅給學生提供教材中安排的單一化的素材，而必須給學生提供更為廣泛的素材，包括內容的廣泛和形式的廣泛。如筆者在教學中，向學生提供了生活中豐富的經驗化素材：學校四年級舉行植樹活動，四年級有男生450名，女生420名，每人植樹4棵，一共能夠植樹多少棵？不僅如此，在解決問題的過程中，筆者引導學生將這些學生經驗、生活中的數量關系內化為點子圖、長方形面積圖等，進而促進學生對乘法分配律的理解。由于有了經驗的支持，學生能夠將數量關系與幾何圖形的面積結合起來進行比較。借助于計算、乘法意義、幾何圖形面積等，引導學生自主建構乘法分配律的數學模型。如此，學生不僅能把握乘法分配律的模型的“形”，更能領悟乘法分配律的“質”。學生的數學認知就會從感性走向理性。

借助學生的生活、經驗，引導學生將乘法分配律與已經學習的諸多數學知識結合起來，更讓乘法分配律這一模型有效地納入學生認知系統之中，比如“兩三位數乘兩位數的豎式計算”，等等。不僅如此，筆者還因勢利導，引導學生從兩個加數乘一個數過渡到三個加數乘一個數，進而過渡到多個加數乘一位數等。通過經驗，學生獲得了對乘法分配律的深度理解。

二、借助操作，引導學生構型建模

數學模型是抽象化的數學存在，但學生對數學模型的理解卻應當是感性的。在數學教學中，教師要引導學生進行操作，來讓學生構型建模。瑞士著名教育心理學家皮亞杰認為小學生的數學思維以直觀動作、具體形象思維為主體。作為教師，要善于引導學生進行數學化操作，讓學生獲取數學知識，引導學生感悟數學思想，建立數學模型。在數學操作中，學生內在的數學建模能力獲得外源性支撐。

比如教學“平行四邊形的面積”（人教版五年級上冊），筆者首先引導學生猜想：平行四邊形的面積可以怎樣計算？學生通過推拉長方形演變成平行四邊形，以及平行四邊形可以剪切為長方形，提出了兩種數學猜想：一是平行四邊的面積等于底乘斜邊，二是平行四邊形的面積等于底乘高。為此，筆者引導學生動手操作，運用數方格的方法進行驗證，促成學生的自悟自得。通過驗證，學生發現平行四邊形的面積不等于底乘斜邊，而是等于底乘高。基于此，學生展開深度思考。有學生將長方形推拉成平行四邊形向極限處思考，即當平行四邊形非常“傾斜”時，平行四邊形近似于一條直線，也就是說平行四邊形的面積近似于0。有學生通過剪拼法將平行四邊形推拉成長方形，通過比較、感悟，學生自主建構出平行四邊形的面積公式模型。

數學建模不僅是一種數學學習方法、策略，更是一種數學學習思想。著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究。”通過操作，能引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程。教學中，教師要引導學生從“境”到“型”，又要引導學生從“型”到“境”。而操作，就能引導學生在“境”和“型”之間轉換。

三、借助推理，引導學生構型建模

推理是數學的基本思想，也是建構數學模型的基本方法。數學學習，就是從一些具體的材料出發，通過抽象、推理，建構數學模型。相比較于實驗歸納，抽象的邏輯推理更能培養學生的數學建模能力。因為事實上，并不是每個數學模型都需要通過實驗歸納形成的，有時候數學模型的建構過程就是建立在模型的相互演繹基礎上的。正是在這一意義上，著名數理邏輯學家羅素說，“什么是數學？數學就是符號加邏輯”。

推理必須符合一定的邏輯，即使是直覺推理，也必須具有一定的合理性。邏輯性是推理的核心要義。借助推理引導學生進行數學建模，必須具有一定的邏輯性。比如教學“圓柱的體積”（人教版六年級下冊）這部分內容，在引導學生通過動手做實驗，將圓柱體的數學模型切拼成近似的長方體模型之后，筆者從不同的視角引導學生比較長方體和圓柱體。當長方體正放時，學生推理長方體底面的長相當于圓柱底面周長的一半，長方體底面的寬相當于圓柱底面的半徑，長方體的高相當于圓柱體的高，進而學生建構出這樣的圓柱體體積的計算模型：V=πr2h;當長方體側放時，學生推理長方體的底面積相當于圓柱體側面積的一半，長方體的高相當于圓柱體的半徑，進而學生建構出這樣的圓柱體體積的計算模型：V=S側÷2×r;當長方體再換方向放置，學生再次比較長方體和圓柱體，從而建構出圓柱體體積的計算模型：V=hr× ，等等。借助嚴密的推理，學生從不同的視角建構出不同的圓柱體體積的計算模型，這些多元化的計算模型是學生有效進行數學運用的重要載體。

推理是一種基本的數學思想和方法。學生根據長方體的體積計算公式經過演繹推理建構出圓柱體的體積計算模型的過程，既是模型的演繹推理過程，也是促進學生邏輯推理能力的發展過程。在這個過程中，學生既要觀察長方體與圓柱體之間的關系、聯系，又要通過等量代換逐步推理、建構出圓柱體的體積計算公式。通過推理建構數學模型，不僅有助于積累豐富的推理思考經驗，同時也有助于促進學生邏輯推理能力的發展。

四、借助抽象概括，引導學生構型建模

“抽象”一詞，其基本含義有抽取、排除、提純等意思。抽象、概括是提煉數學本質屬性、舍棄非本質屬性的過程。抽象概括是數學的基本方法，也是數學的基本思想。借助抽象、概括，可以引導學生構型建模，助推學生形成良好的認知結構。一般的，如果一個人的抽象概括水平高，這個人的數學關鍵能力、必備品格、思維水平就強。相應地，這個人也應該具備良好的數學核心素養。

借助抽象概括建構數學模型，能讓學生的數學學習形成質的飛躍。因為學生數學思想的領會和掌握是一個從個別、特殊走向一般，從具體走向抽象的過程。比如教學“用數對確定位置”（人教版五年級上冊）這部分內容，筆者從學生的生活經驗出發，創設座位圖情境，引導學生用自己的方式將某些學生的位置表示出來。通過同一位置的不同表示方法，引導學生自主建構確定位置的規則。通過不同學生創設不同的確定位置的符號表示方法，確定用數對確定位置的數學規則，即“用列（從左往右數）和行（從前往后數）”，建構用數對確定位置的模型，即（x，y）。通過抽象概括，讓學生對數對的認知從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級。有學生推而廣之認為，如果要在空間中用數對確定點的位置，就必須用三個數來刻畫了。在這里，數學模型不僅具有一種方法論的意義，更具有一種本體論的意義。在數學教學中，教師不僅要讓學生建構數學模型，更要引導學生的數學應用。通過應用，深化學生對數學模型的領悟。

在發展學生核心素養的背景下，為了助推學生的模型建構，深化學生對數學模型的感悟，教師要有意識地引導學生進行模型應用。數學模型的建構不僅需要量的積累，更需要型的感悟。作為教師，要引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的全過程，才能有效地引導學生進行模型建構。在這個過程中，教師要滲透、孕育數學思想和方法，促進學生對數學思想和方法的感悟。