結構準靜態解耦載荷識別方法與結構隨機載荷譜

孫晶晶，孫守光，王斌杰，馬 爽，張亞禹，李 強

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院, 北京 100044)

載荷譜是進行結構可靠性設計和可靠性試驗驗證的基礎。建立載荷譜的前提是獲取結構在實際運用條件下的完整載荷歷程。工程結構運用載荷歷程的獲取，一般是通過測量載荷在結構上產生的響應進行反求，稱之為載荷識別問題[1]。這方面的研究工作較早始于航空領域[2]，后來逐步擴展至航天、車輛、船舶、海洋平臺等研究領域[3-9]。

載荷識別問題屬于結構動力學中的反問題，這類問題解決起來通常要比結構動力學中的正問題更為復雜[1,9]。載荷識別方法廣義上分為頻域法和時域法[10]。經過四十余年的發展，已建立起直接求逆方法、正則化方法、小波分析法、遺傳算法、逆虛擬激勵法和神經網絡算法等多種方法[1,3,11-14]。這些方法總體上還屬于探索性的，成功應用于獲取工程結構運用載荷歷程的案例還有限[1,9-10,15]。

載荷識別問題解決起來更為困難的主要原因在于必須對載荷響應傳遞矩陣進行求逆運算。識別誤差過大常常導致載荷識別失敗，其根源在于載荷響應傳遞矩陣往往具有病態特性，求逆過程中會導致嚴重的誤差放大[16-18]。

本文以轉向架構架這一軌道車輛結構中可靠性問題最為突出的典型結構為對象，研究構架在實際運用條件下的載荷識別問題。結合構架實際運用情況下的動態特性分析，針對載荷響應傳遞矩陣的病態特性控制和矩陣求逆過程中的誤差控制問題，探索針對性的解決方案。在此基礎上，進一步研究確立構架基本載荷系。結合構架運用載荷歷程的獲取和構架基本載荷系的確立，可為建立構架隨機載荷譜創造充分條件。

1 載荷識別方法的基本原理

對于任一結構的載荷識別問題，載荷與響應之間的傳遞關系均可以表示為

ε(ω)=H(ω)F(ω)

(1)

式中:ε(ω)為響應向量;F(ω)為載荷向量;H(ω) 為載荷響應傳遞矩陣;ω為向量和矩陣元素的載荷頻率。

在實際測試響應時，總會產生測量誤差，由上式求解后，產生的載荷誤差可以通過下式估計[16-19]

(2)

式中:‖F‖為載荷向量范數;‖δF‖為載荷誤差向量范數;‖ε‖為響應向量范數;‖δε‖為響應誤差向量范數;cond(H)為傳遞矩陣的條件數，可以表示為

(3)

其中，λmax和λmin分別為傳遞矩陣的最大特征值和最小特征值。顯然傳遞矩陣的條件數不小于1。

綜合式(2)和式(3)可知，通過式(1)求解載荷時，產生的載荷相對誤差一般會得到放大。實際上，大量的載荷識別案例表明，當傳遞矩陣條件數很大時，載荷識別會產生無法接受的誤差。載荷識別過程中，通常情況下傳遞矩陣的條件數難于時時把握和控制，這使得載荷識別誤差的控制也難以有效，成為導致載荷識別失敗的主要原因[1,9-10,15]。如何在載荷識別過程中，可靠控制傳遞矩陣的條件數不至于過大是保證載荷識別取得成功的關鍵因素。

對于轉向架構架而言，由于置于一系懸掛之上，構架動載荷與動應變響應主要集中在10 Hz以下頻段[20-22]，而構架彈性模態的第一階固有頻率通常在30 Hz左右[23-25]；在載荷識別的范疇中，構架動載荷識別基本上屬于低頻范圍。目前大部分的動載荷識別方法基本上是針對中、高頻動載荷的，卻很難準確識別出低頻范圍的動載荷[9]。鑒于構架動載荷的低頻特征和動載荷識別方法的發展現狀，本研究嘗試采用準靜態標定方法來確定構架傳遞矩陣，并以構架動應變響應作為測試響應，此時式(1)可以表示為

ε=KP

(4)

式中：ε為構架動應變響應向量；P為構架動載荷向量；K為構架載荷應變傳遞矩陣，在準靜態標定方式下，K為常數矩陣。

為實現對傳遞矩陣K的條件數的可靠把控，有效抑制載荷識別誤差，本研究采用解耦方法標定構架傳遞矩陣，通過最大限度地消除應變響應中載荷之間的相互影響，使傳遞矩陣K實現準對角化。當傳遞矩陣中非對角元素遠小于對角元素時，對角線上的元素可以作為傳遞矩陣K的特征值的可靠估計，進而通過式(3)能夠可靠估計傳遞矩陣K的條件數。因此，當采用解耦方法標定構架傳遞矩陣時，可以方便地確定傳遞矩陣的條件數，通過標定方案的適當調整可以實現對于條件數的有效把控，確保傳遞矩陣具備良好特性，進而有效控制載荷識別誤差。此外，傳遞矩陣求逆過程是載荷識別產生誤差的主要環節，當傳遞矩陣高度實現對角化后，矩陣求逆的大量運算可以省略，這也十分有利于減小載荷識別誤差。

綜上所述，消除載荷系之間的響應耦合，實現載荷系解耦的原則應包括兩點：①載荷響應傳遞矩陣實現準對角化，即非對角元素遠遠小于對角元素；②載荷響應傳遞矩陣的條件數應盡量小。

2 構架載荷傳遞矩陣的解耦標定

以提速客車209P 轉向架構架為研究對象。該構架承受的載荷有18個，分別為輪軌激擾產生的各軸端垂向載荷、橫向載荷和縱向載荷(12個)，牽引產生的縱向載荷(2個)，制動時產生的制動吊座垂向載荷(4個)。各載荷作用位置及作用方式見圖1。

圖1 構架載荷示意圖

2.1 構架基本載荷系

在實際運用過程中，轉向架構架承受的載荷與構架的基本運動方式和運用方式相適應，以若干組相對獨立的方式成組作用于構架，每一載荷組合均以自平衡方式呈現，這些載荷組合稱之為構架基本載荷系。構架的基本運動方式主要包括浮沉、側滾、扭轉、橫移、菱形等，基本運用方式主要包括牽引、制動等。每種基本運動和運用方式所對應的構架基本載荷系由UIC 515-4—2003[26]和BS EN 13749—2011[27]等國際規范詳細描述，分別為浮沉載荷系Fv、側滾載荷系Fr、扭轉載荷系Fw、橫向載荷系Ft、菱形載荷系Fo、縱向牽引載荷系Fl和制動載荷系Fb，見圖2。

圖2 構架各基本載荷系示意

在北京交通大學結構強度實驗室多年開展構架載荷測試研究[28-29]的基礎上，依據構架的運動特征，構架上還有可能存在現行國際規范中尚不包含的蛇行載荷系Fa，構架蛇行載荷系示意見圖3。圖3中，py1～py2為蛇行載荷，pRx1～pRx4為蛇行載荷反作用力。本研究將通過測試蛇行載荷系和對比分析由該載荷系產生的損傷情況，來判斷是否有必要將該載荷系增加到構架基本載荷系中。

圖3 構架蛇行載荷系示意圖

2.2 構架基本載荷系的解耦標定

構架載荷以具有自平衡特征的基本載荷系方式成組出現。相應地構架的載荷解耦傳遞矩陣標定也是以基本載荷系為對象開展的。

在具體標定過程中，將構架基本載荷系分成2組：一組為浮沉載荷系、側滾載荷系、扭轉載荷系、橫向載荷系、菱形載荷系和制動載荷系，以構架應變響應作為測試響應，通過構架標定載荷應變傳遞系數；另一組為縱向牽引載荷系和蛇行載荷系，以牽引拉桿應變響應作為測試響應，通過牽引拉桿標定載荷應變傳遞系數。

構架基本載荷系的解耦標定是一項十分細膩的工作。首先要對各基本載荷系在構架上產生的應變分布特性進行有限元分析，確定與每一基本載荷系對應的強響應區和弱響應區，并分析其應變分布具有的對稱性特征。在確定某一基本載荷系的解耦測量方案時，測點區域選取方面一般優先考慮該基本載荷系對應的強響應區，最好同時又屬于其他基本載荷系對應的弱響應區；測點應變組合選取方面則主要利用各基本載荷系產生的應變分布的對稱性特征，必要時可進一步利用同一測點相互垂直方向上的應變通常符號相反的特點。構架各基本載荷系之間具有相對獨立性，各自產生的應變分布情況和對稱性特征差異顯著，實踐表明按上述方式確定構架基本載荷系的解耦測量方案是可行的。要獲得構架基本載荷系之間比較理想的解耦效果，還必須對選定測點區域的測點應變組合進行優化，這需要對測點應變組合進行大量、細致的比選。

在解耦標定過程中，為了有效控制構架基本載荷系傳遞矩陣可能出現的病態狀況，還需要對各基本載荷系對于各自測點應變組合的傳遞系數進行比較，實時估計傳遞矩陣的條件數，必要時調整解耦標定方案。

下面介紹2個典型的構架基本載荷系的解耦標定情況，分別是構架浮沉載荷系和菱形載荷系，其中浮沉載荷系的解耦實現相對容易，而菱形載荷系的解耦實現則相對困難。構架浮沉載荷系和菱形載荷系的解耦標定見表1、表2。

表1 構架浮沉載荷系的解耦標定

表2 構架菱形載荷系的解耦標定

由表1和表2可見：對于選定的構架浮沉載荷系優化測點應變組合，與構架浮沉載荷系自身影響相比，其他基本載荷系的影響不超過6%；對于選定的構架菱形載荷系優化測點應變組合，與構架菱形載荷系自身影響相比，其他基本載荷系的影響不超過2%。總體來看，解耦標定后的構架基本載荷系傳遞矩陣的非對角元素與對角元素相比，在量值上小兩個數量級，比較好地實現了構架基本載荷系傳遞矩陣解耦。

解耦標定后，構架基本載荷系相對于各自測點應變組合的傳遞系數，居于構架基本載荷系傳遞矩陣的對角線上，見表3。由于該傳遞矩陣已實現高度解耦，這些對角線元素可以作為構架基本載荷系傳遞矩陣特征值的可靠估計。對于采用構架應變作為測試響應的基本載荷系，最大特征值對應菱形載荷系，最小特征值對應制動載荷系，作為相應傳遞矩陣條件數的良好估值，兩者之比僅為3.6，顯示出基于構架測試的基本載荷系傳遞矩陣狀態優良。對于采用牽引拉桿應變作為測試響應的基本載荷系，兩者對應的特征值相同，條件數估值為1，顯示出基于拉桿測試的基本載荷系傳遞矩陣處于最佳狀態。

表3 構架基本載荷系與各自測點應變組合的傳遞系數 10-6·kN-1

綜合上述，本研究比較好地實現了構架基本載荷系傳遞矩陣解耦，獲得的傳遞矩陣狀態優良，能夠有效控制傳遞矩陣求逆產生的誤差，為開展構架載荷識別工作奠定了堅實的基礎。

3 試驗驗證

開展構架運用載荷識別的目標是建立構架載荷譜，進而服務于構架定量化可靠性設計、提升和試驗驗證。要實現這一目標，識別出的構架運用載荷必須能夠正確再現構架的運用損傷，這是檢驗構架載荷識別是否成功的根本標準。構架的運用損傷直接取決于構架在運用過程中所承受的動應力歷程，可由對應運用里程的等效動應力來度量，具體計算方法詳見文獻[30-31]。因此，識別出的構架運用載荷能否正確再現相同運用區段對應的動應力，特別是整個運用過程對應的等效動應力，就成為檢驗構架載荷識別是否成功的直接標準。要進行上述對比，需要開展兩項工作：①在實驗室內標定構架基本載荷系與構架關鍵部位應力(或應變)之間的傳遞關系;②同時測試構架載荷和這些關鍵部位的動應力。

3.1 構架載荷應變傳遞關系

在構架上選取典型測點，①覆蓋構架疲勞控制部位，②充分體現與構架所有基本載荷系的關聯性。本研究共選取了56個典型測點，其中D1～D24測點為構架側梁區域，D25～D44測點為構架橫側梁連接區域, D45～D48測點為構架牽引座區, D49～D56測點為構架制動座區，具體見圖4。

圖4 構架應變典型測點示意

采用類似于構架運用狀態的約束方式，按照與構架各基本載荷系對應的加載方式，分別對構架分級施加載荷，在確認構架約束狀況和載荷接觸區域穩定后，測試構架典型測點的應變，計算出構架基本載荷系與典型測點應變之間的傳遞系數，具體見表4。

表4 構架基本載荷系與典型測點應變之間的傳遞系數 10-6·kN-1

3.2 線路試驗簡介

提速客車209P轉向架構架于2015-10-13—2015-10-19，在大連至赤峰區段實際運用條件下進行測試。經運用部門確認，該線路路況較一般線路惡劣，具備典型性，適合于構架運用可靠性考核。測試共包含3個往返，累計運行里程5 826 km，累計運行時長近96 h。

構架測滾載荷系和菱形載荷系的測試情況見圖5。構架典型測點的動應力測試情況見圖6。限于數據量的龐大，為較清楚地顯示工況特征，圖中僅展示了時長600 s典型工況的測試結果。

圖5 構架基本載荷系典型工況時域圖

圖6 構架典型測點實測動應力時域圖

3.3 構架載荷識別分析評價

前已說明，對于構架載荷識別的效果，應當以能否正確再現構架等效動應力來評價。為此，首先需要采用線路實測獲得的構架各基本載荷系的時間歷程，借助構架各基本載荷系與構架典型測點應變傳遞系數，通過疊加各基本載荷系產生的動應力響應，來預測構架典型測點動應力的時間歷程。

構架代表性測點實測動應力和載荷預測動應力在典型工況下的時間歷程見圖7。由圖7可見，預測動應力與實測動應力相比，大小相近，變化趨勢基本一致。上述測點與一個完整測試往返相對應的實測動應力和預測動應力的頻譜圖見圖8。從圖8中可以看出：實測動應力頻域響應主要集中在10 Hz以下；采用實測構架載荷預測的動應力與實測動應力的頻譜變化趨勢基本相同，總體吻合良好。

圖7 構架典型測點實測動應力與預測動應力的時域對比情況

圖8 構架測點預測動應力與實測動應力頻譜圖

檢驗構架載荷識別成效的綜合性標準，也是更具根本性的標準，在于實測構架載荷預測的等效動應力與實測等效動應力是否一致。本文中，各類等效動應力均對應于設計壽命里程(全壽命運用里程)，實測載荷預測的動應力和實測動應力均擴展至全壽命運用里程進行等效。對于209P轉向架構架，全壽命運用里程取1 200萬km。構架關鍵測點實測載荷預測等效動應力與實測等效動應力之間的比較情況見圖9。由圖9可見，對于構架上所有的關鍵測點，預測等效動應力與實測等效動應力的比值均在0.8～1.3之間，誤差不超過30%。

圖9 構架關鍵測點載荷預測等效動應力與實測等效動應力之比

為更進一步評價構架實測載荷的效果，圖10還給出了構架可靠性設計現行國際規范對應的用于可靠性設計評價的應力幅(等價于本文中的等效動應力)與構架實測等效動應力的比較情況。由圖10可見，構架可靠性設計現行國際規范給出的應力幅與實測等效動應力的比值在1.3～4.0 之間，誤差可高達400%。按本研究實測構架載荷預測的等效動應力，比國際現行規范給出的等效動應力精度提高一個數量級。

圖10 構架現行國際規范等效動應力與實測等效動應力之比

根據文獻[30]，運用壽命與等效動應力之間存在如下關系

(5)

式中：Dp為基于實測載荷預測的運用壽命；Dm為基于實測動應力預測的運用壽命；σp為實測載荷預測的等效動應力；σm為實測等效動應力；m為S-N曲線斜率，對于209P轉向架焊接構架，m取值為3.5。

根據式(5)可知，本研究基于實測載荷預測的運用壽命與基于實測動應力預測的運用壽命的比值在0.46～2.5倍之間，預測精度基本滿足定量預測構架運用壽命需要，可用于既有構架可靠性提升；而基于現行國際規范載荷預測的運用壽命與基于實測動應力預測的運用壽命的比值在2.5～128倍之間，表明構架可靠性設計現行國際規范還處于定性層面，不適合定量預測構架運用壽命。

上述比較顯示：對于載荷響應主要集中于低頻區域的轉向架構架，采用本研究建立的結構準靜態解耦載荷識別方法，獲得的構架載荷識別結果可以比較好地預測構架運用等效動應力，也即構架運用損傷情況，已能夠滿足既有構架可靠性提升需要。從適應構架可靠性設計要求這一根本目標來看，本研究開展的構架載荷識別工作是相當成功的。

4 構架隨機載荷譜

建立構架隨機載荷譜需要兩方面條件：①確立構架完備的基本載荷系；②獲取構架實際運用條件下各基本載荷系具有代表性的載荷時間歷程。

在構架基本載荷系的確立方面，在構架可靠性設計現行國際規范的基礎上，補充了蛇行載荷系。構架各測點與蛇行載荷系對應的等效動應力同全部基本載荷系對應等效動應力的對比見圖11。由圖11可見，在構架牽引拉桿座區域，蛇行載荷系對等效動應力有顯著影響；對于其他區域則影響不大；總的來看，增加蛇行載荷系是有意義的。

圖11 蛇行載荷系對構架關鍵測點預測等效動應力的響應比

由圖9可知，基于本研究確立的8個構架基本載荷系及其實測運用載荷時間歷程，可以比較高的精度預測構架運用等效動應力；一方面表明這8個基本載荷系對于拖車構架具有完備性；另一方面也表明結合這些基本載荷系的運用載荷時間歷程，可以直接建立構架隨機載荷譜。

隨機載荷譜是最接近于實際運用條件的載荷譜，應用時全部基本載荷系同步施加于構架之上，每個基本載荷系對應著各自的載荷時間歷程。

當應用于構架可靠性設計或者構架可靠性試驗驗證時，隨機載荷譜還不夠方便，對試驗設備的要求也往往過高，實際應用時一般還需要在此基礎上編制出方便應用的載荷譜。

5 討論

在應用本研究建立的結構準靜態解耦載荷識別方法時，載荷傳遞矩陣的解耦標定過程至關重要，需要把控好每一個關鍵細節。由圖8可知，在5 Hz以下的低頻區域，構架關鍵測點動應力的載荷預測結果與實測結果還存在較為明顯的偏差。具體來看，測點14的預測結果大于實測值，而測點31的預測結果則小于實測值。不僅兩者的偏離趨勢不同，而且在低頻區域偏差更為顯著，也與準靜態識別方法的基本原理相抵觸。經過細致地分析整個測試過程，認為問題的主要原因在于：在標定過程中，對于構架的約束處理還不夠到位，特別是在側滾載荷系和扭轉載荷系的標定過程中，垂向約束剛度顯著大于構架運用時的垂向在位剛度，這對于構架橫側梁連接區域的載荷響應傳遞關系可以產生較為明顯的影響。

對于城市軌道車輛和高速動車組，構架動應力測試情況顯示，構架的1～2個彈性模態可能被有效激發[21,29,32-33]。對于彈性模態能夠被有效激發的構架，載荷識別時應在本研究建立的結構準靜態解耦載荷識別方法的基礎上，進一步考慮彈性模態的動態放大效應。就構架而言，激發出的彈性模態一般呈明顯分離狀態，可以在某一模態頻率附近頻段，按單自由度方式識別模態參數，進而計算并消除彈性模態的動態放大效應。

6 結論

本研究在分析結構載荷識別誤差產生機理的基礎上，針對低頻響應結構，建立了結構準靜態解耦載荷識別方法，通過確保載荷響應傳遞矩陣的良性狀態和省略傳遞矩陣主要的求逆運算過程來控制載荷識別誤差。采用提速客車轉向架構架進行了測試驗證，結果表明本研究建立的載荷識別方法可以有效控制長周期服役條件下的載荷識別誤差，成功解決了現有結構載荷識別方法不適用于低頻響應結構載荷識別的問題。

在構架可靠性設計現行國際規范的基礎上，補充確立了蛇行載荷系，完善了拖車構架基本載荷系，進一步結合構架各基本載荷系的實測運用載荷時間歷程，可建立構架隨機載荷譜。依據實測載荷預測的構架等效動應力與實測等效動應力相比，誤差不超過30%，運用壽命預測誤差不超過2.5倍；比構架可靠性設計現行國際規范預測的等效動應力精度提高一個數量級，運用壽命預測精度提高2個數量級。運用上述體系建立的載荷譜，適用于對既有構架進行可靠性升級，并具備將現有國際規范由定性層次提升至定量層次的潛力。