顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型在滑坡變形預測中的應用

李紹建

(寧波市鎮海規劃勘測設計研究院，浙江 寧波 315200)

0 引 言

滑坡是世界上最主要的地質災害類型之一。滑坡不但會嚴重破壞山區的局部環境，還會讓山區里的人民的生命財產受到嚴重的威脅[1]：損壞交通、水利、電力、通信等設施，破壞或污染飲用水源，沖毀良田及經濟作物，形成堰塞湖，等等，使人民生活于恐慌之中；更甚者會掩埋城鎮、村莊，摧毀風景區、工礦區，造成大量人員傷亡和重大經濟損失。

降雨型滑坡，即由降雨引發的滑坡，是常見的滑坡類型之一。誘發滑坡的因素有很多，但常言道“治坡先治水”“無水不滑坡”，可見，由降雨(地下水)引發的滑坡較為突出[2]。降雨增大了滑坡體的孔隙水壓力，而且滑坡體的自重量增加，容易造成坡體滑動；降雨浸泡和軟化了滑動面，降低了滑坡體的抗剪強度，也容易導致坡體滑動；滑坡體的干濕交替使巖土體開裂，產生節理裂隙，同樣容易導致坡體滑動。

滑坡體在內因和外因的作用下逐漸失穩，產生形變。這種形變過程可以理解為滑坡體狀態改變的一種信號——隨時間和環境因素不斷變化而產生的，那么，將卡爾曼濾波模型應用于滑坡體形變進行分析，分別估計出每個監測點的狀態參數，由點及面，從而反映出整個滑坡體的運動狀態[3]。

1 滑坡變形的卡爾曼濾波模型建立

如前所述，認為滑坡體的變形過程是一個隨機過程，同時認為位移速度的均值是不變的。基于此，針對滑坡體變形建立如下方程。

(1)狀態方程。滑坡體的變化比較緩慢，可僅將位置和位移速度作為狀態參數，而將位移加速度視作隨機干擾。

設s(t)是滑坡體某監測點在t時刻的位移，v(t)是速度，a(t)是加速度，則有：

(1)

(2)

(2)觀測方程。又設l(t)是滑坡體某監測點在t時刻的觀測位移， Δ(t)是觀測噪聲，則有：

(3)

(3)狀態方程、觀測方程的離散化。將式(2)和式(3)分別離散化后得到：

(4)

(5)

2 顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型

為了解決傳統卡爾曼濾波的濾波發散問題，Sage和Husa提出了自適應卡爾曼濾波模型，該模型原理很簡單，應用較廣泛。針對降雨型滑坡建立的顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型(為了便于描述，以下簡稱“顧及降雨量模型”)，即在簡化的Sage-Husa自適應卡爾曼濾波模型(以下簡稱“簡化Sage-Husa模型”)的基礎上，引入降雨量參數。即：

xk+1=Φk+1,kxk+Ψk+1,kuk+Γk+1,kwk

(6)

zk+1=Hk+1xk+1+vk+1

(7)

式中，xk是n維狀態向量，zk+1是m維觀測序列，Φk+1,k是n×n維非奇異狀態一步轉移矩陣，uk為降雨量影響因子，Ψk+1,k為降雨量因子的系數，Γk+1,k是n×p維過程噪聲輸入矩陣，Hk+1是m×n維觀測矩陣，wk和vk+1為相互獨立的帶時變均值和協方差矩陣的正態白噪聲序列。

式中，δkj是Kronecker-δ函數，Qk是wk的方差矩陣，Rk是vk的方差矩陣。

狀態一步預測

(8)

一步預測誤差

(9)

一步預測誤差方差陣

(10)

濾波增益矩陣

(11)

狀態估計

(12)

狀態估計誤差方差陣

Pk+1=[I-Kk+1Hk+1]Pk+1,k

(13)

時變噪聲統計估計器

(14)

(15)

式中，Pk為誤差方差矩陣，Kk為濾波增益矩陣，dk=(1-b)/(1-bk+1),0

3 算 例

本文研究的滑坡體處在一個斜坡地帶，是古泥石流堆積體，西高東低，高差達100多米，是典型的降雨型滑坡。在滑坡體上布設了多個GPS變形監測點位和雨量采集點位。采用靜態GPS觀測網采集了4年多的位移數據，采用雨量監測儀采集了2年多的日降雨量。本文選取其中某一監測點的觀測數據，分別采用簡化Sage-Husa模型和顧及降雨量模型進行對比分析研究。

根據前兩期的觀測數據確定系統的初始值，同時取遺忘因子b為0.98。而降雨量因子的系數Ψk+1,k，通常情況下選值為0.1～0.5，但各滑坡體的降雨情況都不一樣，所以只能通過不同取值逐一去對比分析，從而選取一個最適合值。經過分析，本文選取降雨量因子系數為0.337。

簡化Sage-Husa模型和顧及降雨量模型的濾波和預測結果如下。

4 結 語

對表1和表2進行分析，得出以下結論：

表1 兩種模型濾波值與實測值對比

表2 兩種模型預測值與實測值對比

(1)自適應卡爾曼濾波模型及其改進模型均能很好地反映了該滑坡體變形的實際情況，體現了卡爾曼濾波對動態數據的實時處理能力；同時，本文提出的顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型所得的殘差最大為0.507 mm，最小為0.002 mm，其絕對均值為0.062 mm，且都不超過1 mm，濾波效果優于自適應卡爾曼濾波模型，能夠更好地擬合該滑坡體的運動狀態。

(2)本文提出的顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型的預測效果更好，再次說明了顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型能夠較好地反映了該滑坡體的位移和速率變化情況。但是，對于較長期數的預測，從表2殘差數據可以看出，兩種模型均不適宜。

(3)在分析降雨型滑坡變形的過程中，降雨(地下水位)對滑坡體的影響不容忽視。本文中提出的顧及降雨量因子的自適應卡爾曼濾波模型，無論是濾波精度，還是預測效果，都更加優秀，說明該模型更加真實地反映了該滑坡體的變形情況。