立足數學探究 發展核心素養

潘竹樹 林運來

（1.泉州市第九中學，福建 泉州 362000；2.廈門大學附屬實驗中學，福建 漳州 363123）

現代數學哲學認為，數學是一個探究和認知的過程，數學教學應展示這一創造性活動，但現實中，數學探究卻處于尷尬境地.在一次培訓中，筆者有幸聆聽了福建省教育廳李迅副廳長的講座，他送給數學教師八個字“前因后果、來龍去脈”，筆者深受啟發.一堂完整的課應當包括三個環節，即知識從何而來？知識是什么？知識從何而去?這是一個因果鏈.［1］筆者結合教學實踐，談談自己的一些思考和體會.

一、追根溯源探“來龍”，培養抽象素養

抽象是數學的一種基本思想與基本方法，初中代數體系以“式”為支撐，用字母表示數，讓“數”到“式”華麗轉身，實現小學“算術”到初中“代數”質的飛躍，教師要善于把握每一個機會，以教材為載體，培養學生的抽象素養.

（一）概念教學明本質

概念教學體現數學本質就是要揭示知識的內在聯系，讓學生理解數學概念的形成過程，掌握相關的數學思想方法，經歷“做數學”再創造的過程［2］，有利于培養學生的抽象素養.

以乘方概念為例，教學中可以先探“來龍”——乘法，為方便計算幾個相同的數相加，引入乘法，如5+5+5=15；通過類比，求幾個相同因數的積的運算叫做乘方，自然而然地引入了乘方，如5× 5× 5=53=125.這樣追求概念間聯系的教學，對學生深刻理解乘方的意義，避免把乘方運算當成乘法運算.

（二）新課教學探本源

以《同類項》一課為例，有一位教師首先在課件上出示兩男兩女的照片，然后讓學生分類：學生七嘴八舌說，可以按男女分類，可以按是否帶照眼鏡分類，可以按襯衫顏色、領子形狀分類等.接著舉了幾個例子讓學生分類，歸納同類項的概念，最后讓學生練習合并同類項.（如圖1）

圖1

本節課沒有抓住數學的本質，主要存在三個問題.第一、沒有理清同類項的“來龍”是從數抽象為式；第二、分類標準與數學無關聯，為什么這樣分類？第三、分類的目的不明確，分類是為了什么？

通過思維導圖可知，用字母表示數從而產生式，代數式包括整式和分式，整式包含單項式和多項式，同類項是探究合并多項式的必由之路，包含著培養學生數學抽象的重要契機.筆者認為可以進行如下改進：

首先讓學生嘗試簡化計算：

讓學生把分數換成字母計算500a+155b+400a-55b.并說明單元項怎么分類？

其次、出示足夠多的單項式讓學生分類.

（1）55m，（2）-ab2，（3）10，（4）4a2b，（5）400m，（6）155ab，（7）2ab2，（8）-8，（9）9a2b，（10）-3ba，（11）-5a2b，（12）π，（13）-30m，（14）55ab.

一眼讓學生看出分類結果的題目是沒有思維含量的，而本題具有挑戰性，可以讓學生先獨立思考，再發揮小組的作用，讓學生討論后再發言.

有的學生會說以“正負數”分類，再引導學生思考帶有負號的單項式一定是負數嗎？顯然這種分類不合理.然后再引導學生進行分類：

單項式次數為0：（3）10，（8）-8，（12）π

單項式次數為1：（1）500m，（5）400m，（13）-30m

單項式次數為2：（6）155ab，（10）-3ba，（14）55ab

單項式次數為3：第一類：（2）-ab2，（7）2ab2；第二類：（4）4a2b，（9）9a2b，（11）-5a2b.

這樣明確了分類的標準，以單項式的次數來分類，從而讓學生體驗分類的目的，為合并同類項作鋪墊，培養了學生抽象素養.

二、運籌帷幄索“去脈”，培養模型素養

對核心概念、思想、方法教師要精心設計，從學生最近發展區出發，設計有聯系的學習情境，設計思維連貫的問題串，在聯系、對比、變化、拓展問題中把握本質，理解本質.這些核心內容正是學生的思維生長點，是學生能力形成的核心點，是學生形成原創思維的好載體，教學切不可一筆帶過.［3］

（一）從知識的縱橫聯系中索“去脈”

圖形的“動態變換”比起“靜態圖形”更能說明圖形所具備的性質，更能揭示圖形的一般規律.以“斜邊直角邊（HL）”一課引入為例.

1.方式一（直接出示命題）

首先，出示問題“在兩個直角三角形中，當斜邊和一條直角邊分別對應相等時，這兩個直角三角形是否全等？”

其次，讓學生動手操作感知命題是正確的.

最后，畫圖并證明正確性，概括得到定理.

2.方式二（聯想遷移驗證）

聯想遷移：“邊角邊（ ）”一課，教師曾經舉如下“模型”（反例），說明兩個三角形滿足“邊邊角”不一定全等.

如上圖2，△ABD和△ABC中，滿足AD=AC,∠B=∠B,AB=AB，但兩個三角形不全等.

如上圖3，△ABC和△ACD中，滿足AB=AD,∠B=∠D,AC=AC，但兩個三角形不全等.

這兩個三角形之所以不全等，結合尺規作圖，可以觀察到會產生一個銳角三角形和一個鈍角三角形.這個定理貌似與“斜邊直角邊（HL）”沒有關聯，其實不然，挖掘這個“反例”，可以尋找到“斜邊直角邊（HL）”的作圖與證明依據，這牽涉到以上兩個“反例”的“去脈”，很好體現了新舊知識的關聯，起到按圖索驥的效果.

實驗驗證：幾何畫板實驗操作如下，如上圖2，以點A為圓心，線段AC為半徑的圓，與BC邊所在直線只有一個交點時，點C與點D重合，即AC⊥BC時，所畫出的三角形是唯一的（如圖4），則可以驗證“斜邊直角邊（HL）”是正確的.

同理，如上圖3，以點A為圓心，線段AB為半徑的圓，與BC邊所在直線只有一個點時，點B與點D重合，即AB⊥BC時，所得三角形也唯一（圖5）.

方式二，通過“反例”的再利用，“斜邊和直角邊（HL）”的引入自然，與直接給命題效果形成鮮明對比，不會讓學生感覺突然——為什么會想到這一個命題？實驗操作可以揭示這兩個知識點的“前因后果”，讓學生體驗到“動態”幾何和“靜態”幾何是和諧統一的，提升了學生的模型素養.

（二）從知識的發展設計“來龍去脈”

知識的發展脈絡是有章可循的，但這不代表學生就會自主建構知識.教師應該在教學中創造機會，讓學生經歷觀察、猜想、探究，在合作交流中逐漸形成獨特的知識網絡.

如《求二次函數的最大（小）值》一課，求y=x2-2x+4的最小值，可以按如下思維導圖展開教學.（圖6）

圖6

這樣有利于學生把握“來龍去脈”，把所學的知識串成串，讓思維以可視化的形式出現，讓學生利用a2≥0，來構造模型，既可以減輕學生的學習負擔，又可以培養學生的模型素養.

（三）從關鍵教學點串聯“來龍去脈”

教材中，合乎邏輯的、符合學生認知規律的教學內容安排，必須以數學知識的發生發展過程為基本依據.［4］課堂教學是落實核心素養的關鍵，而教學設計則是從課程標準、教材到課堂教學的橋梁.［5］

圖7

“二元一次方程組是反映現實世界數量之間相等關系的數學模型”，《加減消元法》一課是關鍵教學點，因為它解二元一次方程組最常用的方法，解方程組變化最為紛繁復雜，方法最為靈活多樣，可以提升學生類比思想、整體思想和化歸思想.以本課題組一位成員市級一等獎的微課《解二元一次方程組》為例.

1.回顧比較，初探數學模型

法一：把3x+5y=5 轉化為，代入②，消去x得關于y的一元一次方程，再求x，回顧代入消元法；

法二：把3x+5y=5 轉化為3x=5-5y，把3x看成一個整體，直接代入②消去x，解關于y的一元一次方程求出y，再求x；

法三：觀察到兩個方程的x系數相等，將①、②兩式相減，消去x，得關于y的一元一次方程，求出y，再求x.

通過以上三種方法，抓住核心思想“消元”，培養了學生整體思想——初探模型.

2.類比化歸，確立數學模型

引導學生思考：怎樣消去一個未知數？先消去哪個未知數比較好？觀察式子特征：兩個方程中x,y的系數互為相反數，類比例1 相加消元.通過將方程組中的兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去其中的一個未知數，轉化為一元一次方程，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法——建立模型.

3.拓展應用，應用數學模型

分析解題思路：x與y的系數都不同怎么辦？再次化歸，可以將x與y的系數都“調”到相等或互為相反數，優化解法.

圖8

本節課之所以能獲得市一等獎，主要因為有如下三個亮點.第一、成功把握了解二元一次方程組“來龍去脈”，來龍——一元一次方程和代入法消元法為基礎，去脈——加減消元；第二、從頭到尾緊緊抓住數學思想方法“消元”，且消元方法不拘一格；第三、經歷兩次化歸思想，化二元為一元，化系數不等為系數相等或互為相反數——應用模型.

三、常尋思“前因后果”，培養邏輯素養

數學教師，要不斷地思考每一節課，每個知識點所處的位置，借助思維導圖幫助分析知識網絡，使核心素養的培養具體化，寫入每一節課的教學目標，使核心素養落地生根.

（一）數學教學體系的天然需要

數學知識具有系統性、結構性、邏輯性，教學中應引導學生認識知識系統的整體結構，形成知識網絡.首先教師自己要理解數學知識的本質，知道新授知識在數學系統中的“來龍”與“去脈”；其次分析學生已有的認知經驗，準確激發知識的“生長點”，讓其體會新舊知識的聯系，引導學生從整體性角度進行認知，形成合理的邏輯結構.［6］

如“三角形兩邊之和大于第三邊”的本質是“兩點之間，線段最短”（“來龍”）.《立體圖形的表面展開圖》一課的“去脈”，在《勾股定理的應用》可以考查長、寬、高均不相等的長方體上相對兩個頂點之間“線路最短問題”（3 條不同線路比較大小），或者考查一只螞蟻從圓柱體表面上吃到蜂蜜“線路最短問題”.

圖9

（二）思維導圖理清“前因后果”

以《整式的乘除》為例，學生在初一年學習了整式的加減，初二學習了整式的乘除.學生學習“多項式除以單項式”后，通過思維導圖發現了問題.

生:“單項式乘以單項式”對應的有“單項式除以單項式”，“單項式乘以多項式”對應的有“多項式除以單項式”，為什么只有“多項式乘以多項式”，卻沒有“多項式除以多項式”？

師：是嗎？你非常認真觀察，看看書中有沒有多項式除以多項式？（教師故驚訝狀）

生：我反復看了，真是找不到.

師：再仔細找一下，有別的什么新的內容嗎？

生：我只發現有一個新的學習內容“因式分解”.

師：下學期，大家將學習計算“分式的約分”(2x2-4x) ÷(x-2)？根據分數的約分給我們啟示，利用單項式乘多項式的逆運算，可得2x(x-2) ÷(x-2)=2x.

生：也就是說要找到被除式和除式相同的因式，再進行約分.

師：分子的這種運算叫“因式分解”，這個式子的分子與分母都是多項式嗎？你有什么發現.

生：“因式分解”的本質就是為了解決“多項式除以多項式”的問題作準備.

本例中通過“前因”（數的約分）來啟發學生，同時為“后果”（多項式除以多項式）作鋪墊，解釋了學生的疑惑，知其然、知其所以然，培養了學生的邏輯素養.

四、教學思考

追求前因后果、來龍去脈的教學，會讓課堂充滿理性的光輝.每一個知識點的到來都水到渠成，有理有據，不會讓學生感覺突兀；知識點間的關聯都順理成章，不會強加給學生，學生接受起來毫無違和感；知識點環環相扣，前征后引，布局精妙.在教學中詮釋教材所承載的課標精神.猶如海中的冰山，我們不能只看到海平面上的冰山一角，而要發現海平面下方冰山的根基.［7］這樣教學貌似簡單，實則對教師提出了很高的要求，要求教師獨具匠心，讓教材為我所用，又不拘泥于教材.以課堂這個主陣地，真正培養學生的核心素養.