探索小學數(shù)學植樹問題中的建模

賀莉麗

興趣是最好的老師，是學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的原動力，也是發(fā)明創(chuàng)造的精神源泉。小學生正處在知識形成的初級階段，也是智能培養(yǎng)的重要時期，構建完整的知識體系，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，使學生形成探究能力，能夠為未來學習奠定扎實的基礎。

一、對建模的認識

數(shù)學建模就是利用數(shù)學模型來解決問題，而它的關鍵是提煉數(shù)學模型。所謂提煉數(shù)學模型，就是運用科學抽象法，把復雜的研究對象轉化為數(shù)學問題，經合理簡化后，建立起揭示研究對象定量的規(guī)律性的數(shù)學關系式，提煉數(shù)學模型，一般分為以下六個步驟：第一步，根據(jù)研究對象的特點，確定研究對象屬哪類自然事物或自然現(xiàn)象，從而確定使用何種數(shù)學方法與建立何種數(shù)學模型。第二步，確定幾個基本量和基本的科學概念，用以反映研究對象的狀態(tài)。這需要根據(jù)已有的科學理論或假說及實驗信息資料的分析確定。第三步，抓住主要矛盾進行科學抽象。第四步，對簡化后的基本量進行標定，給出它們的科學內涵。第五步，按數(shù)學模型求出結果。第六步，驗證數(shù)學模型。

二、怎么建模

模，俗稱模子，是用來制作其他器物的工具。現(xiàn)代化工廠制造工業(yè)零件也會用到制作好的模子。什么是數(shù)學模型呢？就是在學生學習過程中把一些實際問題的解決抽象為數(shù)學符號來表示的數(shù)學問題，即稱為數(shù)學建模。數(shù)學建模是一種數(shù)學思考方法，是運用數(shù)學語言和方法，通過抽象和簡化建立能直接解決問題的一種強有力的數(shù)學思維。那么在小學數(shù)學中教師要不要幫助學生逐步建立數(shù)學模型，讓數(shù)學模式化、統(tǒng)一化呢？

當然要，而且非常必要。人教版小學數(shù)學五年級上冊第八單元“數(shù)學廣角”中的植樹問題，在教材上呈現(xiàn)了兩類問題，即在非封閉圖形上植樹和在封閉圖形上植樹兩大類植樹問題。這類問題對于小學生而言，情況較為復雜，既抽象又多樣，難點較為分散，知識點里面還隱含了重復的數(shù)學問題。學生探究后發(fā)現(xiàn)，在非封閉圖形上植樹又分為三種情況：（1）兩端都栽的情況，棵數(shù)比間隔數(shù)多1;（2）一端栽一端不栽的情況，棵樹等于間隔數(shù);（3）兩端都不栽的情況，棵樹比間隔數(shù)少1。在課堂上學生積極發(fā)言，參與討論，利用畫線段圖、數(shù)手指、畫圖等方法，發(fā)現(xiàn)了棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關系，以及總線路長和株距的常量因素的影響，熟悉后能準確計算出所植棵數(shù)。看到學生都學會了解決這一問題，我趕緊追問，讓學生思考，在“植樹問題”中一定要是“樹”嗎？除了“樹”還能換成別的“物”嗎？同時拓展練習了諸如裝路燈問題、計算公交車站的問題等，重復練習了幾個問題后，學生覺得，“嗯，這下終于了然于心”。可過了幾天，在做練習的過程中，又出現(xiàn)鋸木頭、敲鐘、排隊子、上樓梯、繩子打結、擺花盆等問題時，學生竟然茫然了，生活中的“植樹問題”還有哪些呢？

三、探究與發(fā)現(xiàn)

“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進”。我又上了第二堂“植樹問題”，帶領學生探究這些生活中的實際問題，有利于知識的螺旋上升，進一步提升學生的數(shù)學思維。

1.同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共要栽多少棵樹？

2.早操時同學們站隊，每隔兩米排一人，一豎排有22人。這排隊伍有多少米？

3.在一條全長2千米的街道一旁安裝路燈（兩端要安裝），每隔50米安一盞，一共要安裝多少盞路燈？

4.一根木頭長10米，要把它平均分成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共需要多少分鐘？

學生積極討論，合作探究解決，勇敢地說出自己的想法，第1題講道，總線路長÷株距=間隔數(shù)，間隔數(shù)+1=棵樹，所以100÷5=20，20+1=21（棵）。接著第2、3題也迎刃而解：22-1=21，21×2=44（米）;2000÷50=40，40+1=41（盞）。第4題孩子們恍然大悟，其中的關鍵因素段數(shù)也就是植樹問題中的間隔數(shù)，屬于第三種兩端都不栽的情況，鋸的次數(shù)也就相當于棵樹，只要掌握植樹問題中的一一對應關系，用植樹問題中的解決辦法就可以解決了，5-1=4（次），4×8=32（分鐘）。我夸了同學們真厲害，學會了知識整合再利用，發(fā)現(xiàn)了其中的不變因素，分析問題后靈活運用，科學地抽象和簡化問題，從而形成嚴密而有形的數(shù)學思維，去解決問題。

接著我又拋出了敲鐘的問題如下：

①一個大鐘3時敲3下，4秒鐘敲完，11時敲11下，幾秒敲完？（最好再告訴我敲鐘屬于哪種植樹問題）

先求出敲3下的間隔數(shù)：3-1=2（個）

再求出每個間隔的時長：4÷2=2（秒）

然后再求敲11下的間隔數(shù)：11-1=10（個）

最后求出總時長：2×10=20（秒）

②小喬家住6樓，他從1樓走到3樓用了40秒，照這樣計算，他從1樓走到家一共需要多少時間？

③水上樂園圓形游泳池周長是300米，每隔6米有一頂太陽傘，你知道池邊一共有多少太陽傘嗎？

學生走在探究知識的路上，情緒激昂，學習熱情高漲。通過知識的深化鞏固，知識在孩子們心中建立了模型，簡化了思維過程，真正變成孩子們解決問題強有力的武器。