矩形板受分布荷載作用下的解析解

李壯飛，寇子琦，劉 海，侯鋼領，王濱生，*

(1. 哈爾濱工程大學 土木工程系，哈爾濱 150001；2. 中核四〇四有限公司 第二分公司，蘭州 732850)

彈性板在工程中使用非常廣泛，尤其是彈性薄板更為普遍.其中三邊固支一邊自由的矩形板廣泛應用于航空、船舶、核電、水利工程中，如土木工程的擋土墻、核安全殼屏蔽結構[1]等均可視為具有該邊界條件的板.因此，一種精確且簡單的板彎曲解決方案具有顯著的實際意義.

本文依托我國某石墨慢化沸水堆承重水箱實際工程項目，研究核設施的安全特性和風險評估.為研究反應堆內承重水箱的最弱失效位置，通過剛度等效和厚度等效建立了該水箱的簡化模型.一般矩形容器問題通常轉化為三邊固支一邊自由的板殼問題來解決，分析矩形板的各種受力工況，本研究的關鍵點和難點在于：矩形板側面承受分布線荷載的求解.工程簡介如圖1所示.關于矩形板彎曲問題，大多數研究都是應用邊界條件簡化板邊約束，這需要沿邊線對其一階導數或二階導數進行偏轉.然而當載荷和邊界條件過于復雜且無法用函數式表示時，這會導致基本撓度方程無法適用，甚至難以求解.對矩形薄板彎曲問題，可以從對邊簡支板的Navier解出發，利用雙三角級數方法解決[2].對于一般邊界的矩形薄板通常采用疊加法或補充項的方法解決[3-5].針對其他邊界類型的板采用復變函數法、有限積分法、辛彈性力學法.如ULLAH等[6]引入雙重有限積分變換方法，探討了帶有角支撐的矩形薄板的解析彎曲解，給出了特定邊界條件下板彎曲的一般精確解析解.LI等[7]采用辛疊加法研究了三個角點支撐的矩形薄板彎曲問題.SHI等[8]通過疊加經典的Navier和Levy解，研究了在集中力作用下具有旋轉約束邊緣的矩形板的彎曲問題.ZHANG等[9]通過廣義積分變換將高階偏微分方程簡化為線性代數方程的方法探索了組合薄板在簡單簡支、固支和自由邊界條件下的彎曲解析解.

圖1 工程簡介

值得注意的是，上述研究缺乏矩形板在側面分布線荷載作用時的實際工程研究.目前關于核安全殼工程項目中板類計算的實際應用研究相對較少.因此，本文依托我國某石墨慢化沸水反應堆的承重水箱實際工程項目，通過結構簡化，分離出此種矩形板受力工況，以三邊固支一邊自由矩形板受側面分布線荷載作用下的彎曲作為研究內容，依據Kirchhoff薄板理論，采用雙向三角級數來表示撓度函數，把復雜板面分布荷載轉化為經典矩形板的邊界條件，然后求解滿足邊界條件的線性方程組建立了基于靜態的薄板在分布線荷載作用下的彎曲分析模型.本解法與經典Levy解的原理一致，并克服了經典Levy針對板面荷載過于復雜時無法用解析式表達的局限性.

1 基本方程和邊界條件

矩形板的邊長分別為a和d，邊界條件為三邊固支一邊自由.當板側面作用法向載荷q(x,y)時，基本微分方程：

(1)

設方程(1)解的形式為

w(x,y)=w*(x,y)+w0(x,y)

式中：w*(x,y)為方程(1)的非齊次方程特解；w0(x,y)為方程(1)的齊次方程的通解.

圖2所示矩形板，y=d為自由邊界，其余三邊固支，沿y=c的直線OO′上分布有線荷載V0(x)和M0(x)，其中線荷載V0(x)是豎直性質的荷載；M0(x)為力矩性質的荷載，它們的正方向如圖2所示.

圖2 矩形板結構

為方便敘述，下文內容凡提到w，w1，w2時，無特殊說明，均代表含有x，y的二元函數.設圖2中矩形板的撓度為w，顯然它并不能用一個連續的函數來表示，設位于0≤y≤c的區域上，矩形板的撓度表達式為w1，位于c≤y≤d的區域上，板的撓度為w2，則w1和w2分別滿足以下2個方程：

▽2▽2w1=0, 0≤y≤c

▽2▽2w2=0,c≤y≤d

同時也要滿足12個邊界條件，即沿薄板周邊的8個和沿OO′線上的4個，分別為

x=0邊上：

x=a邊上：

y=0邊上：

y=d自由邊上：

沿OO′線必須滿足4個邊界條件：

w1(x,c)=w2(x,0)

Vy1-Vy2=V0(x)

M1-M2=M0(x)

2 邊界條件下的基本微分方程的解

為表示板的雙向彎曲變形，設通解中w1和w2的表達式是各包含8個待定常數的雙向三角級數，圖3表示了[0，c]區間上矩形板的荷載和邊界情況，圖4表示了[c，d]區間上矩形板的荷載和邊界情況.其中w2的y坐標零點設在整塊板的y=c處.

圖3 [0,c]區間荷載

圖4 [c,d]區間荷載

(2)

(3)

式中：Am，Bm，Cm，Dm，En，Fn，Gn，Hn，Im，Jm，Km，Lm，Mn，Nn，On，Pn為16個待定常數.

w1的三邊邊界條件所對應的線性方程組見表1.

表1 w1(x,y)邊界條件對應的方程式

w2的三邊邊界條件所對應的線性方程組見表2.

表2 w2(x,y)邊界條件對應的方程式

沿OO′線需滿足4個邊界條件，相對應的方程組如表3所示.

表3 OO′線邊界條件對應的方程式

將撓度函數表達式式(2)、式(3)中的第1個級數和第2個級數均取前N項時，聯立表1—3中16個方程，可得到16×N階線性方程組.該方程組可采用高斯消元法解得16×N個待定常數.將求得的待定常數代入到撓度函數式，至此求得矩形板在側面沿線荷載作用下的撓度函數.由撓度函數表達式便可進一步得到板中每一點的撓度值、彎矩值和應力應變值.隨著N項的增大，計算精度會得到顯著的提高.

3 算例與精度檢驗

3.1 算例

如圖5所示，矩形板由鋼材制作而成，尺寸為l1×l2×h=18 m×15 m×0.4 m.材料密度取ρ=7850 kg/m3，泊松比取v=0.3，彈性模量E=2.06×1011Pa.邊界條件為三邊固支一邊自由，其中在y=15邊線處自由；在y=3處，承受均勻分布的彎矩M0(單位長度彎矩值為M0)作用，均勻彎矩M0=5×107N·m.計算該矩形板靜力響應.

圖5 結構與荷載

依據上述推導過程，采用Visual Fortran95語言編制程序，給出了相關撓度、應力分量計算結果，見圖6.

圖6 本方法計算結果

3.2 精度檢驗

為了驗證上述力學模型的正確性，進一步利用有限元ANSYS.WORKBENCH18.0軟件計算分析.首先，在矩形板上選取5個坐標點，分別為P1(9 m,1 m)，P2(9 m,3 m)，P3(9 m,5 m)，P4(9 m,12 m)，P5(9 m,15 m).統計每個坐標點的響應值，相應的精度誤差Eri定義為

其中，上標ref是有限元計算結果.

此外，圖8中顯示了有限元模型與本文方法取前16項時撓度計算結果之間的差異.顯然，本方法獲得的撓度響應分布與有限元模型結果非常吻合.

圖8 撓度響應分布對比

接著，研究5個坐標點的彎矩響應.圖9表示取不同項數時本方法5個響應點彎矩值的誤差.隨所取項數的增加，計算值與有限元值的計算誤差逐漸減小.每個點的收斂速度均較快，且取到前6項時每點的彎矩響應誤差均控制在4%以內，當項數增加到前8項時，誤差已達到3%以內.表明本方法在計算矩形薄板彎矩響應時收斂速度快，計算精度高.

最后，研究矩形板上的應力極值響應.如圖10所示，與有限元值對比，可以看出，隨所取項數的增加，計算值與有限元值兩者逐漸逼近.當本方法取到前20項時，與有限元模型計算結果相當吻合.

圖11、圖12分別列出了該矩形板的應力響應分布.結果表明，本方法獲得的應力分量響應分布與有限元計算結果非常吻合.

圖11 σx應力分布對比

圖12 σy應力分布對比

4 結論

針對實際核安全殼工程項目中的平板類計算問題，本文給出一種求解矩形板側面沿線分布均勻荷載時彎曲問題的方法.該方法確定了矩形板側面沿直線承受分布荷載時的撓度和內力計算表達式，應用分段面處函數的連續性和突變性，把板面分布荷載轉化為經典板邊界條件，然后選擇特定的特征函數，建立了基于靜態的薄板在均勻線荷載下的彎曲分析模型，給出了線分布荷載作用下三邊固支一邊自由矩形薄板的數值解.對于相同邊界條件下，當板面受到不同形式的線分布荷載時，只需改變線性方程組等號右端控制方程即可求得問題的解.分析結果表明，該計算方法具有收斂速度快、計算精度高、物理意義明確等優點.隨所取待定系數項數的增加，計算精度可以取得令人滿意的結果.本研究對實際核安全殼受復雜載荷的工程問題具有一定的參考價值.