基于載荷相互作用效應的Corten-Dolan改進模型

劉其鵬，高月華，李永華

(1.大連交通大學 土木工程學院,遼寧 大連 116028；2.大連交通大學 機車車輛工程學院,遼寧 大連 116028；3.南昌航空大學 航空制造工程學院,江西 南昌 330063)

隨著高速鐵路的發展，軌道車輛關鍵部件的疲勞破壞問題突顯出來[1-3]。結構的疲勞破壞影響軌道車輛的運輸安全，甚至可能會造成難以估量的嚴重后果。因此，尋求有效的疲勞壽命預測方法具有非常重要的工程意義。

對于軌道車輛的實際運營狀態，其結構的承載狀態多為變幅載荷作用。在變幅載荷作用下，車輛結構的疲勞累積損傷計算及壽命預測極為重要。疲勞累積損傷理論模型主要分為線性累積損傷理論和非線性累積損傷理論兩大類[4]。線性累積損傷理論以Miner法則為代表，假定疲勞損傷與循環比成線性關系，且與載荷等級次序無關。由于其概念清晰，公式簡單，許多著名的疲勞設計和評估標準仍在使用[5]。然而，Miner法則沒有考慮載荷次序及相互作用效應，導致其對變幅載荷下疲勞壽命的預測精度較低[6]。

與常幅載荷相比，變幅載荷下疲勞損傷演化的最大特點在于載荷之間的相互作用效應對疲勞壽命的影響顯著。載荷之間的相互作用效應是指疲勞損傷與應力加載歷史的相關性[7]，即當前載荷下所產生的損傷不僅與當前狀態相關，而且與前序的載荷大小、加載次序等密切相關。軌道車輛結構及部件承載著比較復雜的變幅載荷作用，進行疲勞壽命預測時，載荷間的相互作用是不可忽視的。

為了提高疲勞壽命預測的準確度，學者們提出了諸多非線性累積損傷模型[6,8]，其中Corten-Dolan模型[9]能夠考慮小載荷的影響，在工程中得到了較多的關注和應用[10-17]。Corten-Dolan公式中的參數d的合理確定是該模型理論和應用的關鍵所在，最早參數d認為是材料常數，通過二級加載試驗確定[9]。后來學者們發現該參數不僅與材料屬性有關，還與應力水平[10]、剩余強度[12]、加載次序及載荷作用效應[13,17]、損傷程度和應力狀態[15-16]等密切相關，并提出了相應的改進模型。這些Corten-Dolan改進模型中關鍵參數d能體現載荷間的相互作用，但是針對載荷幅值及加載順序變化的情況，其疲勞壽命的預測結果仍具有較大的分散性，需進一步深入研究。

作為軌道車輛結構疲勞壽命預測的基礎性研究，本文對Corten-Dolan公式中參數d的表達式進行深入分析，在考慮小載荷、損傷程度和應力狀態的基礎上引入應力比的冪函數以表征載荷加載次序及載荷作用效應的非線性影響，從而建立了改進的Corten-Dolan非線性累積損傷模型。基于三種常用材料的變幅加載試驗數據，應用全數據建模方案對本文改進模型的預測精度進行了驗證，并與既有模型進行了對比分析。此外，提出了部分數據建模-驗證的驗證方案，從應用的角度考查本文改進模型對未知數據的預測能力。

1 Corten-Dolan模型及既有改進模型

根據Corten-Dolan模型，常幅載荷作用下的疲勞損傷公式為

D=mrna

(1)

對于變幅載荷情況，臨界損傷值通常用最大應力σ1單獨作用下疲勞破壞的損傷值表示為

(2)

變幅載荷作用下，各級載荷作用產生損傷的總和達到臨界值時材料就發生疲勞破壞，因此有

(3)

式中：i表示第i級載荷。

Corten和Dolan基于上述損傷公式，結合冷拔絲鋼的大量兩級試驗，并對理論公式做出簡化后，得到兩級應力下的壽命預測公式

(4)

式中：Ng為構件在兩級載荷作用下總的循環次數(壽命)；N1為構件在1級(最大)應力單獨作用下的壽命；α為1級應力作用的循環數占總循環數的比例。考慮到損傷發展速率正比于應力水平，Corten-Dolan進一步將上式中的損傷比項改寫為應力比的形式，即

(r2/r1)1/a=(σ2/σ1)d

(5)

式中：d為參數。因此兩級應力循環下的壽命預測公式為

(6)

Corten-Dolan認為上式可以直接推廣到多級應力情況，即

(7)

為了方便公式在后續敘述和應用中的方便，上式中的σ1、N1分別用σmax、Nmax替代，表示多級載荷中的最大應力和最大應力單獨作用下的疲勞壽命。

依據Miner線性損傷累積理論，可以給出類似的多級變幅載荷下疲勞壽命預測公式[10]

(8)

式中：p為根據等幅加載試驗得到的常數。

對比式(7)、式(8)可以看出，二者的差別僅在于指數項，前者為d后者為p。對于變幅加載情況式(8)給出的壽命預測結果通常誤差較大[10-16]。因此，如果式(7)中d不能恰當地給定，其預測結果也一定會很差。所以，參數d的合理表示和確定成為Corten-Dolan公式應用的關鍵。文獻[16]中將其定義為包含循環次數和應力狀態的函數

(9)

式中：ni表示第i級應力實際作用的循環次數；Ni表示第i級應力對應的常幅疲勞壽命；γ為材料相關的常數，可根據不同的試驗數據結合疲勞失效判據擬合確定。文獻[17]中進一步考慮了應力比的影響，給出

(10)

2 Corten-Dolan改進模型

2.1 Corten-Dolan模型的深入分析

從式(1)可以看出，Corten-Dolan模型通過參數a構建了損傷值與循環數之間的非線性關系，參數r既要體現應力水平對損傷的影響，還要能考慮各級應力之間相互作用的影響。式(5)將損傷系數轉化為應力水平的表達式，該過程將參數a、以及應力間相互作用的影響均轉化到參數d中進行考慮。此外，從式(6)、式(7)中也可以看到，分母中的底數項只有各級應力與最大應力之間的相比項σi/σmax，因此各級應力之間的相互影響只能通過指數d來考慮。

綜上，將參數d視為簡單的材料常數很難確定合理的d值。Corten-Dolan模型中參數d的合理確定，需要考慮三方面因素：①材料屬性；②損傷與循環(或循環比)之間的非線性關系；③載荷之間相互作用效應的影響。一個合理的途徑是將d值表示為一個函數，將以上因素分為多項變量進行考慮。模型式(9)中通過引入參數γ考慮了材料屬性的影響，通過引入循環比ni/Ni的e指數考慮了當前損傷與循環比之間的非線性關系。模型式(10)則通過引入前后兩級加載的應力比來考慮加載次序的影響，也在一定程度上體現了載荷之間的相互作用效應，使得模型對變幅載荷作用下疲勞壽命預測的可信度得到了提升。但是參數d的確定仍需進一步深入研究和改進，特別是對載荷之間相互作用效應的考慮方面。

2.2 考慮載荷間相互作用的Corten-Dolan改進模型

變幅載荷下疲勞損傷演化及壽命預測的關鍵就在于載荷之間的相互作用效應的考慮。一個有效的方案應當包含兩方面：①要有一個可靠的度量參數；②要對該參數的影響進行充分考慮。

考慮到通過應力比的形式來體現載荷間的相互作用效應具有良好的預測性能[18]，本文改進模型中亦采用應力比作為基本變量對參數d進行修正。既有的研究工作顯示載荷間的相互作用效應對結構累積損傷的影響并不是簡單的線性關系，而是復雜的非線性關系[7,19-20]。因此，在既有Corten-Dolan模型考慮小載荷、損傷程度和應力狀態的基礎上，引入相鄰兩級應力比的冪函數對關鍵參數d進行修正以表征載荷間相互作用效應的非線性影響。綜上，給出參數d的改進表達式為

(11)

式中：當i=1時，σi/σi-1=1。基于該式，改進的疲勞壽命預測模型為

(12)

由式(12)可以看出，當相鄰載荷為先低后高的載荷加載時，疲勞壽命非線性增加；當相鄰載荷為先高后低的載荷加載時，預測壽命非線性減小。

通過進一步分析，引入參數k可將式(9)～式 (11)中的參數d的表達式進行統一，表示為

(13)

式中：k=0時對應文獻[16]所提出的改進式(9)；k=1時對應文獻[17]所提出的改進式(10)；而k=2時對應本文所提出的改進模型式(11)。

3 算例及對比分析

為驗證本文Corten-Dolan改進模型的有效性及對未知數據的預測能力，基于熱軋16Mn鋼[21]、標準45號鋼和標準16Mn鋼的試驗數據[22]進行疲勞壽命預測，并將不同模型的預測結果進行對比分析。熱軋16Mn鋼兩級載荷下的疲勞損傷試驗在旋轉彎曲疲勞試驗機上進行，采用的大圓弧試樣的棒材[21]。標準45號鋼和標準16Mn鋼的試驗在PLD-10型10 t高頻疲勞試驗機上進行，采用大圓弧試樣的棒材，為恒應力幅和對稱加載[22]。三種材料的試驗溫度均為室溫，試驗方法為先在第一級應力水平下作用n1次, 然后第二級應力接著作用直到破壞，得到第二級應力下的剩余循環次數。

各材料的試驗數據見表1，其中熱軋16Mn鋼和標準45號鋼的試驗數據載荷次序發生變化，而幅值沒有變化(如熱軋16Mn鋼：高幅載荷為394 MPa，低幅載荷為345 MPa)。而對于標準16Mn鋼的試驗數據，在載荷次序發生變化的同時載荷幅值也發生了變化。對于高-低載荷加載模式1～模式5，高幅載荷為562.9 MPa，低幅載荷為392.3 MPa；對于低-高載荷加載模式6～模式8，高幅載荷為392.3 MPa，低幅載荷為372.7 MPa。這種載荷幅值及載荷次序均變化的加載模式與工程實際的載荷情況更加一致。

表1 不同材料基于本文改進模型的壽命預測結果

3.1 疲勞壽命預測結果的對比分析

依據式(12)，基于熱軋16Mn鋼、標準45號鋼以及標準16Mn鋼的全部試驗數據對參數γ進行反演分析(全數據建模方案)，并計算相應的參數d和壽命預測結果。表1給出了熱軋16Mn鋼和標準45號鋼的壽命預測結果。d2為式(13)k=2時的值，(∑np)/Ng表示試驗壽命與預測壽命的比值，二者均為無量綱量。由表1結果可以看出，本文模型的預測結果比較接近試驗結果,具有較高的預測精度。

針對熱軋16Mn鋼、標準45號鋼以及標準16Mn鋼材料，將本文改進模型對疲勞壽命的預測結果與文獻[16-17]中模型的預測結果進行了對比，見圖1。

圖1 采用不同模型預測疲勞壽命對比

從圖1(a)可以看出，對于熱軋16Mn鋼，前5種加載模式(載荷由高到低)下，本文改進模型與文獻[17]中模型的預測結果比較相近，預測精度均顯著高于文獻[16]模型的預測結果。對于后3種加載模式(載荷由低到高)，本文改進模型的預測結果顯著優于文獻中模型的預測結果。

從圖1(b)可以看出，對于標準45號鋼，本文模型的預測結果最優，略優于文獻[17]的預測結果，明顯優于文獻[16]的預測結果。進一步對比文本模型與文獻[17]模型結果發現，對于高-低的載荷加載模式(模式1—模式4)2種模型的預測結果相近；而對于低-高的載荷加載模式(模式5—模式7)，本文模型預測結果略優。

從圖1(c)可以看出，對于標準16Mn鋼，本文模型預測結果明顯最接近試驗值。對于高-低的載荷加載模式(模式1—模式5)，3種模型的預測結果比較相近；而對于低-高的載荷加載模式(模式6—模式8)，本文模型預測結果最優，文獻 [17]中模型的預測結果次之，文獻 [16]中模型的預測結果的誤差較大，工程上已難以接受。

綜上，各模型預測結果的對比分析顯示了本文改進模型對變幅載荷下結構的壽命預測是比較有效的。尤其針對載荷次序變化的同時載荷幅值也發生變化的情況，本文改進模型的預測精度明顯優于文獻中既有模型的預測精度，這說明本文改進模型能夠較好地表征變幅載荷下載荷相互作用效應的影響。

3.2 對未知數據預測能力的對比分析

既有的工作應用建立預測模型的試驗數據對預測模型進行了驗證，并沒有應用額外的試驗數據對所得的預測模型進行驗證，難以保證預測模型的實際應用性。基于此本文從實際應用的角度出發提出了一種部分數據建模方案，該方案是將試驗數據分為兩組，一組為建立預測模型的數據，為模型已知數據；另一組為驗證預測模型的數據，為模型未知數據。該方案能對模型對未知數據的預測能力進行有效的驗證，能夠檢驗預測模型的工程應用可行性。

為有效地檢驗預測模型對載荷相互作用敏感度，本文將載荷先高后低的試驗數據作為模型已知數據，載荷先低后高的數據為模型未知數據。即，建模所用數據中不包含載荷次序及幅值變化的任何信息。

對于熱軋16Mn鋼、標準45號鋼及標準16Mn鋼的試驗數據，基于已知數據(載荷先高后低)進行預測模型的建立和驗證，并將本文改進模型與文獻既有模型的預測結果進行對比，詳細數據見表2。對于建立預測模型的已知試驗數據，3種模型的預測結果幾乎一致，表中僅列出了模型未知數據的預測結果。

表2 不同材料數據建模的預測結果對比

不同模型的預測結果對比見圖2。由表2和圖2可以看出，對于建立模型的已知試驗數據，3種模型的預測結果幾乎一致，都比較接近試驗值。而對于未參與建模的未知數據，各模型給出的壽命預測值差別較大，而本文模型得到預測結果接近試驗值，預測精度較高。文獻[16]模型的預測誤差較大，難以應用于工程實際。

圖2 不同材料部分數據建模的預測結果對比

該對比分析的建模數據不包含載荷次序及載荷幅值變化的任何信息，而本文改進模型卻能比較準確地預測載荷次序和幅值變化加載模式下的疲勞壽命，說明本文改進模型能夠充分體現載荷相互作用效應對疲勞壽命的影響，有較好的實際應用性。

4 結論

本文針對變幅載荷下結構的疲勞壽命預測，建立了改進的Corten-Dolan累積損傷模型，總結如下。

(1) 在既有Corten-Dolan模型考慮小載荷、損傷程度和應力狀態的基礎上，引入前后兩級載荷應力比的冪函數對參數d進行修正，建立了考慮載荷之間相互作用非線性效應的Corten-Dolan模型，可有效地進行疲勞壽命預測。同時，引入參數k將此類改進模型表達式進行了統一。

(2)通過應用全數據建模方案對本文改進模型的疲勞壽命預測性能進行了驗證，并與既有模型預測結果進行了對比分析。結果表明本文改進模型預測精度有所提高，尤其針對載荷加載次序及載荷幅值均變化的情況，本文模型預測結果明顯優于既有模型。

(3)從實際應用角度出發，應用部分數據建模方案對本文改進模型的預測能力進行了驗證。結果表明本文改進模型不僅能有效地提高疲勞壽命預測的精度，而且能夠在載荷加載次序及幅值變化未知的情況下較為準確地預測疲勞壽命。這說明本文改進模型能更好地表征加載次序以及載荷幅值變化等載荷相互作用效應對疲勞壽命的影響，驗證了本文改進模型的工程應用可行性。

(4)本文雖未考慮試驗數據的離散性影響，但預測模型的結果對比分析已經充分表明了本文改進模型具有良好的預測能力，為軌道車輛結構的疲勞壽命預測提供了更好的理論基礎。