拉格朗日乘子法：解決高中數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題的重要工具

摘 要：拉格朗日乘子法是多元函數(shù)條件極值問(wèn)題中的非常有效的一種方法。本文將利用拉格朗日乘子法解初等數(shù)學(xué)中約束優(yōu)化問(wèn)題，并舉例說(shuō)明用法。

關(guān)鍵詞：條件極值;拉格朗日乘子法;最優(yōu)化

一、高中數(shù)學(xué)約束優(yōu)化問(wèn)題：教學(xué)難點(diǎn)

眾所周知，求帶有約束條件的最值（最大值或最小值）問(wèn)題即條件極值是在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常碰到的一類問(wèn)題，它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用，并且在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中也有著廣泛的應(yīng)用，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。約束優(yōu)化問(wèn)題涉及直線與圓（圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系）、三角函數(shù)（三角恒等式、三角變換）、不等式和平面向量等知識(shí)。其基本思路是運(yùn)用函數(shù)與方程思想將約束條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，而解決最值問(wèn)題的常用工具則是導(dǎo)數(shù)與不等式。

在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題時(shí)，有些問(wèn)題較為復(fù)雜，求導(dǎo)計(jì)算量大，需要進(jìn)行高階求導(dǎo)。同時(shí)，復(fù)雜問(wèn)題常常涉及分類討論思想，但學(xué)生在實(shí)際處理過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)不明確分類標(biāo)準(zhǔn)，討論重復(fù)遺漏，討論結(jié)果處理不當(dāng)?shù)葐?wèn)題。對(duì)于分段函數(shù)的表示及其求導(dǎo)，學(xué)生往往束手無(wú)策，無(wú)從下手.因此，利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題有其局限性.在運(yùn)用不等式求最值問(wèn)題時(shí)，處理復(fù)雜不等式尤其是多元變量的復(fù)雜不等式時(shí)，學(xué)生往往不能很好的利用相關(guān)衍變公式與解不等式的技巧。譬如在何時(shí)取等號(hào)，在如何對(duì)不等式進(jìn)行放縮上阻力重重，不易把握，因此，如何較為有效地解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題約束優(yōu)化問(wèn)題，成為教學(xué)難點(diǎn).

二、拉格朗日乘子法解決約束優(yōu)化問(wèn)題：突破點(diǎn)

條件極值不僅是初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)分析中的一類重要問(wèn)題.求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法，運(yùn)用拉格朗日乘子法成為解決復(fù)雜約束優(yōu)化問(wèn)題的突破點(diǎn)。

1.拉格朗日乘子法

2.拉格朗日乘子法的優(yōu)點(diǎn)

在高中階段大部分只涉及一元函數(shù)，并就一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行深度挖掘。常規(guī)思路就是消元，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，將多元函數(shù)降維處理以達(dá)到刪繁就簡(jiǎn)的效果。有時(shí)候反其道而行之，如果將一元化二元，二元化多元，對(duì)函數(shù)進(jìn)行升維處理往往有出其不意的效果，拉格朗日乘子法就是升維的有力工具。其特點(diǎn)是思路明確，條理清晰，引入?yún)⒆兞渴沟糜?jì)算量驟然減小，求解迅速。

3.拉格朗日乘子法的應(yīng)用

三、拉格朗日乘子法解決約束優(yōu)化問(wèn)題：注意點(diǎn)與難點(diǎn)

作為一種優(yōu)化解法，拉格朗日乘子法主要運(yùn)用在約束優(yōu)化問(wèn)題即條件極值，運(yùn)用一元函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)這一思想進(jìn)行求解，從而將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非條件極值問(wèn)題。即使不能在正規(guī)解答大題中運(yùn)用，也可以將該解法解出正確結(jié)果，從而規(guī)避繁榮復(fù)雜的運(yùn)算。而在填空題與選擇題中可以直接用快速解出答案。

但值得注意的是，拉格朗日乘子法也有其局限性，并不適用于所有約束優(yōu)化問(wèn)題。比如在面對(duì)非線性約束條件下的二元函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，它的非線性約束條件往往是一個(gè)二元二次不等式，可行域就是非線性約束條件中不等式所圍成的平面區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)的坐標(biāo)即為可行解;當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)時(shí)，就是通常所說(shuō)的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關(guān)系來(lái)解決;當(dāng)目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù)時(shí)，可以利用目標(biāo)函數(shù)所具有的幾何意義轉(zhuǎn)化求解。另外，由于拉格朗日乘子法涉及偏導(dǎo)數(shù)，如何構(gòu)造拉格朗日函數(shù)以及如何求偏導(dǎo)數(shù)成為教學(xué)難點(diǎn)。對(duì)于成績(jī)較好的學(xué)生，教師可做適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)與講解，可以為學(xué)生補(bǔ)充微積分的相關(guān)知識(shí)。

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，在面對(duì)高中應(yīng)用題約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該將拉格朗日乘子法作為一種解決問(wèn)題的重要工具，而不應(yīng)該把它視為大學(xué)數(shù)學(xué)分析課本里高高在上的數(shù)學(xué)理論。數(shù)學(xué)本身作為一個(gè)工具不僅具有啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和邏輯思維的作用，更應(yīng)當(dāng)將其運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題中，讓學(xué)生在運(yùn)用的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、體會(huì)并感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]張方東.高中數(shù)學(xué)分類討論思想的應(yīng)用[J].亞太教育，2015（8）.

[2]吳元澤.關(guān)于拉格朗日乘數(shù)法的一點(diǎn)思考[J].教育教學(xué)論壇，2018（8）

[3]朱茂春.拉格朗日乘子法在初等數(shù)學(xué)及Holder不等式中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2019（19）.

作者簡(jiǎn)介：

吳征（1999.07-），男，漢族，江蘇省泰州市人，江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)本科在讀，主要研究方向：中等教育。

（江蘇師范大學(xué)）